《第09章+二重积分(习题)》 www.wenku1.com
第09章+二重积分(习题)日期：
第九章 二重积分习题9-1 1、设I1???(xD12?y2)3d?,其中D1?{(x,y)|?1?x?1,?2?y?2};又I2???(xD22?y2)3d?,其中D2?{(x,y)|0?x?1,0?y?2},试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系.解：由于二重积分I1表示的立体关于坐标面x?0及y?0对称,且I1位于第一卦限部分与I2一致,因此I1?4I2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D关于y轴对称,f(x,y)为x的奇函数,即f(?x,y)??f(x,y)时,有??f(x,y)d??0;D(2)当积分区域D关于y轴对称,f(x,y)为x的偶函数,即f(?x,y)?f(x,y)时,有??f(x,y)d??2??f(x,y)d?,其中DDD12221为D在x?0的部分.并由此计算下列积分的值,其中D?{(x,y)|x?y?R}.y3cosxd?. (I)??xyd?; (II)??yR?x?yd?; (III)??221?x?yDDD4222解：令I???f(x,y)d?,I???f(x,y)d?,其中D为D在x?0的部分,11DD1(1)由于D关于y轴对称,f(x,y)为x的奇函数,那么I表示的立体关于坐标面x?0对称,且在x?0的部分的体积为I1,在x?0的部分的体积为?I1,于是I?0;(2)由于D关于y轴对称,f(x,y)为x的偶函数,那么I表示的立体关于坐标面x?0对称,且在x?0的部分的体积为I1,在x?0的部分的体积也为I1,于是I?2I1.(I)由于D?{(x,y)|x?y?R}关于y轴对称,且f(x,y)?xy为x的奇函数, 于是2224??xyd??0;D4(II)由于D?{(x,y)|x2?y2?R2}关于Dx轴对称,且f(x,y)?yR2?x2?y2为y的奇函数,于是??yR2?x2?y2d??0;y3cosx(III)由于D?{(x,y)|x?y?R}关于x轴对称,且f(x,y)?1?x2?y2222y3cosxd??0. 为y的奇函数,于是??221?x?yD 3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)I1?23与(x?y)d?I?(x?y)d?,其中D是由x轴、y轴与直线2????DDx?y?1所围成;解：由于在D内,0?x?y?1,有0?(x?y)?(x?y),所以32I2???(x?y)3d????(x?y)2d??I1.DD(2)I1???ln(x?y)d?与I???[ln(x?y)]d?,2DD22其中D?{(x,y)|3?x?5,0?y?1}.解：由于在D内,e?3?x?y?6,有ln(x?y)?1,ln(x?y)?[ln(x?y)],所以I1???ln(x?y)d????[ln(x?y)]2d??I2.DD 4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：(1)I???xy(x?y?1)d?,D其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}；解：由于D的面积为2,且在D内,0?xy(x?y?1)?8,那么0?0?2???xy(x?y?1)d??8?2?16.D(2)I???(xD2?4y2?9)d?,22其中D?{(x,y)|x?y?4}； 解：由于D的面积为4?,且在D内,9?x2?4y2?9?13?3y2?25,那么36??9?4????(x2?4y2?9)d??25?4??100?.D d?, 22??100?cosx?cosyD其中D?{(x,y)| |x|?|y|?10}； 解：由于D的面积为200,且在D内, 111??,那么 102100?cos2x?cos2y1000＝?????2. 22?cosx?cosy100(3)I? 习题9-21、计算下列二重积分： (1)??(xD2?y2)d?,其中D是矩形区域: |x|?1,|y|?1；解：(x?y)d??dx(x?y)dy?2(x?)dx?. ??????1?1?133D (2)xxye??D2?y2d?,其中D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}；bd2解：22x(x?y)d??dx(xye????Dac22212?(eb?ea)(ed?ec). 4?y2b2212)dy?(ed?ec)?xexdx.a2(3)??(3x?2y)d?,其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域；D解：(3x?2y)d??D???2 dx?(3x?2y)dy??(4?2x?2x2)dx? 2?x220. 3(4)??xcos(x?y)d?,其中D是顶点分别为(0,0),(?,0)和(?,?)的三角形D闭区域. 解：?x?3xcos(x?y)d??dxxcos(x?y)dy?x(sin2x?sinx)dx???. ?????0002D 2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)2y?x,y?x,其中是由两条抛物线所围成的闭区域； xyd?D??D解：??xDyd???dx?2 x12146xydy??