让人工智能解数学题，可能没你想象的那么简单
让人工智能解数学题，可能没你想象的那么简单
作者：微软亚洲研究院
导读：约1500年前的古代数学著作《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这就是今人所谓的鸡兔同笼问题。如今这个问题小学生们解决起来可能都轻而易举，但对于人工智能而言可能并非如此。在人工智能火热的今天，我们想聊聊如何让计算机具备解此类问题的能力——即数学解题。
智能答题任务
如果说一套系统就能解决所有问题的“通用人工智能”离人们的生活还很遥远，那么让人工智能系统解决具体的某一项、或某一类问题已经是一个切实可行的小目标。近几年智能解题逐渐成为人工智能的一大研究热点。随着这项研究的日益火热，人们想通过让人工智能参加“考试”，与人类选手进行公平、公开的比试，从而衡量目前人工智能系统的“智能”水平。
在全世界范围内，有多家研究机构正在从事这一方面的研究。例如日本国立情报学研究所开发了一个项目Todai
Robot，他们让机器人挑战大学试题，目标是2021能够考上东京大学。艾伦人工智能研究所(Allen Institute for
Artificial Intelligence)也举办了一项比赛，来自全世界的几千个团队纷纷提交了自己的软件系统来挑战8年级的科学题目，最终，该比赛的第一名仅能达到59%的正确率。在中国，国家科技部2015年也开启了“高考机器人” 项目(863计划中的类人智能项目)，让人工智能系统和全国的文科考生一样，挑战2017年高考语文、数学、文综三项科目，研究相关类人答题系统。超过30多家高校和科研机构（清华大学、中科院自动化所等）联合参与了该项目。
意料之外但又情理之中的是，目前各个人工智能系统的表现普遍在理科解题上弱于文科解题。究其原因：目前机器学习更多强调的是对记忆、计算等相关内容的储存和运用，而对于逻辑理解和推理这一模块还没有很好的解决。数学解题，作为理科考试的一部分，十分考验计算机的理解能力和推理能力，针对数学解题之上的研究成果非常有可能定义计算机智能的新层次。有鉴于此，数学解题应该也正在成为人工智能的一块重要拼图。
难点和挑战
尽管鸡兔同笼问题已经成为小学数学中的常见题型，然而该问题对于计算机来说却是一个极大的挑战。具体来讲，为了得到最终答案计算机需要通过理解题目的文字描述来得到相关数学表达，计算机需要具备逻辑推理能力来对得到的数学表达进行算术演算，计算机还需要具有一定的有关现实世界的常识从而能够约束和简化题目。
首先，数学解题需要多种层次的自然语言理解。对于一道题目的文字描述，计算机需要知道并理解其中包含的概念。举个例子，“一加一等于几”以及“小明有一个苹果和一个梨，问小明有几个水果”，同样本质是“1+1=？”的两道题，在题型概念上是一样的，表达方式却截然不同。计算机需要知道如何把以上两道问题都抽象成两个对象相加，这就涉及到所谓的自然语言理解。
事实上，抽取题目中各个概念变量的关系也十分具有难度。数学题要求的是精确，如果题目变换了一个词，变量之间的关系可能就会改变，整个解法也会不一样。比如下面两道追赶问题:
(1)两辆车同时往同一方向开，速度分别为28km/h和46km/h，问多少小时后两车相距63km？
(2)两辆车同时往相反方向开，速度分别为28km/h和46km/h，问多少小时后两车相距63km？
两道题描述很类似，但是车的方向关系导致了两题的解法大不相同。如何捕抓出这种细微的差别也是一大难点。这也是所谓的自然语言理解的一部分。
其次，在一定程度上理解文字之后，数学解题需要通过逻辑推理生成解题公式。如下图Hosseni 2014的工作，把数学题通过自然语言处理得到几个变量状态之后，需要推理得到各个变量状态之间的关系得出数学公式。在他给出的例子中，计算机通过学习能得到动词“give”代表两个状态相减。
最后，计算机需要具有一定有关现实世界的常识去理解自然语言里面一些隐式的指代。比如圆周率为3.14，速度乘以时间等于路程等等。在鸡兔同笼问题中，鸡有两条腿、兔有四条腿是隐式包含的条件，只有知道这些常识才能正确的解答问题。
历史与现状
智能答题系统最早可以回溯到20世纪60年代。1964年提出的STUDENT（Bobrow 1964）系统可以视作早期答题人工智能实现的代表：输入有规定的描述方式的数学题，人工定义一组关键词和关系（如EQUAL, SUM, PRODUCT），把自然语言（linguistic form）通过模式匹配映射到对应的函数关系表达。例如句子“the number of advertisements is 45”可转化为函数表达方式（EQUAL (NUMBER OF ADVERTISMENTS）45）。之后的CARPS系统（Charniak
1968）能够把自然语言表示成为成树状结构，再匹配生成公式解答，此外它嵌入了很多数学模型的知识，如面积、体积、维度等等。但CARPS系统仅限于解决比率问题 （ratio problem）。
