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2016年高三数学一轮复习专题二 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示
【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)函数与映射的概念:函数 非空数集 到B 建立在两个_________A 的一种确定的对应关系f,使 任意 一个数 定义 对于集合A中的_____ 唯一确定 x,在集合B中都有_________ 的数f(x)和它对应 记法 y=f(x),x∈A映射 非空集合 到B的一 建立在两个_________A 种确定的对应关系f,使对于集合 任意一个 元素x,在集合B A中的_________ 唯一确定 的元素y与之 中都有_________ 对应 f:A→B(2)函数的三要素: 对应关系 和值域三个要素构成,对函数y=f(x), 函数由定义域、_________ x∈A,其中 自变量x 的取值范围; ①定义域:________ {f(x)|x∈A} ②值域:函数值的集合____________. (3)函数的表示法: 解析法 、_______ 列表法 、_______. 图象法 表示函数的常用方法有:_______(4)分段函数: 对应关系 不同而分别用几个不同 若函数在定义域的不同子集上,因_________ 的式子来表示,这种函数称为分段函数.2.必备结论教材提炼记一记(1)映射:①映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数; ②映射的两个特征: 第一:在A中取元素的任意性; 第二:在B中对应元素的唯一性; ③映射问题允许多对一,但不允许一对多.定义域 和_________ 对应关系 完全 (2)判断两个函数相等的依据是两个函数的_______ 一致.并集 其值域等于各 (3)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,并集 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一 段函数的值域的_____,个函数.(4)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用待定系数法、换元法、配凑法、消去法确定函数解析式.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.(3)记忆口诀:抽象函数不要怕,赋值方法解决它;分段函数分段算,并到一起保平安.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判) )(1)函数是建立在其定义域到值域的映射.((2)若函数的定义域和值域相同,则这两个函数是相等函数.( (3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一函数.( (4)f(x)= x ? 3 ? 2 ? x 是一个函数.( ) )【解析】(1)正确.函数是特殊的映射. (2)错误.如函数y=x与y=x+1的定义域和值域都是R,但它们的对应关 系不同,不是相等函数. (3)正确.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域和对应关系相同. (4)错误.因定义域为空集. 答案:(1)√ (2)〓 (3)√ (4)〓2.教材改编链接教材练一练1 的定义域为( 2 ?1 ? x?2x(1)(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)=A.[0,2) C.[0,2)∪(2,+∞))B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 解得x≥0且x≠2.x ? 2 【解析】选C.由题意得 ? ? 1 ? 0, ? x ? 2 ? 0,(2)(必修1P25B组T2改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选B.选项A,定义域为{x|-2≤x≤0},不正确.选项C,当x在(-2,2]取值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域为[0,1],不正确,选项B正确.(3)(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行 走的路线可能是( )【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014?江西高考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(A.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) B.[0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞))【解析】选C.由题意可得x2-x&0,解得x&1或x&0,故所求的定义域为 (-Q,0)∪(1,+Q).(2)(2015?岳阳模拟)已知函数f(x)= a= ..若f(a)=3,则实数 x ?1【解析】因为f(a)= 答案:10a ? 1 =3,所以a-1=9,即a=10.(3)(2014?上海高考)设f(x)= 范围为 .? ? x, x ? ? ??,a ? ,若f(2)=4,则a的取值 ? 2 ? ? x , x ? ?a, ?? ? ,【解析】因为f(2)=4,所以2∈[a,+Q),所以a≤2,则a的取值范围为 (-Q,2]. 答案:(-Q,2]考点1求函数的定义域1【典例1】(1)(2014?山东高考)函数f(x)= 为( ) B.(2,+∞)? log 2 x ?2的定义域?1A.(0, 1 )2 C.(0, 1 )∪(2,+∞) 2D.(0, 1 )∪[2,+∞)2(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( A.(-1,1) C.(-1,0) B.(-1,- 1 )2)D.( 1 ,1)2【解题提示】(1)根据解析式,构建使其有意义的不等关系求解.(2)明确函数f(x)中的x与函数f(2x+1)中2x+1的关系,列不等式求解.【规范解答】(1)选C.(log2x)2-1&0,即log2x&1或log2x&-1,解得x&2或0&x& 1 .故所求的定义域为(0, )∪(2,+Q).2 1 2【一题多解】解答本题,还有以下解法选C.令x= 1 ,则(log2 1 )2-1=3&0,排除B.令x=4,则(log24)2-1=3&0,4 4所以排除选项A.令x=2,则(log22)2-1=0,排除D.故选C.(2)选B.由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-1&2x+1&0,解得-1&x&- 1 ,即所求函数的定义域为(-1,- 1 ).2 2【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数f(x-1)的定义域为(-1,0)”,则结果如何?【解析】因为f(x-1)的定义域为(-1,0),即-1&x&0,所以-2&x-1&-1,故f(x)的定义域为(-2,-1),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-2&2x+1&-1,解得- 3 &x&-1.所以f(2x+1)的定义域为(- 3 ,-1).2 2【规律方法】 1.求函数定义域的类型及方法(1)已知函数的解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.2.求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化. (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成 时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集. (3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用 “或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.【变式训练】(2015?银川模拟)函数f(x)= 域是( )1 B.(? ,1) 3 1 D.(??, ? ) 33x 2 +lg(3x+1)的定义 1? x1 A.(? , ??) 3 1 1 C.(? , ) 3 31 ? x ? 0, 1 &x&1,所以函数定义域为 【解析】选B.依题意得: ? 解得 ?(- 1 ,1).3?3x ? 1 ? 0,3【加固训练】1.已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域为.【解析】因为f(2x)的定义域为[-1,1],1 所以 ≤2x≤2,即f(x)的定义域为[ 1 ,2]. 2 2 答案:[ 1 ,2] 22 2.(2015?揭阳模拟)函数y= ln(1 ? 1 ) ? 1 ? x的定义域为x.? 1 1 ? ? 0, 【解析】要使函数有意义,需 ? ? x ?1 ? x 2 ? 0, ???1 ? x ? 1,? x ?1 ? 0, 即 ? ? x ? x 2 ? 1, ?x ? ?1或x ? 0, 解得0&x≤1,所以定义域为(0,1]. 即 ? ?答案:(0,1]考点2求函数的解析式【典例2】(1)已知f( x +1)=x+2 x ,则f(x)=.(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 则f(x)= .【解题提示】(1)利用换元法求解. (2)已知函数类型,用待定系数法求解. 【规范解答】(1)设t= x +1, 则x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x≥1). 答案:x2-1(x≥1)【一题多解】解答本题,还有以下解法:因为x+2 x =( x )2+2 x +1-1=( x +1)2-1,所以f( x +1)=( x +1)2-1( x +1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)(2)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+(5a+b)=2x+17,a ? 2, 因此应有 ? ??5a ? b ? 17,解得 ??a ? 2, ?b ? 7.故f(x)的解析式是f(x)=2x+7.答案:2x+7【易错警示】解答本例(1)有以下易错点本例第(1)题利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数解析式定义域扩大而致误.【规律方法】求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定 系数法.(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法:已知关于f(x)与f(1 )或f(-x)的表达式,可根据已知 x条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).【变式训练】(2015?济南模拟)已知f(x)满足2f(x)+f(1 )=3x, x则f(x)=.【解析】因为2f(x)+f( 1 )=3x,①x 所以将x用 1 替换,得2f( 1 )+f(x)= 3 ,② x x x 由①②解得f(x)=2x- 1 (x≠0), x 即f(x)的解析式是f(x)=2x- 1 (x≠0). x 答案:2x- 1 (x≠0) x【加固训练】1.已知f( 2 +1)=lg x,则f(x)=【解析】令 2 +1=t得x= 2 ,代入得f(t)=lg 2 ,x t ?1x.t ?1 又x&0,所以t&1,故f(x)的解析式是f(x)=lg 2 (x&1). x ?1 答案:lg 2 (x&1) x ?12.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2, 则f(x)= .【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b=2x+2, 所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c. 又因为方程f(x)=0有两个相等实根, 所以Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+13.(2013?安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=.【解析】当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),当-1≤x≤0时,0≤x+1≤1,所以 f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1),而f(x)= 1 f(x+1)=- 1 x2- 1 x. 所以当-1≤x≤0时,f(x)=- 1 x2- 1 x. 答案:- 1 x2- 1 x2 2 2 2 2 2 2考点3分段函数及应用知?考情分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查函数知识容量 大成为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查求值、 解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题.解题过程中 常渗透分类讨论的数学思想.明?角度命题角度1:求分段函数的函数值 【典例3】(2015?厦门模拟)设函数f(x)= 则f(f(3))=(1 A． 5 B． 3? x 2 ? 1，x ? 1， ? ?2 ? ，x ? 1， ?x)2 C． 3 13 D． 9【解题提示】根据自变量的值选择相应的对应关系求值,先求出f(3),然后再求出f(f(3))的值.【规范解答】选D.因为f(3)= 2 ,所以f(f(3))=3 2 2 4 13 f( ) ? ( ) 2 ? 1 ? ? 1 ? ． 3 3 9 9命题角度2:求解分段的方程、不等式【典例4】(2014?浙江高考)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= (本题源于教材必修1P45T4) .2 ? ? x ? 2x ? 2, x ? 0, ? 2 ? ? ? x , x ? 0,【解题提示】根据自变量的取值分两种情况进行讨论 ,列出方程进行求解.【规范解答】当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1&0, f(f(a))&0,显然不成立; 当a&0时,f(a)=-a2&0,所以f(f(a))=a4-2a2+2=2, 解得a= 2 或a=0,因为a&0,所以a= 2 . 答案: 2悟?技法与分段函数有关问题的类型及求解思路(1)求分段函数的函数值,根据所给自变量的大小选择相应段的解析式 求解,有时各段交替使用求值. (2)求分段方程或分段不等式的解,依据不同范围的不同段分类讨论求 解,最后将讨论结果并起来.通?一类? a ?2 x , x ? 0, ? 1.(2014?江西高考)已知函数f(x)= ? (a∈R), ?x ? ?2 , x ? 0若f(f(-1))=1,则a=( A. 14)B.1 2C.1D.2【解析】选A.因为-1&0,所以f(-1)=2-(-1)=2,又2&0,所以f(f(-1)) =f(2)=a?22=1,解得a= 1 .42.