(x?x4)dx?.30557yd?,其中D是由直线y?x,y?2x及x?1,x?2所围成的闭区域； ??xD22xyy329dy??xdx?. 解：??d???dx?1xxx214D(2)1及y?2所围成的闭区域； xD2y21192解：??(2x?y)d???dy1(2x?y)dx??(2y?1?2)dy?.11y6yD(3)??(2x?y)d?,其中D是由y?x,y?(4)??eDDx?yd?,其中D是由|x|?|y|?1所确定的闭区域.d???dx??10x?1?x?1解： ??ex?yex?ydy??dx? 1?x?1x?1ex?ydy??(e?12x?1e3e11?e)dx??(e?e2x?1)dx?????e?.022e22ee?11 a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分??f(x,y)d?的被积函数f(x,y)是两个函数f(x)及1Df2(y)的乘积,即f(x,y)?f1(x)f2(y),积分区域D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即??Dbdf(x,y)d????f1(x)dx????f2(y)dy?.?a???c????证明：??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dx??dx?f1(x)f2(y)dyacacbadbd?????f1(x)?f2(y)dydx??f1(x)dx??f2(y)dy?. ??????c??a???c?bdbd?? 4、化二重积分I???f(x,y)d?为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不D同的两个二次积分),其中积分区域D是：(1)由曲线y?lnx、直线x?2及x轴所围成的闭区域； 图形>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：I?(2)由y轴及右半圆x??dx?12lnx f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx. eln22a2?y2所围成的闭区域；图形>plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1); 解：I??dx? aa?x22?a?xf(x,y)dy??dy??aaa2?y2 f(x,y)dx. 2(3)由抛物线y?x与直线2x?y?3所围成的闭区域.图形>plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1); 解：I??dy01f(x,y)dx??dy?193?yf(x,y)dx. 5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)?1 dy?yyf(x,y)dx； 解：I? (2)?dx?0ee1xx2f(x,y)dy.?1 dy?yf(x,y)dx； 解：I?(3)11?1?y2?dx?1elnx f(x,y)dy.?dy? 2?yf(x,y)dx； 解：I? (4)?dx?122x?x22?xf(x,y)dy.22?x?1 dx?f(x,y)dy??dx? 1x2 f(x,y)dy； 解：I?(5)?sinxx2?1 dy?2?yyf(x,y)dx.? dx??sinf(x,y)dy；?1图形> plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1); 解：I? (6)2a? ?1dy??2arcsinyf(x,y)dx??dy? ??arcsinyarcsinyf(x,y)dx.? dx?2ax?x2f(x,y)dy??dx?1222?x f(x,y)dy.2a图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1); 解：I??a dyya?a2?y22a2af(x,y)dx??dy? aa?a2?y2f(x,y)dx??dyy2f(x,y)dx.a2a2a 6、设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2,y?x和x轴所围成,它的面密度?(x,y)?x?y,求该改薄片的质量.图形> plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1); 解：m?22???(x,y)d???dy?D 12?xy(x2?y2)dx884??(?4y?4y2?y3)dy?. 03331 7、求由平面x?0,y?0,z?1,x?y?1及z?1?x?y所围成的立体的体积.图形> with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x): display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR); 解：V???[(1?x?y)?1]d???dx?D 11?x (x?y)dy?1112(1?x)dx?. ?023 8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长500m,宽20m的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x轴(0?x?20),往公路延伸方向为y轴(0?y?500),且山坡高度为z?10sin?500y?sin?20x,试计算所需挖掉的土方量.