2008年之前多数关于智能答题系统的工作都是基于预定义的模式匹配规则，这类工作主有两个主要的缺点：（1）定义的规则覆盖率小，能解决的问题十分有限，而在真实场景下数学题目的描述往往是比较自由、不太受限的；（2）评测比较模糊，这些系统很少给出评测结果以验证其有效性。
在这之后有了很多不同的尝试。比如SoMaTePs系统（Liguda & Pfeiffer 2012）尝试用扩张语义网（Augmented Semantic Network）表示数学题，抽取题目的对象(object)作为节点，节点之间的关系包括加减乘除。ARIS 系统（Hosseini 2014）让机器学习题目中的动词，并对这些动词进行加减二分类，把数学题看作以动词为关系的状态转移图，但这个方法目前只解决一元加减问题，不考虑乘除。
MIT 于2014年在国际计算语言年会(ACL 2014, Kushman 2014)上提出了一种基于统计学习的方法（命名为KAZB），引入了模板的概念 (比如“1 1”和 “1 2”同属于一个模板x = a b)。根据公式的标注把数学题归类成不同的题型，抽取题目中不同层次的特征（如有关词汇、词性以及语法等），使用统计学习技术自动判断题型。但是此类方法的一个缺点为：无法解决训练集之外的题型。比如训练集只出现过两个数相加，机器无法泛化解答三个数相加的问题。之后百度ZDC（Zhou et al. 2015），微软研究院 （Upadhyay 2016）的研究团队也在同样的方法框架下分别做了不同的优化改进。在一个开放的评测数据集上（即ALG514，含有514道题），三个系统准确率在上分别是68.7%，78.7%以及83%。
随后，华盛顿大学的ALGES系统（Koncel-Kedziorski et al. 2015）定义了Qset的概念(一个Qset包括Quantity，Entity，Adjective等属性)。首先抽取一道问题的Qset，利用线性整数规划把Qset和加减乘除生成可能的公式，再选出最有可能的公式解出答案。目前限定于一元一次方程。他们同时构建了一个508道题的数据集，系统获得的准确率在72%左右。
艾伦人工智能研究所除了考虑数学文字题之外，还有关于几何看图题的研究。GEOS (Seo et al. 2015)根据几何数学定义了一组数学概念以及函数，对图和文字分别构建了不同的分析器(parser)。他们在186道SAT的数学题上获得的准确率大概是60%左右。
下表对以上一些具有代表性的系统做出了总结。给出一道数学题文字描述，系统需要涵盖三大部分：自然语言理解，语义表达和映射以及数学推理得出解决公式和答案。
作为一种有趣的人工智能问题，数学解题相关的研究和努力不仅有助于推动机器智能的进步，同时也会在众多实际应用场景中产生价值。
近几年兴起的中小学生学习平台，该类应用普遍会支持如下功能——学生可以采取对准题目拍照，或者文字语音方式来输入数学题，学习平台识别题目并给出解题思路。由于此类平台具有庞大的题库，因此可以通过识别匹配题目来实现上功能。该应用的用户量已经突破一亿，在教育市场份额巨大。但是这些平台中所有的题目需要人工预设解题思路，受限于此，题库的扩展存在一定约束。人工智能数学解题的成功解决将会大大提升此类平台。
知识问答系统
作为新一代的知识搜索引擎的代表，WolframAlpha能理解用户搜索问题并直接给出答案，而不是返回一堆网页链接。其中WolframAlpha被搜索过的一类典型的问题就是数学问题。输入数学题，它能给出数学模型、解题步骤以及答案。数学解题是此类引擎的核心构件之一。
智能对话系统的终极目标是实现人机自由对话，计算机能够响应来自用户的各种问题。其中，自然也包括数学解题。微软小冰实际上已经开始了这方面的尝试，它目前已可以解决比较简单的算术题。
SigmaDolphin——微软亚洲研究院的数学解题
SigmaDolphin是微软亚洲研究院在2013年初启动的解题项目。Sigma即西格玛大厦，是微软亚洲研究院的诞生地；而Dolphin则是该系统被赋予的期望——像海豚一样聪明。
目前SigmaDolphin主要有两个研究成果。
● Dolphin解题
SigmaDolphin定义了一套针对数学解题的抽象表示语言（被命名为Dolphin
Language），包含了数学相关的类和函数。该语言人工定义了1000多种数学类型以及7000多种从Freebase和其它网页自动抽取的概念类型，加上其定义的函数和数据结构，使得该语言十分适合表达数学概念及运算，并能很好地构建出一个精准的数学解题系统。同时Dolphin
Language具有大约1万条语法规则，把自然语言解析成Dolphin
Language的表示，继而进行推理得到数学公式。有关该方法的详细介绍已经发表在EMNLP 2015,
题为“Automatically Solving Number Word Problems by Semantic Parsing
