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初中数学审核员
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
全等三角形
全等三角形
【学习目标】
1、通过探究知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素，会
用符号正确地表示两个三角形全等.
2、知道全等三角形的性质，并会进行应用.
3、能熟练找出两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边．
【学习重、难点】
全等三角形的性质；找全等三角形的对应边、对应角.
【学习过程】
知道全等形、全等三角形及对应元素等一系列概念，会用符号表
1. .观看课本美丽的图片并阅读课本
P4—5 的部分，思考并回答下列问题：
能够完全重合的两个平面图形叫做
，它们的形状
2 将三角板按在纸上，沿外框画出两个三角形，把这两个三角形裁下来后放
在一起，观察它们能否重合。
你能举出生活中全等形的实例吗？
(2)全等三角形有哪些对应元素？怎样记两个三角形全等？在书写时应注意
(3)小组交流：找对应边和对应角你有什么经验？
活动二 探究全等三角形的性质
1．利用三角形纸片做如下变换：将△A
BC 平移得△DEF（图甲）；
180°得到△DBC（图乙）；将△ABC
△AED（图丙）．
2.思考：各图中的两个三角形全等吗？为什么？如果全等把它们分别表示出
来.（注意书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
3.寻找上图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
1.如图，△OCA≌△OBD，C
D 是对应顶点，说出这两个三角
形中相等的边和角．
2.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，
∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
（提示：对应边和对应角一定在两个全等三角形中
找，所以需将△ABE
从复杂的图形中分离出
3．已知△ABE≌△ACD，AB=7cm，
∠A=40?，∠B=30?，求
EC 的长度和∠ADC
1 、 如 图 ，
△ ABC≌△DBC
∠ABC=30°，
2、如图，已知△
DCB 是两个全等三角形，且
AB=7cm，BD=5cm，
∠A=60°，求线段
【自我反思】
这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
怎样判定三角形全等
【学习目标】
1、知识与技能
掌握“边角边”这一三角形全等的判定方法
2、过程与方法
经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决一些简
单的实际问题
3．情感、态度与价值观
培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值
【学习重点】探究“边角边”这一判定方法，以及这一方法的应用。
【学习难点】让同学们了解三角形全等中“边边角”的辨析。
【学具准备】剪刀、三角板、直尺、长方形的纸片等
【学习过程】
（一）知识引桥
1、 什么叫全等三角形？
2、 全等三角形有什么性质？
3 、若△ABC≌△DEF,点
D,点 B 与点
E 是对应点,试写出其中相等的
中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∠C=∠F,则△ABC
全等是不是一定要满足
AB=DE,BC=EF,AC=DF,
这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个
或三个条件,这两个三角形全等吗?请同学们完成下面的探究活动
（二）探究活动:
（小组内合作交流）
1、只知道一条边相等的两个三角形一定全等吗？只知道一个角相等的两个
三角形一定全等吗？
2、知道一条边及一个角分别相等的两个三角形全等吗？知道两个角分别相
等的两个三角形全等吗？知道两条边分别相等的两个三角形全等吗？
3、两个三角形中有三组对应相等的元素（边或角），会有哪几种可能的情况？
在这些情况中,如果有两条边分别相等,再添上一个角对应相等,这两个三角
形能全等吗？,
中，BC=3cm，AC
=2cm，∠C=60°,EF
DF=2cm，∠F=60°,
能全等吗？,
（若同时改变数值，两个三角形还能重合吗？）
由上面的探究活动猜想并归纳：
在两个三角形中,必须具备
对元素分别相等,才能保证两个三角形
的两个三角形全等.通
注意：在△ABC
AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,观察△ABC
DEF 是否全等。为什么?