图形> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20); 解：V? 9、画出积分区域,把积分I?中积分区域D是：(1)D?{(x,y)|x?y?a,x?0} (a?0)；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);?222??zd???dx?D 20500 (10sin?500y?sin?20x)dy?70028(m3).??f(x,y)d?表示为极坐标形式的二次积分,其D解：I???d??f(rcos?,rsin?)rdr.2?2022a(2)D?{(x,y)|x?y?2y}；图形> plot([1+(1-x^2)^(1/2), 1-(1-x^2)^(1/2)], x=-1..1,color=1); 解：x?y?2y?r2?2rsin??r?2sin?,于是22I??d?? ?2sin? f(rcos?,rsin?)rdr. (3)D?{(x,y)|a?x?y?b},其中0?a?b；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：I?2222?2? d??f(rcos?,rsin?)rdr.ab 2(4)D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}.图形> plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1); 解：y?x?rsin??r2cos2??r?sec?tan?,2x?1?rcos??1?r?sec?,于是?I??4d?? sec?sec?tan?f(rcos?,rsin?)rdr. 10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)?1 dx?f(x,y)dy； 1图形> plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：x?1?rcos??1?r?sec?,y?1?rsin??1?r?csc?,于是?I??d??40sec?? f(rcos?,rsin?)rdr??d??24csc? f(rcos?,rsin?)rdr.(2)?dx? 11?x21?xf(x2?y2)dy；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：y?1?x?rsin??1?rcos??r??01,于是sin??cos?I??2d?11sin??cos?f(r)rdr. 11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值： (1)?2a dx?2ax?x2 (x2?y2)dy；图形> plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1); 解：y?2ax?x2?rsin??2arcos??r2cos2??r?2acos?,?于是 I? (2)1?20d??2acos? 3r3dr?4a4?2cos4???a4.04?? dx?x21x?y2xdy；图形> plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解：x?1?rcos??1?r?sec?,于是?I??3d??4sec?? dr??3sec?d??ln42?3.1?2a2?x2(3)?3a2 dx?3x3 x?ydy?22aa2dx? x2?y2dy.图形> plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：x?1?rcos??1?r?sec?,于是?I??6d?? a a3rdr?32??60d???18a3. 12、利用极坐标计算下列各题： (1)??D2R2?x2?y2d?,其中D为圆域x2?y2?Rx(R?0)；2图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：x?y?Rx?r?Rrcos??r?Rcos?,于是?2Rcos?I???d??2?2 R2?r2rdr?134R(??). 33(2)2222x?y?1及坐标轴所围成的在第一,其中为圆ln(1?x?y)d?D??D象限内的闭区域；图形> plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);?解：I??20d??ln(1?r2)rdr? 1?4(2ln2?1).(3)yarctand?,其中D为圆周x2?y2?1,x2?y2?4及直线??xDy?0,y?x所围成的在第一象限内的闭区域.图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2), (4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);?332解：I??4d???rdr??4?d???.0102642? 