(2015?日照模拟)已知函数f(x)=则f(a-5)的值为(A.log23)B. 1716? ?log 2 ? x ? 1? , x ? 3, 满足f(a)=3, ? x ?3 ? ? 2 ? 1, x ? 3C.3 2D.1①a ? 3, 【解析】选C.分两种情况分析, ? ? ?2a ?3? 1 ? 3,a ? 3, 或者 ? ??log 2 ? a ? 1? ? 3,②①无解,由②得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1= 3 .2?e x ?1 , x ? 1, 3.(2014?新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)= ? 则使得f(x)≤2 ? 1 3 ? ? x ，x ? 1,成立的x的取值范围是.【解析】当x&1时,由ex-1≤2可得x-1≤ln2.即x≤ln2+1,故x&1; 当x≥1时,由f(x)= x ≤2可得x≤8,故1≤x≤8,综上可得x≤8.1 3答案:(-Q,8]4.(2015?石家庄模拟)已知函数f(x)=?3x ? 2, x ? 1, 若f(f(0))=4a, ? 2 ? x ? ax, x ? 1,则实数a=.【解析】因为f(0)=3〓0+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以a=2. 答案:2自我纠错3分段函数的参数求值问题? 2x ? a, x ? 1, ? ? x ? 2a, x ? 1,【典例】(2015?郑州模拟)已知实数a≠0,函数f(x)= ? 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为3 A.－ 2 3 3 C.－ 或－ 2 4()3 B.－ 4 3 3 D. 或－ 2 4【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程出现的错误主要有两个方面:(1)误以为1-a&1,1+a&1,没有对a进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误 .【规避策略】(1)分类讨论思想的应用:对于分段函数的求值问题,若自变量的取值范围不确定,应分情况求解. (2)检验结果:求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意, 因此要检验结果是否符合要求.【自我矫正】选B.当a&0时,1-a&1,1+a&1,由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a= － 3 ,不合题意;2当a&0时,1-a&1,1+a&1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a= － 3 . 故a的值为 － 3 .4 4第二节 函数的单调性与最值
【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)函数的单调性:①增函数、减函数: 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D?I,如果对于任意x1,x2∈D, 且x1&x2,则有: f(x1)&f(x2) ()f(x)在区间D上是增函数?___________;f(x1)&f(x2) ()f(x)在区间D上是减函数?___________.②单调区间: 增函数 或_______, 减函数 则称函数y=f(x)在这 若函数y=f(x)在区间D上是_______ 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.(2)函数的最值:前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足③对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ________①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M 条件 ________ ②存在x0∈I,使得f(x0)=Mf(x0)=M ④存在x0∈I,使得_______ M为最小值结论M为最大值2.必备结论教材提炼记一记(1)函数单调性与图象、导数、运算及复合函数间的关系:区间D上的增函数 图象 导数 运算 复合函数 上升 函数图象_____ 大于 导数_____零 增函数+增函数 区间D上的减函数 下降 函数图象_____ 小于 导数_____零 减函数+减函数相同 内外层单调性_____相反 内外层单调性_____a (2)对勾函数y=x+ (a&0)的增区间为(-∞,xa ]和[ a ,+∞);减区间为[- a ,0)和(0, a ],且对勾函数为奇函数.(3)设?x1,x2∈D(x1≠x2),则①f ? x1 ? ? f ? x 2 ? x1 ? x 2f ? x1 ? ? f ? x 2 ? x1 ? x 2&0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]&0)?f(x)在D上单调递增;②&0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]&0)?f(x)在D上单调递减.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:函数单调性的判定方法:图象法、定义法、导数法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.(3)记忆口诀:判断函数单调性,取值求差便可知.区域中甲小于乙,先求甲乙函数值.乙减甲的函数值,差正单增函数知.函数值差小于零,单减函数亦可知.【小题快练】 1.思考辨析x静心思考判一判 )(1)函数y= 1 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).((2)函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间 为[a,b].( ) )(3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)g(x)也是增函数.( (4)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函 数.( )【解析】(1)错误.一个函数有多个单调区间应分别写 ,分开表示,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.(2)错误.f(x)在区间[a,b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增,而f(x)的单调递增区间为[a,b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增.(3)错误.举反例:设f(x)=x,g(x)=x-2都是定义域R上的增函数,但是 f(x)g(x)=x2-2x不是增函数. (4)正确.易知函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,由对称性可 知结论正确. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)〓 (4)√2.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P39A组T3改编)函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数, 则(1 A.k& 2) B.k& 12 2 2C.k&- 1D.k&- 1【解析】选D.使y=(2k+1)x+b在(-Q,+Q)上是减函数,则2k+1&0,即 k&- 1 .2(2)(必修1P31例4改编)函数f(x)= 2 在[-6,-2]上的最大值和最小x ?1值分别是.x ?1 72 【解析】函数f(x)= 2 在[-6,-2]上单调递减,最大值为f(-6)= － ，最小值为f(-2)= － 2 . 答案: － 2 ，－ 27 3 3(3)(必修1P39B组T1改编)f(x)=x2-2x,x∈[-2,4]的单调递增区间 为 ,f(x)max= .【解析】因为函数f(x)=x2-2x的对称轴为x=1,所以函数f(x)=x22x(x∈[-2,4])的单调递增区间为[1,4],单调递减区间为[-2,1).又 f(-2)=4+4=8,f(4)=16-8=8,所以f(x)max=8. 答案:[1,4] 83.真题小试感悟考题试一试(1)(2014?北京高考)在下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(A.y= x ? 1 B.y=(x-1)2)C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)【解析】选A.y= x ? 1是(0,+Q)上的增函数;y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,在(1,+Q)上是增函数;y=2-x= ( 1 ) x在x∈R上是减函数;2y=log0.5(x+1)在(-1,+Q)上是减函数.(2)(2015?温州模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞), 则a的值为( A.-2 ) B.2 C.-6 D.6a ? 2x ? a, x ? ? , ? ? 2 【解析】选C.f(x)=|2x+a|= ? ? ?2x ? a, x ? ? a , ? 2 ?因为函数f(x)的增区间是[3,+Q), 所以 － a =3,即a=-6.2(3)(2015?中山模拟)对于任意实数a,b,定义min{a,b}= ??a,a ? b, ?b,a ? b.设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 .log 2 x,0 ? x ? 2, 【解析】依题意,h(x)= ? ? ?? x ? 3, x ? 2,当0&x≤2时,h(x)=log2x是增函数; 当x&2时,h(x)=3-x是减函数, 所以h(x)=min{f(x),g(x)}在x=2时,取得最大值h(2)=1. 答案:1考点1确定函数的单调性(区间)log 1 (x2-4)的单调递增2【典例1】(1)(2014?天津高考)函数f(x)= 区间为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) (2)试讨论函数f(x)= ) B.(-∞,0) D.(-∞,-2)ax ,x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0). x2 ?1【解题提示】(1)本题是对数函数与二次函数的复合函数,先求出函数 的定义域,然后根据复合函数单调性的判定方法,确定函数的单调递增 区间. (2)用定义法或导数法进行判断.【规范解答】(1)选D.函数f(x)= log 1(x2-4)的定义域为(-Q,-2)∪2(2,+Q),因为函数y=f(x)是由y= log 1 t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=2log 1 t在(0,+Q)上单调递减,g(x)在(-Q,-2)上单调递减,所以函数2y=f(x)在(-Q,-2)上单调递增.(2)设x1,x2∈(-1,1)且x1&x2, 则f(x1)-f(x2)=ax1 ax 2 ? x12 ? 1 x 2 2 ? 1 a ? x 2 ? x1 ?? x1x 2 ? 1? ? . 2 2 ? x1 ? 1?? x 2 ?1?因为-1&x1&x2&1,所以x2-x1&0,x12-1&0,x22-1&0,-1&x1x2&1,x1x2+1&0,所以? x 2 ? x1 ?? x1x 2 ? 1?＞0.?x2 1? 1?? x 2 2 ? 1?因此当a&0时,f(x1)-f(x2)&0,即f(x1)&f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a&0时,f(x1)-f(x2)&0,即f(x1)&f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.【一题多解】解答本题,还有以下解法:f′(x)=a ? x 2 ? 1? ? 2ax 2?x2? 1?2??a ? x 2 ? 1??x2? 1?2.当a&0时,f′(x)&0; 当a&0时,f′(x)&0.所以当a&0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a&0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若本例题(2)中的函数变为“f(x)= ax ”,则f(x)在x－1(-1,1)上的单调性如何? 【解析】设-1&x1&x2&1, f(x)= a x ? 1 ? 1＝a(1 ? 1 )，x ?1 x ?1f(x1)-f(x2)= a(1 ? 1 )－a(1 ? 1 )x1 ? 1 x2 ?1＝ax 2 ? x1 . ? x1 ? 1?? x 2 ? 1?当a&0时,f(x1)-f(x2)&0,即f(x1)&f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a&0时,f(x1)-f(x2)&0, 即f(x1)&f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增.【规律方法】 1.判断或证明函数的单调性的两种重要方法及其步骤: (1)定义法:其基本步骤是:(2)导数法:其基本步骤是:2.确定函数的单调区间的方法(1)定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求.(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的升、降写出它的单调区间.(3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.【变式训练】(2015?南昌模拟)函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调减区间为.? ? x 2 ? 2x ? 3, x ? 0, ? 【解析】因为f(x)= ? 2 ? x ? 2x ? 3, x ? 0, ? ?其图象如图所示,所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-Q,-1]和[0,1];单调递减区间为[-1,0]和[1,+Q).答案:[-1,0]和[1,+Q)【加固训练】1.(2015?厦门模拟)设函数f(x)=?1, x ? 0, ? ?0, x ? 0, ??1, x ? 0, ?g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是()A.(-∞,0]C.[1,+∞)B.[0,1)D.[-1,0]? x 2 , x ? 1, 【解析】选B.g(x)= ? 如图所示, ?0, x ? 1, ?? x 2 , x ? 1. ?其递减区间是[0,1).故选B.2.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数?f ? x ? ,f ? x ? ? k, -|x|.当k= 1 时,函数f (x)的单 fk(x)= ? 取函数 f(x)=2 k ? ? ?k,f ? x ? ? k,2调递增区间为( A.(-∞,0)) B.