(三)学以致用
1. 如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
2：它们已经有了哪些元素对应相等？
3：还缺什么条件？
2、如图，为了测量池塘边上
两点之间的距
离，小亮设计了一个方案：先在平地上取一个能够直
A 和 B 的点
C，然后在射线
AC 上取一点
使 CD=CA，在射线
BC 上取一点
接 DE，那么线段
DE 的长就等于
两点之间的距
离，你认为他的方案对吗？为什么？
（四）巩固练习
1、如图，已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件————，使得△ABC
2、已知：AB=AD，AC=AE，△
全等吗？为什么？
3、如图，E，F
在 BC 上，BE=CF，AB=CD，AB
说明：△ABF≌
【自我反思】
本节课你的收获是什么？
羊祜学校教学备课用纸
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初二全体数学教师
【学习目标】
1、掌握“ASA”这一三角形全等的判定方法，并能利用这些条件判别三角形
是否全等。
2、经历“AAS”的探究过程，理解由“ASA”推出“AAS”，并会简单的运
用“AAS”判定三角形全等。
3、通过学习进一步培养学生的合作交流能力和问题探究能力。
【学习重点】“ASA”这一判定方法的探究以及应用。
【学习难点】由“ASA”推导出“AAS”这一判定方法。并能简单运用。
【学具准备】剪刀、三角板、直尺、半圆仪、长方形的纸片等
【学习过程】
一、知识引桥
上节课我们学习了三角形的判定方法一“边角边”，这节课我们来研究
两个三角形还可以具备哪些条件才全等呢?
二、 实验与探究
1、如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
2、动手做一做
1）在纸片上画出△
和△ A1B1C1，使∠B =∠B1，BC=B1C1，如果添一
个条件∠C=∠C1，这时边
BC 与∠B、∠C
什么关系？边
B1C1 与∠B1
2）剪下你画出的三角形，这两个三角形能重合吗？
3、通过上面的实验,你能得到什么结论?与同学交流.
三、学以致用
已知∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，BC=EF，那么ΔABC
ΔDEF 全等吗？为什么？
四、交流与发现
1) 在纸片上画出△
和△ A1B1C1，使∠B =∠B1，BC=B1C1，如果再添
一个条件∠A=∠A1
什么关系？边
B1C1 与∠A1
相等吗？为什么？
3) 你能判定这两个三角形全等吗？为什么？（小组交流）
4) 由此你能得出什么结论？（小组讨论，尝试总结）
知识应用：如图，在△
中，已知∠A=∠C，再添加一个什么
条件，就可以判定△
CBD 全等？
五、巩固练习
A1B1C1 中，∠B =∠B1
，∠C=∠C1
，你能适当添加一个
条件，使△
ABC≌△A1B1C1
吗？你有几种不同的添加方式？说明理由。
2、如图，已知∠1=∠2
，∠3=∠4，
△ ABD 和△
全等吗？为什么？
【自我反思】
本节课你的收获是什么？
羊祜学校教学备课用纸
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初二全体数学教师
【学习目标】
1、掌握“SSS”这一三角形全等的判定方法，并能灵活运用“SSS”方法来判定
三角形全等。
2、了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性及生活中的实际应用。
3、培养学生的合作交流能力和发散思维能力。
【学习重点】“SSS”这一判定方法的探究以及应用。
【学习难点】用“SSS”判别方法来进行有关的推理论证。
【学具准备】小木条、图钉、直尺等
【学习过程】
一、知识引桥
小学时候我们就知道了三角形的稳定性这一特性，你想知道这一性质的原因
吗？让我们进行下面的实验探究来验证。
二、探究新知
探究：三角形全等的条件
1、用三根木条制作一个三角形的架子?，在用四根木条钉一个四边形的架
子?，分别拉动架子?和?的边框，你有什么发现？（小组内交流）
2、如果再取与架子?的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形的架
子?，这两个三角形的架子形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形
架子叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？（动手操作，实践
3、通过以上实验，你能得出什么结论？（小组讨论，交流总结）
同时，由实验我们又可得知：由于拥有对应相等三边的所有三角形将全等，
所以只要三条边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，所以三角形具有
稳定性，而四边形不具备这样的性质，四边形具有不稳定性。三角形稳定性和四
边形的不稳定性在生活及生产实际中都很有用处。（联系实际，举例说明）
三、新知应用
1：如图，已知
AD=CB，AB=CD，那么∠A=∠C
2、如图，已知
AB=DE，BC=EF，AE=CF。
与 EF 相等吗？为什么？
EDF 中互相平行
边，并说明理由。
四、回顾与梳理
到今天为止，判定三角形的全等，我们有哪些方法了？写出简记法：
看一下有什么共同点？与同学交流一下。讨论：是不是任意三对元素对应相
等，这两个三角形就全等？发表你的看法。判定三角形全等的条件是什么？
五、巩固练习
1、说明：（1）底边及一腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