13、选择适当的坐标计算下列各题： (1)??Dx2d?,其中D是直线x?2,y?x及曲线xy?1所围成的闭区域； 2y图形> plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1); 解：I? (2)222222??x?y?4?,其中是圆环形区域； sinx?yd?D???21dx1xx2x293dy?(x?x)dx?. ?1y24D图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：I? (3)22(x?y)d?,其中D是由直线y?x,y?x?a,y?a,y?3a(a?0)??D?2? d??rsinrdr??6?2.?2?所围成的闭区域；图形> plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1); 解：I? (4)2222x?y?4. ,其中为圆域|1?x?y|d?D???3aady?yy?a(x?y)dx??223aaa3(2ay?ay?)dx?14a4.322D图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：I??2? d??(1?r2)rdr??d??(r2?1)rdr? 112?2?2?9??5?. 22214、计算以xOy面上的圆周x?y?ax围成的闭区域为底,而以曲面z?x2?y2为顶的曲顶柱体的体积.图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：x?y?ax?r?arcos??r?acos?,于是?222V???(x?y)d????d??2D?222acos? a4rdr?43?4??cos?d??2?23?a4. 32 15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r处的水深为5米,试求该水池的蓄水量. 21?r图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：V??2? d??5rdr?5?(ln2?ln13)?16.29(米3). 201?r5 16、讨论并计算下列广义二重积分：d?,其中D?{(x,y)|xy?1,x?1}； pq??xyDq?1p?q?0????11??11dy???dx???解：I??dx1. pqp?q?1?11xy1?qx(1?q)(q?p)x即当p?q?1时,广义二重积分收敛,且1. I?(q?1)(p?q)(1)d?22,其中D?{(x,y)|x?y?1}； 22p??(x?y)D2p?1?12???1?解：I??d??. dr????01r2p?1p?1(2)即当p?1时,广义二重积分收敛,且I? ?p?1. 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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把二重积分化为极坐标形式的二次积分 ∫dx∫f(x,y)dy 其中∫dx和∫f(x,y)dy的积分上下限都为【0,1】
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与《把二重积分化为极坐标形式的二次积分 ∫dx∫f(x,y)dy 其中∫dx和∫f(x,y)dy的积分上下限都为【0,1】》相关的作业问题
本题主要求y=x²的极坐标方程,即rsinθ=r²cos²θ,整理后为：r=sinθ/cos²θ则∫(0->1)dx∫(x^2->x)(x^2+y^2)^(-1/2)dy=∫[0->π/4]dθ∫[0->sinθ/cos²θ] (1/r)*rdr=∫[0->π/4]dθ
0 再问： &难道图中的x,y不符合0&=x&=1,0&=y&=1这个条件吗 再答： 不符合，它的形式是 0
∫[0,1]dx∫[0,1] f(x,y) dy=∫∫ f(x,y) dxdy 积分区域为矩形：0≤x≤1,0≤y≤1作y=x将矩形分为两部分分别来做,x=1对应的极坐标方程为：rcosθ=1,即r=1/cosθy=1对应的极坐标方程为：rsinθ=1,即r=1/sinθ原式=∫∫ f(rcosθ,rsinθ)r dr
原式=∫dθ∫r*rdr (做极坐标变换)=∫(1/3)(sinθ/cos²θ)³dθ=(1/3)∫sin³θdθ/(cosθ)^6=(-1/3)∫[(cosθ)^(-6)-(cosθ)^(-4)]d(cosθ)=(-1/3)[(-1/5)(cosθ)^(-5)+(1/3)(cosθ)^(
这个积分区域应该是个边长为1的正方形内部.如果要用极坐标,令x=rcost,y=rsint,则dxdy=rdrdt则把正方形区域按照角度分为两个区域R1,R2其中R1={(r,t)| 0≤r≤1/cost,0≤t≤π/4}R2={(r,t)| 0≤r≤1/sint,π/4≤t≤π/2}从而原式=∫ [0,π/4] dt
高数书本上有例题的 dxdy=pdpdθ注意 对应的p和θ的范围即可 分别对 p和θ积分即可 再问： 那极坐标化为直角坐标怎么做呢？ 再答： 形似ρ=2sin（π/3 +θ） ρ^2=2ρ(sinθcosπ/3+cosθsinπ/3) ρ^2=2ρ((1/2)*sinθ+(根号3/2)cosθ) x^2+y^2=y+根
这个简单啦!只要知道 x=rcosθ,y=rsinθ 就行了!0
被积分函数的不用管了吧都是∫∫f(rcosθ,rsinθ）rdrdθ1. 代入x=rcosθ,y=rsinθ则,
积分区域是圆的四分之一区域经济数学团队帮你解答.满意请及时评价.谢谢!