(0,+∞)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)【解析】选C.由f(x)& ,得-1&x&1,由f(x)≤ 1 ,得x≤-1或x≥1.21 2?2? x , x ? 1, ? 1 所以 f 1 ? x ?＝? ? , ?1 ? x ? 1, 2 ?2 x ? 2 ? , x ? ?1,故 f 1 (x)的单调递增区间为(-Q,-1).23.设函数f(x)=2x+a?2-x-1(a为实数).若a&0,用函数单调性定义证明:y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.【证明】设任意实数x1&x2,则f(x1)-f(x2) =(2x1+a?2-x1-1)-( 2x2+a?2-x2-1) =(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2) =(2x1-2x2)?2x1 ? x 2 ? a . x1 ? x 2 2因为x1&x2,所以2x1&2x2,所以2x1-2x2&0, 因为a&0,所以2x1+x2-a&0.又2x1+x2&0, 所以f(x1)-f(x2)&0,所以y=f(x)在(-Q,+Q)上是增函数.考点2确定函数的最值(值域)【典例2】(1)函数y= x -x(x≥0)的最大值为2 (2)函数y= x ? x 的值域为.x2 ? x ?1.【解题提示】(1)利用换元法求解. (2)采用分离法,即将分子变为(x2-x+1)-1的形式,转化后求解.【规范解答】(1)令t= x ,则t≥0,所以y=t-t2= ?(t ? 1 ) 2 ? 1 , 结合图象,当t= 1 ,即x= 1 时,ymax= 1 . 答案: 12 4 4 42 42 x ?x 1 (2)y= ＝ 1 － . 2 2 x ? x ?1 x ? x ?1因为x2-x+1= (x ? 1 ) 2＋ 3 ，2 4所以 －1 ? 1－31 ≤y&1. 1 即 － ? 1 ， 3 x2 ? x ?1故值域为 [ ? 1 ,1).3答案: [? 1 ,1)3【一题多解】解答本题,还有以下解法:去分母,整理,得(y-1)x2-(y-1)x+y=0.易知y≠1,故上式可看作是关于x的二次方程. 因为x∈R,所以方程有实根, 所以Δ=(y-1)2-4y(y-1)≥0,1 ≤y≤1.又y≠1,故值域为 [ ? 1 ,1). 3 3 答案: [? 1 ,1) 3解得-【规律方法】求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的 条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相 应的方法求最值.x2 ? 8 【变式训练】函数f(x)= (x&1)的最小值为 x ?1.【解析】方法一:基本不等式法:2 x f(x)= ? 8 ? ? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ? 9 x ?1 x ?1 2=(x-1)+9 +2 x ?1≥ 2 ? x ? 1?? 9 ? 2 ? 8，x ?1当且仅当x-1=9 ,即x=4时,f(x) =8. min x ?1方法二:导数法:f′(x)= ? x ? 4 ?? x 2? 2 ? ,令f′(x)=0, 得x=4或x=-2(舍去).? x ? 1?当1&x&4时,f′(x)&0,f(x)在(1,4)上递减, 当x&4时,f′(x)&0,f(x)在(4,+Q)上递增, 所以f(x)在x=4处达到最小值,即f(x)min=f(4)=8. 答案:8【加固训练】1.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是(A.[- 9 ,0]∪(1,+∞) C.[ 9 ,+∞)4 4)B.[0,+∞)? ?g ? x ? ? x ? 4, x ? g ? x ? , ? ? ?g ? x ? ? x, x ? g ? x ? ,D.[- 9 ,0]∪(2,+∞)4 9 4【解析】选D.当x&g(x)即x&2或x&-1时,f(x)=x2+x+2,f(x)∈(2,+Q); 当x≥g(x)即-1≤x≤2时,f(x)=x2-x-2,f(x)∈[- ,0],故f(x)的值域 为[- 9 ,0]∪(2,+Q).42.(2013?北京高考)函数f(x)=?log 1 x, x ? 1, ? 2 的值域为 ? x ? ?2 , x ? 1.【解析】当x≥1时,f(x)= log x 是单调递减的,此时,函数的值域为 12(-Q,0];x&1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f(x)的值域是(-Q,2).答案:(-Q,2)2 x 3.已知f(x)= ? 2x ? a ,x∈[1,+∞). x (1)当a= 1 时,求函数f(x)的最小值. 2(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)&0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(1)当a= 1 时,f(x)=x+ 1 +2,联想到g(x)=x+ 1 的单调性,22x x猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性.任取1≤x1&x2,则f(x1)f(x2)=(x1-x2)+ (1 1 ? ) = 2x1 2x 2? x1 ? x 2 ?? 2x1x 2 ? 1? ,因为1≤x &x ,所以2x1x 21 2x1x2&1,2x1x2-1&0.又x1-x2&0,所以f(x1)&f(x2),所以f(x)在[1,+Q) 上是增函数,所以f(x)在[1,+Q)上的最小值为f(1)= 7 .22 x ? 2x ? a &0恒成立, (2)在区间[1,+Q)上,f(x)= x2 2 ? ? x ? 2x ? a ? 0, a ? ? (x ? 2x), 等价于a大于函数φ(x)=-(x2+2x) 则? ?? ?x ? 1 ? x ? 1,在[1,+Q)上的最大值. 只需求函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+Q)上的最大值. φ(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在[1,+Q)上递减, 所以当x=1时,φ(x)最大值为φ(1)=-3. 所以a&-3,故实数a的取值范围是(-3,+Q).考点3函数单调性的应用知?考情函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的考查是近几年高考 命题的热点.试题常以选择题、填空题的形式出现,考查比较函数值大 小,求最值、解含“f”符号的不等式及求参数的值或取值范围等问题 , 试题难度中档.明?角度命题角度1:比较函数值或自变量的大小【典例3】(2015?洛阳模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位 后关于y轴对称,当x2&x1&1时,[f(x2)-f(x1)]?(x2-x1)&0恒成立,设 a=f(- 1 ),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(2)A.c&a&b C.a&c&bB.c&b&a D.b&a&c【解题提示】根据[f(x2)-f(x1)]?(x2-x1)&0恒成立判断函数的单调性,根据单调性及函数的图象特征进行判断.【规范解答】选D.由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图 象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象本身关于直线x=1对称,所以a=1 5 f(－ )＝f ( ). 当x2&x1&1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)&0恒成立,等价于函 2 2数f(x)在(1,+Q)上单调递减,所以b&a&c.故选D.命题角度2:解函数不等式【典例4】(2015?珠海模拟)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且 f( 1 ) =0,则满足f( log 1 x )&0的x的集合为29.【解题提示】由奇函数的性质确定函数在(-Q,0)上的单调性,然后 利用函数的单调性,列出不等式求出x的集合.【规范解答】由奇函数y=f(x)在(0,+Q)上递增,且 f( 1 ) =0,得函数y=f(x)在(-Q,0)上递增,且 f( ? 1 ) =0.由f( log 1 x )&0,得 log 1 x & 1 或- 1 & log 1 x &0, 解得0&x& 1 或1&x&3.39 922229所以满足条件的x的取值集合为{x|0&x& 1 或1&x&3}. 答案:{x|0&x& 1 或1&x&3}3 3命题角度3：求参数的值或取值范围【典例5】(2015?杭州模拟)已知函数f(x)=f x ?f x 对任意的实数x1≠x2,都有 ? 1 ? ? 2 ? &0成立,则实数a的取值范围 x1 ? x 2?? a ? 2 ? x, x ? 2， ? 满足 ? 1 x ?( ) ? 1, x ? 2 ? 2为.【解题提示】先由 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? &0判断f(x)在R上的单调性,再根据x1 ? x 2f(x)的单调性构建关于实数a的不等式组求解.?a ? 2 ? 0， 【规范解答】函数f(x)是R上的减函数,于是有 ? ? 1 2 a ? 2 ? 2 ? ( ) ? 1， ? ? ? 2 ? 由此解得a≤ 13， 813 即实数a的取值范围是 (??， ]. 8 13 答案: ( ??， ] 8悟?技法1.含“f”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))&f(h(x))的形式,然后 根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.2.比较函数值大小的思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空 题能数形结合的尽量用图象法求解. 3.求参数的值或取值范围的思路 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到 其图象的升降,再结合图象求解.通?一类1.(2015?西安模拟)函数y=取值范围是( A.a=-3 C.a≤-3 )x ? 5 在(-1,+∞)上单调递增,则a的 x ?a ?2B.a&3 D.a≥-3【解析】选C.y=x ?5 a ?3 ＝ 1＋ ， x ?a ?2 x ? ?a ? 2?由函数在(-1,+Q)上单调递增,a ? 3 ? 0， 有 ? 解得a≤-3. ? ?a ? 2 ? ?1，2.(2015?青岛模拟)已知函数f(x)=log2x+1 ,若x ∈(1,2), 1 1? xx2∈(2,+∞),则(A.f(x1)&0,f(x2)&0 C.f(x1)&0,f(x2)&0)B.f(x1)&0,f(x2)&0 D.f(x1)&0,f(x2)&0【解析】选B.因为函数f(x)=log2x+ 1 在(1,+Q)上为增函数,1? x且f(2)=0,所以当x1∈(1,2)时,f(x1)&f(2)=0,当x2∈(2,+Q)时,f(x2)&f(2)=0, 即f(x1)&0,f(x2)&0.3.(2015?兰州模拟)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数, 且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)& f( 1 ) 的x的取值范围是(3)1 2 A.( , ) 3 3 1 2 C.( , ) 2 31 2 B.[ , ) 3 3 1 2 D.[ , ) 2 3? 2x ? 1 ? 0， ? 1 2 【解析】选D.由题意,得 ? 1 故 ? x＜ ，所以选D. 2x ? 1 ? , 2 3 ? 3 ?4.(2015?舟山模拟)已知f(x)=x1 ? x 2都有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? &0成立,那么a的取值范围是? ?? 2 ? a ? x ? 1, x ? 1, 满足对任意x1≠x2, ? x ? ?a , x ? 1.【解析】由已知条件得f(x)为增函数,?2 ? a ? 0, 所以 ? ?a ? 1, ? 2 ? a ?1 ? 1 ? a, ? ??解得 3 ≤a&2,所以a的取值范围是 [ 3 ， 2)．22答案: [ 3 ， 2)2自我纠错4分段函数的单调性问题?a x , x ? 1, ? 是R上的单调递 ? a ?(4 ? )x ? 2, x ? 1 2 ?【典例】(2015?金华模拟)f(x)= 增函数,则实数a的取值范围是 A.(1,+∞) B.[4,8) () D.(1,8)C.(4,8)【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程错在忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而导致实数a的范围扩大.【规避策略】1.弄清分段函数的单调性的特点对于分段函数的单调性,一要保证各段上同增(减),二要保证上、下段 间端点值间的大小关系. 2.熟练掌握分段函数单调性的图象解法 画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观判断.【自我矫正】选B.由题意f(x)在R上单调递增,? ?a ? 1， ? 则有 ?4 ? a ? 0， ? ? 2 a ? (4 ? ) ? 2 ? a， ? 2 ?解得4≤a&8.第三节 函数的奇偶性与周期性