（2）两腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？
（3）一边相等的两个等边三角形全等吗？为什么？
2、如图，已知
AB=CB，AD=CD，∠A
相等吗？为什么？
【自我反思】
你对本节的学习有哪些收获，还有什么疑
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数学备课室
初二全体数学教师
§1.3 尺规作图
【学习目标】
1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。
2、通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力。
3、通过画图，培养学生的作图能力及动手能力。
【学习重点】熟练掌握相等角的作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使
用作图语言，规范地按照步骤作出图形。
【学习难点】作图语言的准确应用，作图的规范与准确。
使用方法：先由学生自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成
学案，然后小组合作交流，让同学们进行展示，小组间点评，补充之后由老理由
点拔。最后当堂检测，巩固知识。
【学习过程】
前面我们学习了用直尺和圆规作一条线段，使它与已知线段相等，那么我们
来回忆一下，是怎样用不带刻度的直尺和圆规作出线段
作法总结：___________________________________________
阅读教材，理解概念
学生阅读教材，并回答问题：
（1）什么是尺规作图？
（2）什么是基本作图？
一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，前面我们学过的用尺规作一
条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面我们将再学习一种新的基本作图。
如图，已知∠AOB，用直
尺和圆规作∠A′O′B′，
使∠A′O′B′=∠AOB。
___为圆心，以 ____ 为半径画弧，交
(3)以点 _____为圆心，以 ____长为半径画弧，交
O′A′于点
(4)以点 _____为圆心，以 _____长为半径画弧，交前面的弧于点
D′作射线 ______∠A′O′B′就是所求作的角.
∠A′O′B′=∠AOB
吗?如何验证?(小组交流)
【当堂检测】
1.已知：线段
AB 和 CD，求作线 段
a,使 a=AB-CD.
2.已知：钝角∠ABC，
求作：∠ABC′
使∠ABC′=∠ABC .
【学后反思】
本节课你一定有很多收获,大家一起交流一下吧!
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
【学习目标】
1、要掌握尺规作图的方法及一般步骤。
2、通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力。
3、通过画图，培养学生的作图能力及动手能力。
【学习重点】掌握如何作三角形，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作
图语言，规范地按照步骤作出图形。
【学习难点】作图语言的准确应用，作图的规范与准确。
【学习过程】
前面我们已经学习了哪几种基本作图?
你能说出这几种基本作图的作法吗？
1）、 已知：如图，线段
求作：线段
已知： ∠AOB。
求作： ∠A`O`B` 使∠A`O`B`=∠AOB。
利用我们已经学过的基本作图，能不能构造三角形呢？三角形是由那些元素
组成的？小组之间相互合作交流。
例、已知线段
求作：ΔABC
作法:____________________________________
________________________________________
________________________________________
1、已知两边和它的夹角如何作三角形？
2、已知两角和一边如何作三角形？
1 和 2 题学生自己探索、交流完成。
【当堂检测】
如图，已知线段
a，求作边长等于
a 的等边三角形。
2、已知：线段
求作：等腰△ABC，使底边
边上的高为
【能力提升】
1、你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段
b 吗？小组合作并写出作法。
【学后反思】
通过本节课的学习，你有哪些收获？
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
【学习目标】
【知识与技能】
通过教学使学生在教师的引导下探索归纳利用基本作图作“已知两角及其夹
边求作三角形”与“已知两角及其中一角的对边求作三角形”的步骤方法。
【过程与方法】
学会运用程序化的思想方法探索作法和步骤．
培养认真、细心、准确的学
发展学生的非智力因素．
提高学生的操作实践能力，
并获得成功的
【情感态度与价值观】
通过作图训练，使学生体验数学的应用价值。提高学习数学的兴趣。
重点：根据已知两角和夹边作三角形。难点：正确写出作法.
【教学过程】
一 创设情境，导入新课
1、如图：已知∠α，作∠AOB=∠α(不写作法，保留作图痕迹).
2.如图，是一块建筑工地，三角形
边被障碍物阻挡了，不方便测量，
因此想要画出这块三角形地的平面图，无法用已
知三边作三角形的方法，你能想出别办法吗？
方法：测量
BC，∠B，∠C
的大小，然后做一个三角形使它两角等于∠B，
∠C,夹边等于
二 、合作交流，探究新知。
（1）上面问题其实就是已利用基本作图已知两角及夹边作三角形问题。与
同学交流。
已知：∠α，∠β，线段
求作：△ABC,使
BC=aα，∠B=∠α，∠C=∠β.