and Reasoning” 。
● Dolphin18K数据集
目前该研究领域正在使用的数据集规模都相对较小，而且题型都比较简单。众所周知，机器学习的关键是数据，特别关键的是数据规模。然而，数学题库需要提供公式和答案，人工标注十分耗时。微软亚洲研究院团队采用半自动地方法从雅虎问答获取数学题，经过人工筛选题目，并自动抽取公式和答案作为标注，构建一个新的数据集Dolphin18K。该数据集包含了1万8千多道数学题。有关该数据集的详细介绍已发表在ACL 2016，题为“How Well Do Computers Solve Math Word Problems? Large-Scale Dataset Construction and Evaluation”。过往的系统在各自的数据集上都有高达60%至80%的准确率，但由于评测的数据集都在几百道题目的规模上，而且都有不同的题型限制，导致其得出的结论可能不够有代表性。对比之前的数据集，Dolphin18K题目数量增加了10倍以上，涵盖了不同年级、不同难度的数学题，且题型更加全面丰富，更具有挑战性。目前，在Dolphin18K的评测上，过往的这些数学解题系统平均只能获得20%左右的准确率，说明了数学解题并没有想象中的那么简单。
如上所述，目前智能解题任务仍然存在众多的挑战。但我们仍可以期冀，通过不断的数据积累和方法创新，智能解题系统的能力终将逼近甚至超过人类——答题能力能从及格逐渐提升至100分的水平。
Daniel G. Bobrow. 1964. Natural Language input for a computer problem solving system. MIT technical report, 1964.
Charniak E. 1968. CARPS, a program which solves calculus word problems. MIT technical report, 1968.
Mohammad Javad Hosseini, Hannaneh Hajishirizi, Oren Etzioni, and Nate Kushman. 2014. Learning to solve arithmetic word problems with verb categorization. EMNLP 2014.
Danqing Huang, Shuming Shi, Chin-Yew Lin, Jian Yin and Wei-Ying Ma. 2016. How well do computers solve math
word problems? Large-scale dataset construction and evaluation. ACL 2016.
Rik Koncel-Kedziorsk, Hannaneh Hajishirizi, Ashish Sabharwal, Oren Etzioni, and Siena Dumas Ang. 2015. Parsing algebraic word problems into equations. TACL 2015.
Nate Kushman, Yoav Artzi, Luke Zettlemoyer, and Regina Barzilay. 2014. Learning to automatically solve algebra word problems. ACL 2014.
Christian Liguda and Thies Pfeiffer. 2012. Modeling math word problems with augmented semantic networks. NLDB
Anirban Mukherjee and Utpal Garain. 2008. A review of methods for automatic understanding of natural language
mathematical problems. Artif. Intell. Rev. 29(2): 93-122, 2008.
Minjoon Seo, Hannaneh Hajishirzi, Ali Farhadi, Oren Etzioni, and Clint Malcolm. 2015. Solving gemometry problems: Combining text and diagram interpretation. EMNLP 2015.
Shuming Shi, Yuehui Wang, Chin-Yew Lin, Xiaojiang Liu, and Yong Rui. 2015. Automatically solving number word problems by semantic parsing and reasoning. EMNLP 2015.