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填(1)函数的奇偶性: 奇偶性 定义 图象特点 y轴 关于____ 对称 原点 关于_____如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 偶函数 f(-x)=f(x) 那么函数f(x)是偶函数 有___________, 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 奇函数 f(-x)=-f(x) 那么函数f(x)是奇函数 有____________,对称(2)周期性:①周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定f(x+T)=f(x) 那么就称函数y=f(x)为周期 义域内的任何值时,都有____________, 函数,称T为这个函数的周期. 最小 的 ②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____ 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.必备结论教材提炼记一记(1)函数奇偶性常用结论:①如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇.(2)函数周期性常用结论:对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a&0); ②若f(x+a)=1 ,则T=2a(a&0); f ?x? f ?x?③若f(x+a)= ? 1 ,则T=2a(a&0).3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:判断函数奇偶性的方法,应用函数奇偶性、周期性的方法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的.( )(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.())(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.((4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( )【解析】(1)正确.根据函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意义,故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称 ,但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性 . (2)错误.若函数f(x)在点x=0处没有定义,如f(x)= 1 ,则f(0)不存在.x(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a 对称. (4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点 (b,0)中心对称. 答案:(1)√ (2)〓 (3)√ (4)√2.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P39B组T3改编)若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数, 则函数f(x)在(-∞,0)上为 .【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(x)关于y轴对称,又因为f(x)在 (0,+Q)上为增函数,结合图象可知,函数f(x)在(-Q,0)上为减函数. 答案:减函数(2)(必修1P39A组T6改编)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)&0的x的取值范围是 【解析】如图所示, .由f(x)为奇函数知:f(x)&0的x的取值范围为(-1,0)∪(1,+Q). 答案:(-1,0)∪(1,+Q)(3)(必修1P39A组T6改编)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则 f( ? 5 ) =2.【解析】依题意,得 f( ? 5 ) ? ?f ( 5 ) ? ?f ( 5 ? 2)2 1 1 1 1 ? ?f( ) ? ?2 ? ? (1 ? ) ? ? . 2 2 2 2 2 2 2答案: ? 13.真题小试感悟考题试一试(1)(2014?湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0) 上单调递增的是( A.f(x)= 12x) B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2-xC.f(x)=x3【解析】选A. 选项 A 具体分析 结论 正确幂函数f(x)=x-2是偶函数,且在区间(-Q,0)上是增 函数二次函数f(x)=x2+1是偶函数,且在区间(-Q,0)是 减函数 幂函数f(x)=x3是奇函数,且在区间(-Q,0)上是增 函数 指数函数f(x)=2-x= ( ) x是非奇非偶函数,且在区间 2 (-Q,0)上是减函数1BC D错误错误 错误(2)(2015?石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R 都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2014)等于( A.0 B.3 C.4 ) D.6【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-2)=f(2).所以f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)=2f(2),所以f(2)=0.f(2014)=f(4〓503+2)=f(2)=0.(3)(2014?新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递 减,f(2)=0,若f(x-1)&0,则x的取值范围是 .【解析】由题可知,当-2&x&2时,f(x)&0,f(x-1)的图象是由f(x)的图 象向右平移一个单位得到的,若f(x-1)&0,则-1&x&3. 答案:(-1,3)考点1函数奇偶性的判断 )【典例1】(1)(2014?广东高考)下列函数为奇函数的是( (本题源于教材必修1P35例5) A.2x1 2xB.x3sin x D.x2+2xC.2cos x+1(2)判断下列函数的奇偶性①f(x)=|x+1|-|x-1|；②f(x)= 9 ? x 2 ? x 2 ? 9；2 1 ? x ③f(x)= ; x?2 ?2④f(x)=(x-1) 1 ? x ，x∈(-1,1).1? x【解题提示】(1)奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0.(2)先求出定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域内,解析式带绝对值号的先化简,计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)之间的关系.【规范解答】(1)选A.几个函数的定义域都关于原点对称,在原点处有 定义,故应满足f(0)=0,此时2cos x+1和x2+2x不符合题意;又2x- 1x 满2 足f(-x)=-f(x),但x3sin x满足f(-x)=f(x),所以只有f(x)=2x- 1x 是 2奇函数.(2)①函数的定义域x∈(-Q,+Q),关于原点对称. 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.2 ? ?9 ? x ? 0, ②由 ? 2 得x=3. ? ? x ? 9 ? 0,所以f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称. 又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即f(x)=f(-x). 所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.③去掉绝对值符号,根据定义判断.2 ?1 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 0, ? 由? 得 ? ? ? x ? 0且x ? ?4. ? ? x ? 2 ? 2 ? 0,故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2&0.从而有 f(x)= 1 ? x ? 1 ? x ，这时有f(-x)= x ?2?2 x2 21 ? ? ?x ? ?x21 ? x 2 =-f(x), ?? x故f(x)是奇函数.④已知f(x)的定义域为(-1,1),其定义域关于原点对称.因为f(x)= ? x ? 1? 1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ?，1? x所以f(-x)= ? ?1 ? x ??1 ? x ? =f(x). 即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.【易错警示】解答本题(2)有三点容易出错: (1)忽视函数的定义域. (2)对函数奇偶性概念把握不准. (3)存在既是奇函数,又是偶函数的情形,对②不知如何判断.【互动探究】本例(2)④题中若将条件“x∈(-1,1)”去掉,函数的奇 偶性如何? 【解析】要使f(x)有意义,则 1 ? x ≥0,解得-1≤x&1,显然f(x)的定1? x义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.【规律方法】判断函数的奇偶性的两种重要方法 (1)定义法:(2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴) 对称.【变式训练】下列函数:①f(x)=x3-x;②f(x)=ln(x+ x 2 ? 1 );x ?x a ? a ③f(x)= (a&0且a≠1); x ?x a ?a ④f(x)= lg 1 ? x ； 1? x? x ?1 ? x ? , x ? 0, ⑤f(x)= ? 其中有 ? ? ?? x ?1 ? x ? , x ? 0,个奇函数.【解析】①f(x)=x3-x的定义域为R,又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),所以f(x)=x3-x是奇函数.②由x+x 2 ? 1 &x+|x|≥0知f(x)=ln(x+x 2 ? 1 )的定义域为R,又f(-x)= ln( ? x ?? ?x ?2? 1) ? ln1 x ? x2 ?1=-ln(x+ x 2 ? 1 )=-f(x),所以f(x)为奇函数.?x x a ? a ③f(x)定义域为R,且f(-x)= ? x x =-f(x), a ?a所以f(x)为奇函数.④由1? x &0得-1&x&1, 1? x 1? x 的定义域为(-1,1), 1? x 1? x 1? x 1? xf(x)=lg又f(-x)= lg 1 ? x ? lg( 1 ? x ) ?1 ? ?lg 1 ? x ? ?f ? x ?， 所以f(x)为奇函数.⑤函数f(x)的定义域为(-Q,0)∪(0,+Q),其关于原点对称,并且有当x&0时,-x&0,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x)=f(x),当x&0时,-x&0, f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=f(x), 所以函数f(x)为偶函数.所以①②③④⑤中共有4个奇函数. 答案:4?1, x ? Q, 【加固训练】1.设Q为有理数集,函数f(x)= ? ??1, x ? ?R Q，x e g(x)= ? 1 ,则函数h(x)=f(x)?g(x)( ex ? 1)A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是偶函数也不是奇函数【解析】选A.因为当x∈Q时,-x∈Q,所以f(-x)=f(x)=1;当x∈?RQ时,-x∈?RQ,所以f(-x)=f(x)=-1. 综上,对任意x∈R,都有f(-x)=f(x), 故函数f(x)为偶函数.e? x ? 1 1 ? e x ex ? 1 因为g(-x)= ? x ? ?? ? ?g ? x ?， x x e ?1 1? e 1? e所以函数g(x)为奇函数.所以h(-x)=f(-x)?g(-x)=f(x)?[-g(x)]=-f(x)g(x)=-h(x),所以函数h(x)=f(x)?g(x)是奇函数. 所以h(1)=f(1)?g(1)= e ? 1 ,h(-1)=f(-1)?g(-1)= 1〓 e?1 ? 1 ? 1 ? e ， h(-1)≠h(1),e ?1 1? e?1e ?1所以函数h(x)不是偶函数.2.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则()A.f(x)是偶函数C.f(x)=f(x+2)B.f(x)是奇函数D.f(x+3)是奇函数【解析】选D.f(x+1)是奇函数,则有f(-x+1)=-f(x+1); ①f(x-1)是奇函数,则有f(-x-1)=-f(x-1); ②在①式中用x+1代替x,则有f[-(x+1)+1]=-f[(x+1)+1], 即f(-x)=-f(x+2); 在②式中用x-1代替x,则有f[-(x-1)-1]=-f[(x-1)-1], 即f(-x)=-f(x-2),则f(x-2)=f(x+2),可知周期为4,则f(x-1)=f(x+3),f(-x-1)=f(-x+3).由②式:f(-x-1)=-f(x-1),可得f(-x+3)=-f(x+3), 所以f(x+3)是奇函数.考点2函数周期性及其应用【典例2】(1)(2015?南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)&0在[-1,3]上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1) )(2)(2014?四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈??4x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, [-1,1)时,f(x)= ? 则 f( 3 ) = 2 ? x,0 ? x ? 1,.【解题提示】(1)根据函数的周期性、奇偶性及在x∈[0,2]上的解析式画出函数的图象,结合函数图象求解.(2)利用周期得 f( ) ? f (? )， 再求值即得.3 2 1 2【规范解答】(1)选C.f(x)的图象如图.当x∈[-1,0)时,由xf(x)&0得x∈(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)&0得x∈?.当x∈[1,3]时,由xf(x)&0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).(2)因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，所以 f ( 3 ) ? f (? 1 ) ? ?4 ? (? 1 ) 2 ? 2 ? 1.2 2 2答案：1【规律方法】函数周期性的判定与应用(1)判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体 性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是函数的周期.【变式训练】(2015?南京模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)= ? 1f ?x?,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=.【解析】由已知,可得f(x+4)=f((x+2)+2)?? 1 1 ?? ? f ? x ?. 1 f ? x ? 2? ? f ?x?故函数的周期为4. 所以f(105.5)=f(4〓27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).因为2.5∈[2,3],由题意,得f(2.5)=2.5.所以f(105.5)=2.5.答案:2.5【加固训练】1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于(A.-1 B.1 C.-2)D.2【解析】选A.由f(x)是R上周期为5的奇函数知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, 所以f(3)-f(4)=-1.2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x&-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x&3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)等于( A.335 ) B.336 C.1678 D.2012【解析】选B.因为f(x+6)=f(x),所以f(x)是以6为周期的函数.