（2）利用基本作图，如果已知两角及其中一角的对边，例如已知∠α，∠
c,如何作△ABC，使∠B=∠α，∠C=∠β,AB=c？与同学交流。
（3）请用尺规完成（2）中的作图，并写出作法。
三、挑站自我
已知两边及其中一边的对角，例如已知∠β，线段
c，能作△ABC,
使∠B=∠β，AB=c，AC=b
能作，可以作出几个满足上述条件的不同的三角形？做后
小组交流。
四、巩固练习
1、如图，已知∠α，∠β，线段
a,b，求作：△ABC,使∠A=∠α，∠B=∠
β，AB=a+b。
2、如图，已知∠α，∠β，线段
c，求作：△ABC,使∠B=∠α，∠C=∠β，
五、【自我反思】
你对本节的学习有哪些收获？
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
图形的轴对称
§2.1 图形的轴对称
【学习目标】
1．经历观察、操作和比较的过程，学会认识生活实例中的轴对称现象；
2．通过实验探究，感知轴对称的特点，能找出对称轴及对称点；
3．体验数学与生活的联系，发展学生空间观念和审美观，体会生活中的对
【学习重点】轴对称，两个图形关于某一条直线成轴对称。
【学习难点】两个图形关于某一条直线成轴对称
【学习过程】
（一）观察识别，交流讨论：
观察下图，作以下探究：
交流感受：你有什么感受？这些图形为什么如此美？这些图案在设计和布
局方面有什么特点？
（二）实验操作，探究规律
30 页“实验与探究”，按要求作出△A′B′C′，
（1）你发现△ABC
与△A′B′C′全等吗？为什么？
（2）在纸上画一条直线
m 的一侧画出五角星图案。你能以直线
折痕，用折叠的方法，得到一个与它全等的五角星吗？
形成概念：
轴对称:______________________________________________________.
对称轴:______________________________________________________.
（3）观察课本
31 页图 2-3①中两个图案，把其中一个图案以直线
轴，经过轴对称后，能与另一个图案重合吗？图
形成概念：
两个图形关于这条直线成轴对称:___________________________________
对应点:______________________________________________________.
对称点:______________________________________________________.
（三）学以致用，体验成功
例 1：如图
DEF 关于直线
l 成轴对称.如果
DE=3cm，∠A
＝75 度，∠E=43
AB 的长与∠B、∠C、∠D、∠F
（四）回顾概括，反思不足
1．这一节中你学到了哪些知识？
2．在合作探究过程中你体会到了什么？
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
轴对称的基本性质
【学习目标】
1.通过具体事例学做轴对称图形，认识轴对称图形，探索它的基本性质，并
能运用性质解决一些实际问题；
2.能够按要求画出简单平面图形经过一次轴对称后的图形；
3.能利用轴对称进行图案设计轴对称图形，培养学生的创新精神。
【重点】对轴对称基本性质的理解
【难点】轴对称基本性质的探索及运用。
【学具准备】剪纸作品（蝴蝶、五角星等）、长方形纸片等
【学习过程】
一、创设情境，感性认识轴对称图形
教师先展示剪纸作品（蝴蝶、五角星等），照片，实物等，然后让学生交流、
展示各自收集的相关图片。
二、学习新课
1.实验与探究
(1)如图所示，将一张纸片对折，扎一个小孔，然后展开铺平记得到的两个
A 与 A′，折痕
(2)如果将纸片沿
重新折叠，你发现线段
OA 与 OA′有怎样的大小关系？
AA′与直线
有怎样的位置关系？说明理由.
你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔重新试一试。
(3)把一张纸对折后扎出三个不在同一条直线上的小孔，
把纸展开铺平，把得到的三对对应点分别记为
A 与 A′，B
MN.分别连接
AB，BC，CA，A′B′，
B′C′，C′A′，在△
ABC 的一条边
上任取一点
D，你能说出与点
D 关于直线
MN 成轴对称的点
D′的位置吗？用扎
孔的方法验证你的结论.
(4)连接 DD′，交
P.你发现线段
DD′与直线
MN 具有怎样的位置关
系？说明理由.