Lipu Zhou, Shuaixiang Dai, and Liwei Chen. 2015. Learn to solve algebra word problems using quadratic programming. EMNLP 2015.
知识挖掘组
知识挖掘组致力于通过知识发现和数据挖掘理解和服务这个世界。研究组聚集了包括数据挖掘、机器学习、自然语言处理、信息检索和社会计算等领域的多学科研究员，主要从事如下研究方向：网络实体搜索和知识挖掘，服务于真实世界的语义计算框架应用，基于大规模行为数据的用户理解。
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求解高数级数问题，一直不怎么理解级数的和是不是定值。。。
分成两个，一个是等比数列前n项和，一个是基本的拆分，两个都可以轻易去解出
要是这是简单的数列问题我也不会问了，总感觉没这么简单，因为之前做的级数和的问题，最后的式子都不含n的。
最后含的n都可以干掉的，都因为分母无穷大而趋近于0，并且这里两个趋近于0可以同时存在
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大学高数有关级数
在x&0时发散，在x=0时收敛，则常数a=？
我有更好的答案
级数分子上有n次幂，所以底数绝对值小于1时收敛，大于1时发散。等于1时，因为前面有（-1）的（n-1）次幂，所以是交错级数，收敛的。所以收敛时底数的绝对值小于等于1.所以当x=0时Ix-aI≤1，-1≤a≤1当x＞0时，Ix-aI＞1，x-a＞1,或者x-a＜-1x&a+1,因为x&0,所以a+1≤0,a≤-1x-a＜-1,x&a-1,但是x&0,所以无解。由上可得，-1≤a≤1且a≤-1，所以a=-1
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考研数学高数复习无穷级数常考内容及题型
　　高等数学是考研数学重中之重自不必说，高数知识点不少，考生要捋清孰轻孰重，可参照去年大纲复习。小编为大家精心准备了考研数学高数复习无穷级数的知识点，欢迎大家前来阅读。
　　考研数学高数复习有哪些无穷级数常考内容及题型
　　1、考试内容
　　(1)几何级数与级数及其收敛性;
　　(2)常数项级数的收敛与发散的概念;
　　(3)收敛级数的和的概念;
　　(4)交错级数与莱布尼茨定理;
　　(5)级数的基本性质与收敛的必要条件;
　　(6)正项级数收敛性的判别法;
　　(7)函数项级数的收敛域与和函数的概念;
　　(8)任意项级数的绝对收敛与条件收敛;
　　(9)幂级数的和函数;
　　(10)简单幂级数的和函数的求法;
　　(11)幂级数在其收敛区间内的基本性质;
　　(12)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;
　　(13)初等函数的幂级数展开式;
　　(14)狄利克雷(Dirichlet)定理;
　　(15)&无穷级数&考点和常考题型上的正弦级数和余弦级数。(其中14-17只要求数一考生掌握，数三考试不要求掌握)。
　　(16)函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数;
　　(17)&无穷级数&考点和常考题型上的傅里叶级数;
　　2、考试要求
　　(1)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;
　　(2)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;
　　(3)掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法;
　　(4)掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;
　　(5)掌握交错级数的莱布尼茨判别法;
　　(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;
　　(7)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和;
　　(8)理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;
　　(9)了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件;
　　(10)了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.(其中11只要求数一考生掌握，数二、数三考试不要求掌握)
　　(11)掌握&无穷级数&考点和常考题型的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数;
　　3、常考题型
　　(1)把函数展开成傅立叶级数、正弦级数、余弦级数;
　　(2)求幂级数的和函数;
　　(3)狄利克雷定理
　　(4)判定级数的敛散性;
　　(5)把函数展开成幂级数;
　　(6)求幂级数的收敛域和收敛半径;
　　(7)特殊的常数项级数的求和。
　　考研数学从命题规律看复习的6个方向
　　一、重视计算