因为当-3≤x&-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x&3时,f(x)=x, 所以f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1, 所以f(1)+f(2)+…+f(2010)=1〓 2 010 =335.6而f(2011)+f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1. 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(=336.3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)?f(x)=1对于x∈R恒成立,且f(x)&0,则f(119)=f ?x?.1 =f(x), f ? x ? 2?【解析】因为f(x+2)= 1 ,所以f(x+4)=f(x+2+2)= 所以f(x)为周期函数,且周期为4, 又因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以 f(119)=f(29〓4+3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1),又因为f(-1+2)=1 ， f ? ?1?所以f(1)?f(-1)=1 即f2(1)=1,因为f(x)&0, 所以f(1)=1,所以f(119)=1. 答案:1考点3函数奇偶性的应用知?考情函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中 常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周 期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、 填空题形式出现.明?角度命题角度1:已知函数的奇偶性求函数的值【典例3】(2014?湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=(A.-3 B.-1 C.1 D.3)【解题提示】由奇函数和偶函数的定义,把x=-1代入即可.【规范解答】选C.把x=-1代入已知,得f(-1)-g(-1)=1,所以f(1)+g(1)=1.命题角度2:奇函数、偶函数图象对称性的应用【典例4】(2015?杭州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x),当x&0时,f(x)=- 1 ,当x≥0时,g(x)=2x,则f(x)和g(x)图象的公x共点在( A.第一象限 C.第三象限) B.第二象限 D.第四象限【解题提示】根据奇函数、偶函数图象的对称性分别作出 f(x)与g(x)的图象,数形结合求解.【规范解答】选B.根据奇函数、偶函数图象的对称性分别作出 f(x)与 g(x)的图象如图所示, 由图象知公共点在第二象限.命题角度3:已知函数的奇偶性,求参数【典例5】(2014?湖南高考)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .【解题提示】利用偶函数的定义求解.【规范解答】方法一:由偶函数的定义得f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,-3x=2ax,a= － 3 .2方法二:因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1), 即ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a,?3 e 即2a= ln 3 ? 1 =ln e-3=-3,所以a= ? 3 . 2 e ?1 答案: ? 3 2悟?技法函数奇偶性的问题类型及解题思路(1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区 间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数 法:利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程求解.(3)应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间 上的图象及判断另一对称区间上的单调性.通?一类1.(2015?福州模拟)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4.则g(1)等于( A.4 B.3 C.2 ) D.1? f ?1? ? g ?1? ? 2, 解得g(1)=3. 【解析】选B.由已知条件变形得 ?? ? ? ?f ?1? ? g ?1? ? 4,2.(2015?西安模拟)设f(x)=2 是奇函数且在原点处有定义, lg( ? a) 1? x则使f(x)&0的x的取值范围是(A.(-1,0) C.(-∞,0))B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.因为函数f(x)= lg( 2 ? a) 为奇函数,且在x=0处有定义,1? x故f(0)=0,即lg(2+a)=0,所以a=-1. 故函数f(x)= lg( 2 ? 1) ? lg 1 ? x .1? x 1? x 令f(x)&0,得0& 1 ? x &1,解得-1&x&0, 1? x即x∈(-1,0).3.(2015?烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是 ( A.0 C.- 1 或- 14 2 1 2 D.0或- 1 4)B.0或-【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=f(x)在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,所以x= .所以A ( 1 , 1 )， 又A点在y=x+a上,所以a= ? 1 ， 综上可知a=0或 ? 1 .4 2 441 24.(2015?邯郸模拟)若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 有f(-3)=0,则xf(x)&0的解集是 .【解析】由题意可得,函数f(x)在(-Q,0)上是增函数,且f(-3)= -f(3)=0,函数的单调性示意图如图所示, 由不等式xf(x)&0可得,x与f(x)的符号相反,结合函数f(x)的图象可得,不等式的解集为(-3,0)∪(0,3).答案:(-3,0)∪(0,3)巧思妙解1妙用奇偶性求函数解析式中的参数值x 为奇函数, ? 2x ? 1?? x ? a ?【典例】(2015?金华模拟)若函数f(x)= 则a=(A. 1 2)B. 2 3 C. 3 4 D.1【常规解法】选A.因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，因为f(x)=所以x x ? 2 , ? 2x ? 1?? x ? a ? 2x ? ?1 ? 2a ? x ? a?x ?x ? ， 2 2 2x ? ?1 ? 2a ? x ? a 2x ? ?1 ? 2a ? x ? a2所以-(1-2a)=1-2a，所以1-2a=0，所以a= 1 .【巧妙解法】选A.方法一:由已知f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1)，即?1 ?1 ? ， ? ?2 ? 1?? ?1 ? a ? ? 2 ? 1??1 ? a ?2所以a+1=3(1-a)，解得a= 1 .方法二：因为 f(x)的分子是奇函数，所以要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数，所以1-2a=0，所以a= 1 . 方法三：因为 f(x)为奇函数，且 ? 12 2不在f(x)的定义域内，1 也不在f(x)的定义域内， 2 1 所以 1 -a=0，所以a= . 2 2故【方法指导】利用函数的奇偶性求参数的思路:利用函数的奇偶性的定义转化为f(-x)=±f(x),建立方程,使问题得到解决,但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特殊值法求 解.【类题试解】(2015?烟台模拟)已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数,则a= ,b= .?2x ? b 2x ?1 ? a【常规解法】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),x x ? 2 ? b ? 2 ?b 又f(x)= ? ， x ?1 x 2 ? a 2?2 ? a ?x x ? 2 ? b ? 2 ?b 所以 ? ? ， ?x x 2?2 ? a 2?2 ? a x x b ? 2 ? 1 2 ?b 即 ? ， x x a ?2 ? 2 2?2 ? a左、右对照得a=2,b=1. 答案:2 11 ? ?1 ?2 ? 1 【巧妙解法】由f(0)=0,得b=1,再由f(-1)=-f(1),得 2 ? ? ， 1? a 4?a解得a=2. 答案:2 1第四节 指 数 函 数
【知识梳理】 1.必会知识 (1)根式: 根式的概念 xn=a 那么x叫做a的n次方根 如果____, 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 正数 负数的n次方根是一个_____ 负数 _____,n教材回扣填一填符号表示备注n&1且n∈N*a零的n次方根是零 负数没有偶次方根当n为偶数时,正数的n次方根有 两个 它们互为_______ 相反数 _____,?n a(a&0)(2)两个重要公式: a 为奇数, __,n a __,a≥0, |a| n为偶数. ____= -a,a&0,①nan ?a ②( n a )n=__.(3)有理数指数幂的运算性质: ar+s ①ar?as=____(a&0,r,s∈Q); ars ②(ar)s=___(a&0,r,s∈Q); a rb r ③(ab)r=____(a&0,b&0,r∈Q).(4)分数指数幂:n m *,n&1); ①正分数指数幂: a =_____(a&0,m,n∈N am n1②负分数指数幂: am ? n*,n&1); n m =______(a&0,m,n∈N a0 的负分数指数幂_______. 无意义 ③0的正分数指数幂是__,0(5)指数函数的图象与性质: 函数 0&a&1 图象 y=ax(a&0,且a≠1) a&1上方 过定点______ (0,1) 在x轴_____,图象特征 当x逐渐增大时,图象逐渐 下降 当x逐渐增大时,图象逐渐 上升函数定义域y=ax(a&0,且a≠1) R __(0,+∞) ________值域性 质 单调性 函数值 变化 规律减 ___y=1 当x=0时,____增 ___y&1 当x&0时, 当x&0时,______; 0&y&1 当x&0时, 当x&0时,____; 0&y&1 y&1 ______ ____2.必备结论教材提炼记一记同底数幂相除,指数相减. 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:换元法、图象平移法. (2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.(3)记忆口诀:指数函数记忆口诀多个图形像束花,(0,1)这点把它扎.撇增捺减无例外,底互倒时y轴夹. y=1为判底线,交点纵标看小大. 重视数形结合法,横轴上面图象察.【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 )(1) n a n 与( n a ) n 都等于a(n∈N*).( (2)2a?2b=2ab.( )(3)函数y=3?2x与y=2x+1都不是指数函数.( (4)若am&an(a&0且a≠1),则m&n.( (5)函数y=2-x在R上为单调减函数.( ) ))【解析】(1)错误,当n为偶数,a&0时不成立. (2)错误,2a?2b=2a+b≠2ab. (3)正确,两个函数均不符合指数函数的定义. (4)错误,当a&1时,m&n,而当0&a&1时,m&n. (5)正确,y=2-x= ( 1 ) x,根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数.2答案:(1)〓 (2)〓(3)√(4)〓(5)√2.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a&0,且a≠1)的图象经过点 P(2, 1 ),则f(-1)=2 2.2 ， 2【解析】依题意可知 1 =a2,解得a=2 2所以f(x)= ( 2 ) x， 所以f(-1)= ( 2 )?1 ? 2. 答案: 2(2)(必修1P60B组T2改编)若 x ? x =3,则 【解析】由 x ? x1 2 ? 1 21 2?1 2x ?x ?2 = 2 ?2 x ?x ?33 2?3 2.=3,得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,所以x2+x-2+2=49,x2+x-2=47. 因为 x ? x3 23 2?3 23 2? (x ? x ) ? 3(x ? x ) =27-9=18,47 ? 31 2?1 2 31 2?1 2所以 x 2 ? x ?2 ? 2 ? 18 ? 2 ? 2 .x ?x ?35?5答案: 2(3)(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数, 则实数a的取值范围是 .【解析】由y=(a2-1)x在(-Q,+Q)上为减函数,得0&a2-1&1, 所以1&a2&2,即1&a& 2 或- 2 &a&-1. 答案:(- 2 ,-1)∪(1, 2 )3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014?陕西高考)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调 递增函数是( A.f(x)=x3 C.f(x)= x1 2) B.f(x)=3x D.f(x)= ( 1 ) x2【解析】选B.根据函数满足“f(x+y)=f(x)f(y)”可以推出该函数为 指数函数,又函数为单调递增函数,所以底数大于1,从而确定函数为 f(x)=3x.(2)(2015?承德模拟)函数f(x)= A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0]1 ? 2x ?1 的定义域为( x ?3)B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]x ? x ? 0, ? 1 ? 2 ? 0, 【解析】选A.由题意,自变量x应满足 ? 解得 ? ? x ? ?3, ? x ? 3 ? 0,所以-3&x≤0.x (3)(2015?绵阳模拟)函数y=ax与y= ( 1 )(a&0, 且a≠1)的图象关于a()A.x轴对称C.原点对称B.y轴对称D.直线y=x对称【解析】选B.y= ( ) x =a-x.不妨设a&1,如图所示,关于y轴对称.1 a考点1指数幂的化简与求值a 3b 2 3 ab 2 (a&0,b&0)= (a b ) a b2 11 4 1 1 ? 3 2 4 1 3【典例1】(1)化简:.(2)计算: ( ? 27 )? 3 ? ? 0.002 ?? 2 ? 108?5 ?2? ???13? 2 .?0【解题提示】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行 计算. (2)将负的分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行 计算.