轴对称的基本性质：
成轴对称的两个图形中，
_____________________________________________.
2.交流与发现
(1)如图 2-8①，在纸上作一条直线
MN，再在直线
的一侧取一点
能利用轴对称的性质，画出点
的对称点吗？与同学交流.
2-8②,过点
AF，设垂足为点
OA.点 A′就是所要求画的点
(2)你能说明（1）中画一个已知点关于给定直线的对称点的方法的道理吗？
2-9，你能画出线段
AB 关于直线
轴对称的线段吗？能画出与直线
AB 关于直线
l 成轴对称的直线吗？
2-10，画出△
轴对称的图形.
3.总结画轴对称图形的步骤：
①找出所给图形的关键点。
②找出图形关键点到对称轴的距离。
③找关键点的对称点。
④按照所给图形的顺序连接各点。
三、性质应用：下图中的两个三角形关于直线
l 成轴对称，连接对应顶点，
指出哪些线段被直线
l 垂直平分？
四、跟踪练习
1.作一条线段
AB 关于直线
MN 的轴对称的图形。
AB、BC 上，四边形
轴对称，则
AE 与 CD 的位置关系
五、反思小结
通过本节课的学习，你有何收获？小组交流。
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数学备课室
初二全体数学教师
【学习目标】
1．在直角坐标系中能画出点的对称点，并通过探索发现坐标系内点的对称
2．在直角坐标系中，能够写出给定平面图形的顶点关于坐标轴的对称坐标．
【重点】利用轴对称的性质得出坐标系内点的对称规律．
【难点】对坐标系内点的对称规律的理解
【学习过程】
一、观察与思考
2-12，在直角坐标系中，已知点
Q 的坐标为(4,3)，画出点
y 轴的对称点
Q′，写出点
Q′的坐标，你发现点
标有什么关系？利用轴对称的基本性质，说明
x 轴的对称点
Q′′，写出点 Q
x 轴的对称点
标，你发现点
Q′′的坐标有什么关系？
(3)你能分别写出点(-1,0)关于
x 轴对称点的坐标吗？点(0，-1)呢？
(4)一般地，已知点
P 的坐标是(a，b)，按照上面发现的规律，你能分别写
y 轴的对称点
x 轴对称的对称点
P′′的坐标吗？
坐标系内点的对称规律：
在直角坐标系中，_________________________________________________
二、例题讲解
例 2 如图，在直角坐标系中，已知△ABC
的顶点坐标分别是
A(-2，1) ，B(1.5，
-4)，C(0，3).
(1)分别写出与△ABC
y 轴成轴对称的△A′B′C′的顶点坐标；
(2)分别写出与△ABC
x 轴成轴对称的△A′′B′′C′′的顶点坐标；
(3)分别画出△A′B′C′与△A′′B′′C′′.
三、跟踪练习：
1.已知 A、B
两点的坐标分别为
A（-2,3）B（2,3），则下面四个结论：①A、
x 轴对称；②A、B
y 轴对称；③A、B
关于原点对称；④A、B
4，其中正确的有
A 的坐标（3,-2），点
B 的坐标（3,2），那么点
A（a，4）关于
x 轴的对称点
B 的坐标为（-2，b），分别写出点
y 轴的对称点的坐标.