x∈[0,t],y∈[0,x]x=pcost,y=psintt∈[0,π/4],p∈[0,√2acost]原式=∫[0,π/4]∫[0,√2acost]p*pdpdt 再问： 看不懂啊，t是哪里来的
您问题的解答如下:
再问： 下限为什么不是y=x那一条直线呢?用极坐标的形式不会看上下限分别是那一段线段啊.... 再答： 那个只能算是边界，极坐标中θ的上下限是点与原点的连线与x轴所成的角度算的，ρ的上下限是以到原点的距离算的
x=pcosθ,y=psinθ代入x²＋y²=2x,得p=2cosθ即D:{0≤p≤2cosθ{-π/2≤θ≤π/2所以原式=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ=∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,2cosθ)f(pcosθ,psinθ)pdpdθ
积分区域是一个圆心在原点、半径为2的1/4圆原积分 = ∫ dθ ∫ f(rcosθ,rsinθ) r d
变量和被积函数部分是套公式,极坐标积分顺序变化不多,一般总是先积r,后积θ.主要是积分区域,原积分区域是矩形,化为极坐标后,要分为曲边扇形：沿θ=π/4（y=x）把矩形分为两部分:,一部分：0≤θ≤π/4,0≤r≤secθ,（x=1的极坐标方程r=1/cosθ）另一部分：π/4≤θ≤π/2,0≤r≤cscθ,（y=1的
img class="ikqb_img" src="http://h.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=bd4074292dbfb4bb9b269/5fdf8db1cbd1094a69.jpg"
I=∫（0到2）dy∫[0到√（2y-y²）]f（x,y）dxx=√（2y-y²）实际是圆x^2+(y-1)^2=1,极坐标p=2sinaa∈[0,π/2]I=∫（0到2）dy∫[0到√（2y-y²）]f（x,y）dx=∫[0,π/2]∫[0,2sina]f(p,a)pdpda 再问： 为
我画的区域如图,所以你的写法完全正确.经济数学团队帮你解答,请及时采纳. 再问： 谢谢了大哥！ 上传我的文档
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直角坐标下二重积分的计算
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余切的平方积分怎么算?∫cot²xdx
∫cot²xdx=∫cos²x/sin²xdx=∫(1-sin²x)/sin²xdx=∫(1/sin²x)-1 dx=-cosx/sinx-x+C
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与《余切的平方积分怎么算?∫cot²xdx》相关的作业问题
初等函数积不出来,二重积分的方法可以得到,一般数学书上都有讲到这个题,[∫exp(x^2)dx]^2 =∫exp(y^2)dy∫exp(x^2)dx =∫∫exp(x^2+y^2)dxdy 看到一个圆的表达式了,用极坐标代换 =∫∫rexp(r^2)drdθ 假设圆的半径是r=2π[(1/2)exp(r^2)] =π[
∫cot²xdx=S(csc^2x-1)dx=Scsc^2xdx-Sdx=-cotx-x+c
x(x-5)=x^2-5x 还不会我就没办法了
∫sin^2x /cosx dx=∫(1-cos^2x)/cosx dx=∫(1/cosx - cosx) dx=ln|secx+tanx| -sinx +C
替换 x=tan t,-pi/2
∫(sinx)^2 *(cosx)^4dx=∫(sinx^2*cosx^2)*cosx^2dx=∫(1/4)(sin2x)^2 cosx^2 dx=(1/4)∫(sin2x)^2*[(1+cos2x)/2]dx=(1/8)∫(sin2x)^2 dx +(-1/16)∫(sin2x)^2dsin2x=(1/8)∫(1-c
(r^4)*(e的-r平方次方）,对r从0到∞求积分,=3*根（pi）/8