【规范解答】(1)原式= (a b a b ) ? a 2 ? 6 ?1? 3 b1? 3 ?2? 3 ? ab ?1. 1 1 ? ab 2a 3 b 3答案：ab-11 ? ? 27 1 10 (2)原式= ( ? ) 3 ? ( ) 2? ?1 8 500 5?2 21 3 2 32 1 3 23 11111 8 3 ? ( ? ) ? 500 2 ? 10 5 ? 2 ? 1 27 4 167 ? ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 ? ? . 9 92??【规律方法】指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂 的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.【变式训练】化简下列各式(其中各字母均为正数):7 0 0.25 4 2 3 6 3 1 1.5 ? ( ? ) ? 8 ? 2 ? ( 2 ? 3) ? ( ) . ?? 6 3? 1 3 2? 2?(a ?b ?1 ) ?a ?b62 3?1 2?1 21 3a ?b5.1 1 1 2 3 【解析】(1)原式= ( ) 3 ?1 ? ? 2 ? 4 ? 2 4 ? (2 3 ? 3 2 )6 ? ( 2 ) 3 ? 2 ? 4 ? 27 ? 110. 3 3111(2)原式= a b 1?a5 b ? a ? 3 ? 2 ? 6 ?b 2 ? 3 ? 6 ? 1 . a 6 6 a b?1 31 2?1 21 31 1 11 1 5【加固训练】1.化简 4 16x8 y4 (x&0,y&0)得( A.2x2y B.2xy8 4)C.4x2y8 1 4 4D.-2x2y【解析】选D. 4 16x y ? ?16x y? [2 ? ?x ? ? ? ?y? ] ? 24 8 4 1 4 1 4? 4?? ? ?x ?1 8? 4? ? ?y ?1 4? 4=2(-x)2(-y)=-2x2y.2.化简 a ? ? 1 ? a? ?3a3? 4 a 4 的值为.【解析】由题意可知a&0，故 a ? ? 1 ?a?? ?? a?33? 4 a4? ?a ?a2? a ? ? ?a ? ? ? ?a.答案：? ?a3.化简： ( 1 ) ? 2 ?41?3 24ab?1?1?3=1 ?3 2.? 0.1?? ? a 3 ?b3 2 ? 3 2 ? 3 2?【解析】原式= 2?4 a b10a b3 28 ? . 5答案：85考点2指数函数的图象及应用a【典例2】(1)(2015?惠州模拟)函数y=ax- 1 (a&0,且a≠1)的图象 可能是( )(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.【解题提示】(1)分a&1及0&a&1两种情况讨论函数y=ax- 1 的单调性,a再结合选择支求解.(2)作出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象,数形结合求解.【规范解答】(1)选D.当a&1时,y=ax- 1 为增函数,且在y轴上的截距为a0&1- 1 &1,排除A,B.当0&a&1时,y=ax- 1 为减函数,且在y轴上的截距为1- 1 &0,故选D.a aa【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有以下解法:方法一:当0&a&1时,函数y=ax- 1 是减函数,且其图象可视为是由函数ay=ax的图象向下平移 1 个单位长度得到的,结合各选项知选D.a方法二:因为函数y=ax-1 (a&0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),所以选D. a(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]. 答案:[-1,1]【互动探究】若将本例(2)中“|y|=2x+1”改为“y=|2x-1|”,且与直 线y=b有两个公共点,求b的取值范围. 【解析】曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示,由图象可得,如果 曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).【规律方法】指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y=ax(a&0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1 ).a(2)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图 象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数 图象数形结合求解.【变式训练】1.(2015?安庆模拟)已知函数f(x)=(x-a)?(x-b)(其中a&b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是()【解析】选A.由已知并结合图象可知0&a&1,b&-1.对于函数g(x)=ax+b,它一定是单调递减的,排除C,D.且当x=0时g(0)=a0+b=1+b&0,即图象与y轴交点在负半轴上,排除B,选A.2.方程2x=2-x解的个数是个.【解析】方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1【加固训练】1.已知实数a,b满足等式 ( 1 )a ? ( 1 ) b ,下列五个关系式:2 3①0&b&a;②a&b&0;③0&a&b;④b&a&0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( A.1个 B.2个 ) C.3个 D.4个【解析】选B.函数y1= ( 1 ) x与y2= ( 1 ) x 的图象如图所示.23由 ( )a ? ( ) b 得,a&b&0或0&b&a或a=b=0. 故①②⑤可能成立,③④不可能成立.故选B.1 21 32.若函数y=ax+b-1(a&0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a,b的取值范围分别是.【解析】因为函数y=ax+b-1(a&0且a≠1)的图象经过第二、三、四象0 ? a ? 1, 限,所以 ? ??1 ? b ? 1 ? 0,即 ??0 ? a ? 1, ?b ? 0.答案:(0,1),(-Q,0)考点3指数函数的性质及应用知?考情指数函数的性质主要是其单调性,备受高考命题专家的青睐.高考 常以选择题或填空题的形式出现,考查指数幂值大小比较、解简单指 数不等式、判断指数型函数单调性以及求指数型函数的最值等问题, 难度偏小,属中低档题.明?角度命题角度1:比较指数幂的大小【典例3】(2015?天津模拟)设y1=40.9,y2=80.48,y3= A.y3&y1&y2 C.y1&y2&y3 B.y2&y1&y3 D.y1&y3&y21 , 则( ( ) ?1.5 2)【解题提示】利用指数幂的运算性质,分别将y1,y2,y3化为同底数的幂,再利用单调性比较大小.【规范解答】选D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3= ( 1 ) ?1.5 =21.5.2因为1.8&1.5&1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1&y3&y2.命题角度2:研究指数型函数的奇偶性、单调性等性质【典例4】(2015?合肥模拟)已知f(x)=(1)判断f(x)的奇偶性. (2)讨论f(x)的单调性.a (ax-a-x)(a&0,且a≠1). a2 ?1【解题提示】(1)根据函数奇偶性的定义判断.(2)分a&1及0&a&1对函 数f(x)的单调性进行讨论.【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=a -x-ax)=-f(x), (a a2 ?1所以f(x)为奇函数. (2)当a&1时,a2-1&0, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数. 所以f(x)为增函数.当0&a&1时,a2-1&0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数. 所以f(x)为增函数. 故当a&0且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.悟?技法有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1). (2)简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单 调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断, 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. 提醒:在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确 时,要分类讨论.通?一类1.(2015?金华模拟)已知a=21.2,b= ( 1 ) ?0.8 ,c=2log52,则a,b,c的2大小关系为( A.c&b&a C.b&a&c) B.c&a&b D.b&c&a2【解析】选A.因为a=21.2,b= ( 1 ) ?0.8 =20.8,所以a&b&1.又 c=2log52=log54&1,所以a&b&c.2.(2015?哈尔滨模拟)若函数f(x)=?1 , x ? 0, ? ?x 则不等式 ? ?( 1 ) x , x ? 0, ? ? 31 1 的解集为( ? ? f ?x? ? 3 3) B.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(1, 3 ]∪[3,+∞)A.[-1,2)∪[3,+∞) C.[ 3 ,+∞)2?1 , x ? 0, ? 1 的图象如图 x 【解析】选B.函数f(x)= ? 和函数 g(x)=
? 3 ?( 1 ) x , x ? 0, ? ? 3 所示.从图象上可以看出不等式的解集是两个 无限区间.当x&0时,是区间(-Q,-3],当 x≥0时,是区间[1,+Q),故不等式- 1 ≤ f(x)≤1 的解集为(-Q,-3]∪[1,+Q). 3 33.(2015?郑州模拟)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)&0}=(A.{x|x&-2或x&4} C.{x|x&0或x&6})B.{x|x&0或x&4} D.{x|x&-2或x&2}【解析】选B.f(x)为偶函数,当x&0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.x ? 2 ? 所以f(x)= ? ? 4, x ? 0, 当f(x-2)&0时, ?x ? ? 2 ? 4, x ? 0,x ? 2 ? 0, 有 ? ?x ?2 2 ? 4 ? 0, ?x ? 2 ? 0, 或 ? ??x? 2 2 ? 4 ? 0, ?解得x&4或x&0.4.(2015?成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x&0时, f(x)=1-2-x,则不等式f(x)&- 1 的解集是(2)A.(-∞,-1) C.(1,+∞)B.(-∞,-1] D.[1,+∞)【解析】选A.当x&0时,f(x)=1-2-x&0,又f(x)是R上的奇函数,所以f(x)&- 1 的解集和f(x)& 1 (x&0)的解集关于原点对称,由1-2-x&2 1 1 1 得2-x& =2-1,即x&1,则f(x)&- 的解集是(-Q,-1). 2 2 2 2自我纠错5应用指数函数的性质求参数【典例】(2015?苏州模拟)若函数f(x)=ax(a&0,a≠1)在[-1,2]上的 最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) x 在[0,+∞)上是增函数, 则a=________.【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:对条件“g(x)在[0,+Q)上是增函数”不会使用,求得结果后未进行检验得到两个答案.【规避策略】1.对指数函数的底数a分类讨论指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应 分a&1和0&a&1两种情况讨论. 2.熟练掌握复合函数单调性 根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一,熟练掌握基 本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.【自我矫正】g(x)在[0,+Q)上为增函数,则1-4m&0,即m& 1 .若a&1,则函数f(x)在[-1,2]上单调递增,最小值为2 4 1 =m,最大值为a2=4,解得 a 41 a=2,m= 1 ,与m& 矛盾;当0&a&1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减,最小值为a2=m,最大值为a-1=4,解得a= 1 ,m= 1 .所以a= 1 . 答案: 14 16 4 4第五节 对 数 函 数