　　计算能力可以说是现在考研的第一能力。年的题的计算量都比较大，良好的计算习惯，们要从打草稿开始。今年，2016年命题专家在数学考试分析中又说了一句话：考生在复习的过程中要克服满足于知晓运算过程眼高手低的毛病，要真正动手计算，在实践中提高计算能力，这一点希望要引起大家的重视。
　　计算，是命题专家这两年一直强调一个点，就是说考研数学考试的计算，不是简单的数字计算，是对概念和算理的一个考察，同学们计算上的共性，一个是计算能力弱，第二个是我们觉得计算没有找到好方法，以致于算得慢，做得烦。这一点需要大家注意。
　　二、三基本
　　70%的题是考察三基本。数学基础知识的考察要求既全面又突出重点，注意层次，重点知识是支撑体系的主要内容，考察时要达到较高的比例并要达到必要的深度。重点内容重点考，还要达到一定的深度。
　　在2015年的真题中，大家可以看到考试中心比较强调基础的。在数一数三的题当中有一个公用大题十分是同济教材六版88页的定理的证明，这是比较基础的，直接考教材中定理。这个题的得分率，数一只有0.5，数三0.42，说明其实考的并不理想。所以现阶段同学们复习还要注重核心的，基础的内容。
　　再比如说利用泰勒公式求极限，这一届命题组是很稳定的，每年必考的这种问题。那么即便是数三的同学也要注意，泰勒公式可能是了解的。但是这是求极限的一种核心的方法，这个题用泰勒公式做显然是简单的，2015年数一数三这个题也是利用泰勒公式，核心方法重点考察，重复考察，所以这一点。
　　三、注重本质，注意定理的适用条件
　　强调数学考察三基，注重对概念本质的考察，考察大家对数学的理解和掌握，淡化对特殊的结题技巧的考察，往往注重定理的结题和应用，往往不看定理的前提，这是不注意的地方。比如说在一点存在导数，不能用罗贝塔法则，这个法则是在这一点的零域内，这需要辨析，这就可以拉开差距。
　　四、应用必考
　　继续加强应用性的考察，应用性是数学学科的特点。解答数学应用题是分析问题和解决问题能力的高层次的反应，反应出考生的创新意识和实践能力，所以实践中应该有所体现。2015年试卷中数二的物理应用得分率是0.319，数三一个经济应用，这个还是比较常见的，得分率只有0.488。所以可见同学们对应用的重视还是不够的。物理应用很多年没有出现了，考一下得分率比较低，所以数一数二的同学应该重视的是物理应用与几何应用。数三同学应该重视的是经济应用与几何应用，这一点希望大家要加强。
　　五、客观题的得分率低
　　基本上每年阅卷都会发现，数三的填空题的得分率比大题还来得低，数一数二也是如此。所以同学们，客观题，小题的得分率要重视，毕竟这个题要么四分，要么零分，三个小题相当于一个大题。客观题做的时候也要注意是有特殊的方法的。比如说抽象的问题，一般的问题我们可以找特例处理。
　　六、全面复习，杜绝应试的倾向
　　从大家的作答题情况来看，常见试题和知识点的得分情况比较好;对大纲中要求的，以前考试中出现频率比较低的试题和内容的得分情况不好，说明同学们有一种急功近利应试想法。这一点希望考高分的同学要注意了，是要全面复习。比如说我这里给大家看几个例子。2013年数一的时候考了一个空间解析几何的大题，这个题得分率希望是0.289，是当年得分率最低几个题之一，因为前面的卷子中空间解析几何都不出大题的。考纲中仔细看一下，同学们现在要回归考纲。
　　考研数学基础阶段复习建议
　　一、注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握
　　结合考研辅导书和大纲，先吃透基本概念、基本方法和基本定理，只有对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解丌准确，基本解题方法没有掌握。因此，首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫，如果丌打牢这个基础，一切都是空中楼阁。
　　二、加强练习，充分利用历年真题，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧
　　数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力，做到面对任何试题都能有条丌紊地分析和计算。
　　三、开始进行综合试题和应用试题的训练
　　数学考试中有一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这类试题一般比较灵活，难度相对较大。在首轮复习期间，虽然它们丌是重点，但也应有目的地进行一些训练，积累解题经验，这也有利于对所学知识的消化吸收，彻底弄清有关知识的纵向不横向联系，转化为自己的东西。
　　四、建议学习时间
　　每天早上8：30-11：30(可根据自身情况适当调整，但此时效果最好)。需要注意的是，数学复习一定要和做一定量的习题相结合起来，所以我们在制定计划时都留出了比较多的时间来做习题。
　　注意：每天至少应该花2.5-3个小时来复习数学，这样才能保证在三个月内把整个数学的基础知识复习完。其中用1.5-2个小时左右的时间理解掌握概念、定义等，用一个小时左右来做习题巩固。对于数学基础较差的同学建议每天再加一个小时的复习时间用来做习题并总结。
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