tan的负一次幂
这个定积分如果用纯粹数学分析的方法计算起来非常麻烦.一般数学系用的数学分析教材里面含参变量反常积分里面都有,但是我在这里还是强烈建议用复变函数的积分理论去做这道题目,那真是太简单了.建议去看钟玉泉编的《复变函数论》第248页
∫cos x /xdx 不用算,积不出代数表达式的和∫sin x /xdx 一样只有级数表达式
因为cot²x=csc²x-1所以∫cot^4xdx=∫(csc²x-1)²dx=∫(csc^4x-2csc²x+1)dx=∫(2-csc²x)d(cotx)+∫dx=∫(1-cot²x)d(cotx)+x=x+cotx-1/3cot³x+
x平方分之一的积分=-1/x+C
三角变换,化成tanx来做&过程如下图：&
∫ln(x^2+1)dx(用分步积分法）=xln(x^2+1)-∫2x^2/(x^2+1)dx=xln(x^2+1)-∫2(x^2+1-1)/(x^2+1)dx=xln(x^2+1)-∫2[1-1/(x^2+1)]dx=xln(x^2+1)-2x+arctanx+C 再问： xln(x^2+1)-∫2x^2/(x^2+
如下图望采纳
α β是方程的两个根根据韦达定理得α+ β=-cotθα β=-2-1/sinθ不理解请再追问 再问： 额，问个白痴问题。。为什么说α，β是两个根 再答： 不要这么说，这个问题并没有那么简单 α 满足函数1，也满足函数2，函数2减函数1，y消掉，得到α 满足上面所说的方程 β也是相同。y是交点，所以对同一个点x=α ，
∫(1-cosx)cosxdx=∫cosxdx-∫cos²xdx=∫cosxdx-(1/2)∫(cos2x+1)dx=∫cosxdx-(1/2)∫cos2xdx-(1/2)∫dx=∫cosxdx-(1/4)∫cos2xd(2x)-(1/2)∫dx=-sinx+(sin2x)/4-x/2+C
原式=∫1/[√2sin(x+π/4)]² dx=1/2∫dx/sin²(x+π/4)=1/2∫csc²(x+π/4)d(x+π/4)=-1/2∫-csc²(x+π/4)d(x+π/4)=-1/2*cot(x+π/4)+C
I=∫(-∞ ->+∞)e^-t^2 dt与下面两式等效I=∫(-∞ ->+∞)e^-x^2 dxI=∫(-∞ ->+∞)e^-y^2 dy∴I^2=∫(-∞ ->+∞)∫(-∞ ->+∞)e^(-x^2-y^2)dxdy令x=pcosa y=psina∴上式化为I^2=∫(0->2π)∫(0->+∞) e^-p^2关于高等数学的二重积分里的知识 帮忙解答一下吧谢谢～两道题 麻烦了_百度知道
关于高等数学的二重积分里的知识 帮忙解答一下吧谢谢～两道题 麻烦了
我有更好的答案
&&&&y&=&4/x,&&&即&xy&=&4,&&&& 化为极坐标是 &r^2 sintcost = 4, & &r = √(8csc2t).&S&=&∫&下π/4,&&上arctan4&&dt∫&下0,&上√(8csc2t)&&rdr=&∫&下π/4,&&上arctan4&&4csc2t&dt=&2[ln(csc2t&-&cot2t)]&下π/4,&&上arctan4&&=&2[ln(√17-1&)-&2ln2&-&ln(√2-1)]2.&&&&&&x^2+y^2&=&x&， 化为极坐标是&r&=&cost。I&=&∫&下&-π/2,&&上π/2&&dt∫&下0,&上cost&&√(rcost)rdr&=&(2/5)∫&下&-π/2,&&上π/2&&√(cost)(cost)^(5/2)dt&=&(4/5)∫&下&-π/2,&&上π/2&&(cost)^3dt=&(4/5)∫&下&-π/2,&&上π/2&&[1-(sint)^2]dsint=&(4/5)&[sint-(sint)^3/3]&下0,&&上π/2&&=&8/15
虽然看起来有点困难
还是谢谢～
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y/x=u,yx=v换元,用雅可比行列式，提供思路
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