【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)对数的概念: logaN 如果ax=N(a&0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=_____.(2)对数的性质、换底公式与运算性质:性质 换底 公式 0 ②log a=__; 1 ③ a log N=__. N ①loga1=__; aalogab=_______(a,c均大于0且不等于1,b&0) 如果a&0,且a≠1,M&0,N&0,那么: logaM+logaN ①loga(M?N)=___________; M log M-log N a a ②loga N =___________; nlogaM n ③logaM =______(n∈R)log c b log c a运算 性质(3)对数函数的定义、图象与性质: 定义 y=logax(a&0,且a≠1) 函数___________________ 叫做对数函数 a&1 0&a&1图象(0,+∞) 定义域:________(-∞,+∞) 值域:__________性质 (1,0) 当x=1时,y=0,即过定点______当0&x&1时,y&0; y&0 当x&1时,____ 增函数 在(0,+∞)上为_______当0&x&1时,y&0; y&0 当x&1时,____ 减函数 在(0,+∞)上为_______(4)反函数: y=logax 指数函数y=ax(a&0,且a≠1)与对数函数_______(a&0, 且a≠1)互为 y=x 对称. 反函数,它们的图象关于直线____2.必备结论教材提炼记一记(1)换底公式的两个重要推论1 ; log b a ② log a m b n ? n log a b. m①logab=其中a&0,且a≠1,b&0,且b≠1,m,n∈R.(2)对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底 数.故0&c&d&1&a&b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底 数逐渐增大.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:换元法、图象平移法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.(3)记忆口诀:①换底公式的记忆口诀 换底公式真神奇,换成新底可任意, 原底加底变分母,真数加底变分子. ②对数函数性质口诀 对数函数很简单,图象恒过(1,0)点. a大1时单调增,(0,1)之间单调减. 图象都在y轴右,第一象限底逆减.【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 ) ) )(1)logax2=2logax.((2)函数y=log2(x+1)是对数函数.(1? x(3)函数y=ln 1 ? x 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( (4)若logam&logan,则m&n.( )【解析】(1)错误,logax2=2loga|x|.(2)错误,不符合对数函数定义.(3)正确,函数y=ln 1 ? x1? x的定义域为(-1,1),而函数y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域亦为(-1,1).(4)错误,当a&1时成立,而0&a&1时不成立.答案:(1)〓 (2)〓 (3)√ (4)〓2.教材改编链接教材练一练)(1)(必修1P68T3(2)改编) lg 5 ? lg 20 的值是(A.1 2B.1C.10D.100【解析】选B. lg 5 ? lg 20 ? lg 100 ? 1.(2)(必修1P75A组T11改编)(log29)?(log34)=( A.1 4)B. 1【解析】选D.(log29)?(log34)= lg 9 ? lg 4 ? 2lg 3 ? 2lg 2 ? 4.lg 2 lg 3 lg 2 lg 32C.2D.43.真题小试感悟考题试一试ln ? x ? 1? ? x 2 ? 3x ? 4(1)(2015?哈尔滨模拟)函数y= A.(-4,-1) C.(-1,1)的定义域为()B.(-4,1) D.(-1,1]? x ? 1 ? 0, ? x ? ?1, ?? ? ?1 ? x ? 1. 2 ? 4 ? x ? 1 ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ?【解析】选C.由题意可知 ?(2)(2014?陕西高考)已知4a=2,lg x=a,则x=【解析】由4a=2得a=.1 1 ,又由lg x=a得 10 2 =x,即x= 10 . 2答案: 10(3)(2015?唐山模拟)函数f(x)=ln(x+1)的单调增区间是 【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+Q), 令t=x+1(t&0)..因为y=ln t在t∈(0,+Q)上为增函数,t=x+1在(-1,+Q)上为增函数, 所以函数f(x)=ln(x+1)的单调增区间为(-1,+Q). 答案:(-1,+Q)考点1对数的运算 . ; .【典例1】(1)若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= (2)计算:①lg25+lg2?lg50+(lg2)2= ②(log32+log92)?(log43+log83)=【解题提示】(1)利用对数与指数之间的相互转化求解. (2)①根据对数的运算性质进行计算.②应用换底公式求解. 【规范解答】(1)因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以 a2m+n=(am)2?an=22〓3=12. 答案:12【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有以下解法: loga2=m,loga3=n,所以a2m+n=(am)2?an=(aloga2)2?aloga3=22〓3=12. 答案:12(2)①原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52 =(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5 =2(lg2+lg5)=2. 答案:2②原式＝ (＝(lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 3lg 2 5lg 3 5 ? )? ( ? )＝ ? ＝ . lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 2lg 3 6lg 2 4答案： 54【互动探究】在本例(1)的条件下,求loga36的值. 【解析】loga36=loga4+loga9=2(loga2+loga3)=2(m+n).【规律方法】对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 ,化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运 算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.16 ? 3 5 4 4 【变式训练】1.(2014?安徽高考)计算：( ) ? log3 ? log3 81 4 5=.16 ? 3 【解析】 ( ) 4 ? log3 5 ? log3 4 ? ( 2 )?3 ? log3 ( 5 ? 4 ) ? 27 . 81 4 5 3 4 5 8答案： 2782.(2015?长沙模拟)若3a=2,则2log36-log316= 【解析】因为3a=2,所以a=log32, 故2log36-log316=2(log33+log32)-log324 =2(1+a)-4log32=2+2a-4a=2-2a. 答案:2-2a.【加固训练】1.(2014?大连模拟)若2a=5b=m,且 1 ＋ 1 =2,则实数ma b的值为(A. 2)B. 3 C. 5 D. 10【解析】选D.因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,所以 ＋ ＝1 a 1 b 1 1 ＋ log 2 m log5m=logm2+logm5=logm10=2,所以m2=10,又m&0,所以m= 10.2.计算： log ( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) = 2 【解析】方法一：原式＝ 1 log 2 2 1 ＝ log［ 2? 3 ? 2? 3 ］ 2 4?2 2 1 ＝ log 2 (4 ? 2) 2 1 1 ＝ log 2 2＝ . 2 2.2? 3 ? 2? 3??2?? ??答案：12方法二：原式＝log 2 ( 4 ? 2 3 ? 4 ? 2 3 )2 2＝log 2 [ ＝log 2 ＝log 2?3 ?1 2?2?? ?3 ?1 2?2]?3 ?1 ?? ?23 ?12 1 ＝log 2 2＝ . 2 22答案：13.计算： ?1 ? log 6 3? ? log 6 2?log 618 log 6 42=.【解析】原式6 2 1 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3? ? log 6 ?log 6 ? 6 ? 3 ? 3 ＝ log 6 4 1 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3? ? ?1 ? log 6 3??1 ? log 6 3 ? ＝ log 6 421 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3? ? 1 ? ? log 6 3? ＝ log 6 422＝答案：12 ?1 ? log 6 3? log 6 6 ? log 6 3 log 6 2 ＝ ＝ ＝ 1. 2log 6 2 log 6 2 log 6 2考点2对数函数的图象及应用【典例2】(1)(2014?山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数. 其中a&0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a&1,c&1 C.0&a&1,c&1B.a&1,0&c&1 D.0&a&1,0&c&1(2)(2015?乌鲁木齐模拟)当0&x≤1 时,4x&logax,则a的取值范围是 2(2 A.(0， ) 2 B.( 2 ,1) 2 C. 1, 2)??D.?2,2?【解题提示】(1)根据对数函数的性质及函数图象与平移进行判断 . (2)把不等式恒成立问题转化为函数图象的位Z关系 ,然后画出函数的 图象解决.【规范解答】(1)选D.由图象单调递减的性质可得0&a&1,图象向左平 移小于1个单位,故0&c&1,故选D. (2)选B.由题意得,当0&a&1时,要使得4x&logax(0&x≤1 ),即当0&x≤ 1 2 2时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则0&a&1,如图所示.且 4 &loga 1 ,即loga 1 &logaa2,所以a2& 1 ,从而 2 &a&1.所以实数a1 2222的取值范围是( 2 ,1).22【易错警示】解答本例题(2)有两点容易出错 (1)不能将不等式恒成立转化为两函数图象的位置关系.1 (2) 4 2 与loga 1 的关系不明确.2【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【变式训练】(2014?福建高考)若函数y=logax(a&0,且a≠1)的图象如 图所示,则下列函数图象正确的是( )【解题提示】利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰项.【解析】选B.由题得,a=3,因此,A选项函数为y=3-x= ( 1 ) x ,在定义域内3是减函数,图象不对;B选项函数为y=x3,图象正确;C选项函数为y= (-x)3,在定义域内应是减函数,图象不对;D选项y=log3(-x)应与 y=log3x的图象关于y轴对称,因此不符.x ?x e ? e 【加固训练】1.函数y= ln x ? x 的图象大致为( e ?e)x ?x e ? e 【解析】选C.由题意,知 &0,即ex-e-x&0,所以x&0,即函数的 ex ? e? x x ?x 2x e ? e e 定义域是(0,+Q),排除选项A,B.由于0& x ? x ＝ 2x ? 1 &1,所以 e ?e e ?1 ex ? e? x &0.故选C. ln x ?x e ?e2.函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )【解析】选C.在同一直角坐标系下作出函数f(x)=ln x与g(x)= x2-4x+4=(x-2)2的图象,如图所示. 由图知f(x)与g(x)的图象的交点 个数为2,故选C.考点3对数函数的性质及其应用知?考情对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,主要考查比较对数值的大小,解简单的对数不等式,有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题.多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.明?角度命题角度1:求函数的定义域【典例3】(2014?山东高考)函数f(x)= A.(0,2) C.(2,+∞) B.(0,2] D.[2,+∞)1 的定义域为( log 2 x ? 1)【解题提示】本题考查了函数的定义域,对数函数的性质,利用定义域的求法:1.分母不为零;2.被开方数为非负数;3.真数大于0求定义域.【解析】选C.由定义域的求法知:? x ? 0, 解得x&2,故选C. ? ?log 2 x ? 1 ? 0,命题角度2:比较对数值的大小【典例4】(2014?辽宁高考)已知 a ? 2 , b ? log 2 1 ,c ? log 1 1 .?1 3323则() B.a&c&b D.c&b&aA.a&b&c C.c&a&b【解题提示】结合指数函数与对数函数的图象及性质 ,判断a,b,c的范 围,确定大小.【解析】选C.由于指数函数y=2x在R上为增函数,则0& 2?1 3&20=1;而对数函数y=log2x为(0,+Q)上的增函数, 则log2 1 &log21=0;3对数函数y= log 1 x 为(0,+Q)上的减函数, 则 log 1 1 ? log 1 1 =1. 综上可知,c&a&b.22322命题角度3:解对数不等式【典例5】(2015?宁波模拟)设函数f(x)=若f(a)&f(-a),则实数a的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1). C.(-1,0)∪(1,+∞)?log 2 x,(x＞0) ? ?log 1 ? ? x ? ,(x＜0) ? ? 2)B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)【解题提示】由a&0或a&0并结合f(a)&f(-a),列出不等式组求解,化简中注意到换底公式的应用.【规范解答】选C.由题意可得?a ? 0, ?a ? 0, 或 ? ? ?log 1 ? ?a ? ? log 2 ? ?a ? . ?log 2 a ? ?log 2 a ? ? 2解得a&1或-1&a&0.悟?技法 1.求对数型函数定义域的策略. 列出对应的不等式(组)求解,注意对数函数的底数和真数的取值范围. 2.比较对数式大小的类型及相应的方法.(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 3.解对数不等式的类型及方法. (1)形如logax&logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取 值不确定,需分a&1与0&a&1两种情况讨论. (2)形如logax&b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.通?一类1.(2013?新课标全国卷Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则(A.a&c&b C.c&b&a B.b&c&a D.c&a&b)【解析】选D.方法一:a=log32&log33=1,b=log52&log55=1,c=log23&log22=1, 又log32=lg 2 lg 2 ,log52= ,lg3&lg5, lg 5 lg 3所以log32&log52,综上c&a&b.故选D. 方法二:因为 3 &2&3,1&2& 5 , 所以log3 3 &log32&log33,log51&log52&log5 5 ,log23&log22, 所以 1 &a&1,0&b& 1 ,c&1,2 2所以c&a&b.2.(2015?开封模拟)设函数f(x)=?21? x , x ? 1, 则满足f(x)≤2的 ? ?1 ? log 2 x, x ? 1,x的取值范围是(A.[-1,2] C.[1,+∞))B.[0,2] D.[0,+∞)【解析】选D.当x≤1时,21-x≤2,解得x≥0,所以0≤x≤1;当x&1时, 1-log2x≤2,解得x≥ ,所以x&1.综上可知x≥0.1 23.(2015?中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a&0,a≠1),若f(x)&1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为【解析】当a&1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)&1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)&1, 解之得1&a& 8 ,3.若0&a&1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数,由f(x)&1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)&1,故8-2a&0,所以a&4,又因为0&a&1,故不存在. 综上可知,实数a的取值范围是(1, 8 ). 答案:(1, 8 )3 3自我纠错6对数函数的参数求值问题【典例】(2015?兰州模拟)已知函数y=logax(2≤x≤4)的最大值比 最小值大1,则a的值为____.【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:对数函数的底数含有参数a,错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a&1解题.【规避策略】1.注意分类讨论对数函数的底数决定了对数函数的单调性,对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性,如果对数函数的底数含有参数,在处理有关问题时, 必须对参数进行讨论. 2.解决与对数有关问题的两个关注点: (1)务必先研究函数的定义域.(2)对数函数的单调性取决于底数a,应 注意底数的取值范围.【自我矫正】(1)若a&1,则函数y=logax(2≤x≤4)为增函数,由题意得loga4-loga2=loga2=1, 所以a=2,又2&1,符合题意.(2)若0&a&1,则函数y=logax(2≤x≤4)为减函数,由题意得loga2-loga4=loga 1 =1, 所以a= 1 ,又0& 1 &1,符合题意. 综上可得a=2或a= 1 . 答案:2或 12 2 2 2 2第六节 幂函数与二次函数
【知识梳理】1.必会知识(1)幂函数:教材回扣填一填y=xα 叫做幂函数,其中__ x 是自变量,___ α 为常数. ①定义:一般地,函数_____②幂函数的图象比较:(2)二次函数:①解析式:ax2+bx+c(a≠0) 一般式:f(x)=______________; (h,k) 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);顶点坐标为______. 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).②图象与性质: 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a&0) f(x)=ax2+bx+c(a&0)图象定义域值域(-∞,+∞)4ac ? b 2 [ , ??) 4a __________(-∞,+∞)4ac ? b 2 (??, ] 4a __________解析式f(x)=ax2+bx+c(a&0)b , ?? ) 在x∈___________ 2a [?f(x)=ax2+bx+c(a&0)b ] 在x∈__________ 2a ( ??, ?单调性b ( ??, ? ] 在x∈___________ 2a上单调递增上单调递增b [ ? , ?? ) 在x∈____________ 2a上单调递减 奇偶性 顶点 对称性上单调递减b=0 时为偶函数 当____b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a b x?? 图象关于直线__________ 2a 成轴对称图形2.必备结论教材提炼记一记(1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0 的实根. __________(2)若x1,x2为f(x)=0的实根,则f(x)在x轴上截得的线段长应为b 2 ? 4ac a |x1-x2|=___________.?a ? 0, ?a ? 0, ? ? ?? ? 0 时,恒有f(x)&0. ?? ? 0 时,恒有f(x)&0;当_______ (3)当_______(4)幂函数图象的性质①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.②幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内.③如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:配方法、待定系数法. (2)数学思想:数形结合,分类讨论. (3)记忆口诀:幂函数在第一象限的图象 “正抛负双,大竖小横” 说明:α&0且α≠1时图象是抛物线型;α&0时图象是双曲线型;α&1 时图象是竖直抛物线型;0&α&1时图象是横卧抛物线型.【小题快练】 1.思考辨析 静心思考1 2判一判 ) )(1)函数y= 2x 是幂函数.((2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( (3)当n&0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( (4)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 )4ac ? b 2 .( 4a)【解析】(1)错误,不符合幂函数的定义. (2)正确,因若相交,则x=0得y=0,若y=0,则得x=0. (3)错误,幂函数y=x-1在定义域上不单调. (4)错误,当 ? b ?[m,n]时,二次函数的最值,在区间端点达到,而非4ac ? b . 4a22a答案:(1)〓 (2)√(3)〓(4)〓2.教材改编链接教材练一练3(1)(必修1P82A组T10改编)已知点M( 3 ,3)在幂函数f(x)的图象上, 则f(x)的表达式为( A.f(x)=x2 C.f(x)= x1 2) B.f(x)=x-2 D.f(x)= x? 1 2【解析】选B.设幂函数的解析式为y=xα,则3= ( 3 )? ,所以α=-2.3即y=x-2.(2)(必修1P79T1改编)设α∈{-1,1, 1 ,3},则使函数y=xα的定义域2为R且为奇函数的所有α值为( A.1,3 C.-1,3) B.-1,1 D.-1,1,33 3 x ,y=x 中,只有函数y=x和y=x1 2【解析】选A.在函数y=x-1,y=x,y=的定义域是R,且是奇函数,故α=1,3.3.真题小试感悟考题试一试x的图象是(1 3(1)(2015?长沙模拟)函数y=)【解析】选B.因为函数y= x 是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点 (1,1),排除A,D.当x&1,0&α&1时,y=xα在直线y=x下方,排除C.1 3(2)(2014?上海高考)若f(x)= x ? x ,则满足f(x)&0的x的取值范?2 31 2围是.2 3 ? 1 2【解析】f(x)= x ? x2 3 ? 1 27 6(x&0),若满足f(x)&0,7 6即 x ? x ,所以 x ? 1 ? 1 , 因为y= x 是增函数,所以 x &1的解集为(0,1), 即x的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)7 6 7 6(3)(2015?蚌埠模拟)函数y=3-2 2 ? 2x ? x的值域是.【解析】因为2-2x+x2=(x-1)2+1≥1, 所以2 ? 2x＋x 2 ≥1.所以y≤2.答案:(-Q,2]考点1幂函数的图象及性质2 2 1【典例1】(1)(2015?长春模拟)若 a ? ( 1 ) 3，b ? ( 1 ) 3 ,c ? ( 1 ) 3， 则a,b,c 2 5 2 的大小关系是( A.a&b&c ) B.c&a&b C.b&c&a2+m-3D.b&a&c(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm 是增函数,则m的值为( A.-1 B.2 )是幂函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)C.-1或2D.3【解题提示】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较.(2)先利用幂函数的定义确定出m的取值范围,再利用f(x)在(0,+Q)上是增函数确定m的具体值.【规范解答】(1)选D.因为y= x 在第一象限内是增函数,所以 a ? ( 1 ) 3 ? b ? ( 1 ) 3 ,因为y= ( 1 ) x 是减函数, 2 5 2 所以 a ? ( 1 ) 3 ? c ? ( 1 ) 3 ,所以b&a&c. 2 22 1 2 22 3(2)选B.因为f(x)是幂函数, 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 当m=-1时,m2+m-3=-3, 当m=2时,m2+m-3=3, f(x)=x-3或f(x)=x3, 而易知f(x)=x3在(0,+Q)上为增函数, f(x)=x-3= 13 在(0,+Q)上为减函数,x所以m的值为2.【易错警示】解答本例题(2)有三点容易出错 (1)对幂函数的定义不明确,不能确定m2-m-1=1. (2)对幂函数的图象不理解,不清楚x∈(0,+∞)时函数递增的含义. (3)在求得m后没有进行检验.【互动探究】本例(2)已知变为“幂函数f(x)=(t3-t+1) x (t∈N)是偶函数”,则实数t的值如何? 【解析】因为函数是幂函数,所以t3-t+1=1, 解得t=0或1或-1.2 7 ? 3t ? 2t 7 当t=0时, ＝ ,函数是奇函数; 5 5 2 当t=1时, 7 ? 3t ? 2t ＝8 ,函数是偶函数; 5 5 2 当t=-1时, 7 ? 3t ? 2t ＝ 2 ,函数是偶函数, 5 57 ? 3t ? 2t 2 5故实数t的值为-1或1.【规律方法】 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择 适当的函数,借助其单调性进行比较. 2.幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征:α取值α&10&α&1α&0图象特殊点 凹凸性 单调性 举例过(0,0),(1,1) 下凸 递增 y=x2过(0,0),(1,1) 上凸 递增 y= x1 2过(1,1) 下凸 递减 y=x-1, 1 ? y= x 2【变式训练】1.(2015?南昌模拟)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则 幂函数y=f(x)的图象是( )【解析】选C.设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α= 1 .所以y= x ,其定义域为[0,+Q),且是增函数, 2当0&x&1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,故选C.2.已知f(x)= x ,若0&a&b&1,则下列各式正确的是(1 1 A.f ? a ? ? f ? b ? ? f ( ) ? f ( ) a b 1 1 B.f ( ) ? f ( ) ? f ? b ? ? f ? a ? a b 1 1 C.f ? a ? ? f ? b ? ? f ( ) ? f ( ) b a 1 1 D.f ( ) ? f ? a ? ? f ( ) ? f ? b ? a b1 2)【解析】选C.因为0&a&b&1,所以0&a&b&1& 1 ? 1 .b a又函数f(x)=x1 2为增函数,1 b 1 a所以f(a)&f(b)& f( ) ? f( ).【加固训练】1.(2015?珠海模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点 ( 1 ， 2 ) ,则log4f(2)的值为(2 2)D.-2A. 14B.- 14C.2【解析】选A.设f(x)=xα,由图象过点 ( 1 ， 2 ) ,得2 21 1 ? 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ＝ ＝( ) ? ?＝ ，log 4f ? 2 ?＝log 4 2 ＝ . 2 2 2 2 42.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数y=x 的图象经过的“卦限”是(1 2)A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤【解析】选D.由0&x&1时,y= x &x,x&1时,y= x &x知,y= x 的图象 经过①⑤“卦限”.故选D.1 23.当0&x&1时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是.【解析】如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)&g(x)&f(x).答案:h(x)&g(x)&f(x)考点2求二次函数的解析式【典例2】(1)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此二次函数的解析式为 .(2)(2015?长沙模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式 f(x)&-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,则f(x) 的单调递增区间为 .【解题提示】(1)根据条件,利用二次函数一般式、顶点式或零点式求解.(2)先求出函数解析式,然后根据二次函数的图象确定其单调递增区间.【规范解答】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).? ? 4a ? 2b ? c ? ?1， ? 由题意得 ?a ? b ? c ? ?1， ? 4ac ? b 2 ? ? 8， ? 4a?a ? ?4, 解得 ? ?b ? 4, ?c ? 7. ?所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.【一题多解】解答本题，你知道几种解法？ 解答本题，还有以下解法：方法一：(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x-m)2＋n. 因为f(2)＝f(-1)， 所以抛物线的对称轴为x＝2 ? ? ?1? 2 1 ＝ . 2所以m＝ 1 .又根据题意函数有最大值8，所以n＝8.2所以y＝f(x)＝ a(x ? 1 ) 2＋8.2因为f(2)＝-1，所以 a(2 ? 1 ) 2＋8＝-1，解得a＝-4，2所以f(x)＝ ?4(x ? 1 ) 2＋8＝-4x2＋4x＋7.2方法二(利用零点式):由已知f(x)+1=0两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1.2 4a( ? 2a ? 1) ? a 又函数有最大值ymax=8,即 =8. 4a解得a=-4. 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.答案:f(x)=-4x2+4x+7(2)因为f(x)+2x&0的解集为(1,3),设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a&0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a?9a=0,解得a=1或a=- 1 .由于a&0,舍去a=1. 将a=- 1 代入①式得5 5f(x)= ? x 2 ? x ? ＝ ? (x＋3) 2＋ ， 所以函数f(x)的单调增区间是(-Q,-3]. 答案:(-Q,-3]1 56 53 51 56 5【规律方法】求二次函数解析式的方法【变式训练】1.