四、反思与作业
本节课你学到了哪些知识？这些知识在现实生活中有哪些应用？
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数学备课室
初二全体数学教师
轴对称图形
【学习目标】
１、能够认识轴对称图形，并能找出对称轴
２、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系
3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动
过程，发展空间观念。
4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它
的丰富的文化价值，培养学生的审美观
【学习重点】轴对称图形的概念及识别
【学习难点】轴轴对称与轴对称图形的区别和联系。
【学习过程】
（一） 旧知复习
1、 什么是轴对称？
2、 成轴对称的图形有哪些性质？
（二） 新知学习
1、问题：下列图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？
这些图片的形状是：
它们的共同特征是：把图形沿着某一条直线
，直线两旁的部分能
把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形；
把纸展开后会是什么样的图形？位于折痕两侧的图案有什么关系？它是否
也具有上述图形的共同特征？
一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部
，这样的图形叫做轴对称图形。
（三）合作探究
下列图形是否是轴对称图形，如果是，请找出它的所有的对称轴。
问题（1）、判断一个图案是否是轴对称图形的关键是
问题（2）、根据轴对称图形的定义，你觉得能否用对折的方法进行检验？
思考：正三角形有
正四边形有
正五边形有
正六边形有
问题：一个轴对称图形的对称轴的条数是否只有一条？
(四)展示交流
1、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与
其他三个．．不同？
这个图形是：
（写出序号即可）
2、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是
3、如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画
后的图形为轴对称图形。
（五）回顾概括，反思不足
1、在我们身边的轴对称图形这一节中你学到了哪些知识？
2、在合作探究过程中你体会到了什么？
羊祜学校教学备课用纸
数学备课室
初二全体数学教师
线段的垂直平分线
【学习目标】
1、鼓励学生观察、操作和比较，从而认识线段的垂直平分线，提高判断能
2、通过多种形式的参与，感知线段的垂直平分线的特征，会用它解决相关
3、自主探究，体验数学学习的快乐。
【学习重点】认识并能作出线段的垂直平分线。
【学习难点】能够灵活利用线段的垂直平分线解决生活中的数学问题。
【学具准备】宽
1cm 的长纸条。
【预习导学】
1、什么叫做轴对称图形？它有什么性质？
2、 怎样的图形成轴对称？
3、 线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？
【学习过程】
（一）动手观察识别，交流体验定义：（以自主学习，经历自主探索总结的
过程，并自主完成活动，小组进行展示。）
将准备好的宽
1cm 的长纸条对折使纸条的两个端点重合。作以下探究：
a、观察探究：
（1）将纸条展开铺平后，记住折痕所在的直线，直线与线段的交点为
A 和 B，线段
BO 的长度有什么关系？
（2）直线与线段有怎样的位置关系？
（3）线段是轴对称图形吗？
b、体验定义：
的直线叫做线段的
垂直平分线。
线段是轴对称图形，它的一条对称轴是这条线段的_____________。
（二）实验操作，探究规律
a、分组合作，实验探究：
通过折纸的方法我们能得到线段的垂直平分线
有哪些性质？
b、发现规律：在纸上画一条线段
AB 的垂直平分线
上任意取一点
PA 与 PB，把这张纸沿直线
与 PB 重合吗？
结果发现：线段的垂直平分线上的点，到这条线段的两个端点的距离
c、你能写出上面这个定理
的逆命题吗？想一想它是真命题吗？如果是，请证明
由此我们得到了线段垂直平分线的另一个性质：
（三）规律应用
1、实验探究：用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？（自主预习课本，画线
段的垂直平分线）
已知：线段
求作：线段
AB 的垂直平分线
2、探究应用：如图中的三角形，用尺规作出它们的三条边的垂直平分线。
观察所作图形，我们可以得到结论是
（四）回顾概括，反思不足
a、回顾概括与反思：
1、在学法上有哪些收获？
2、在合作探究过程中你体会到了什么？
b、知识梳理：
线段的垂直平分线；线段的垂直平分线的作法；线段的垂直平分线的性质。
（五）课堂练习：
1、如图，AC=AD，BC=BD，则有（
互相垂直平分
2、如图，四边形
BD，垂足为
E，下列结论不一定
成立的是（
D．△BEC≌△DEC
3、如图，AB=AC，AC
的垂直平分线
AC 于 E，BC=6，
4、如图，要在孙庄
C 三个村庄之间建一个银行
到三个村庄的距离相等，你能在图中找出点
O 的位置吗？
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【学习目标】
1、掌握过一点作已知直线的垂线的作图。
2、通过多种形式的参与，掌握线段的垂直平分线的性质，会用它解决相关
3、自主探究，体验数学学习的快乐。
【学习重点】过一点作已知直线的垂线。
【学习难点】能够灵活利用线段的垂直平分线解决生活中的数学问题。
【预习导学】
1、什么叫做线段的垂直平分线？
2、线段的垂直平分线有哪些性质
【学习过程】
（一）、合作探究
实验探究：用直尺和圆规怎样画已知直线的垂线呢？（自主预习课本，画已
知直线的垂线）
a、已知：直线
l 及直线上一点
求作：过点
b、根据以上作法，探究如何过直线外一点作直线的垂线
已知：直线
l 及直线外一点
求作：过点
（二）、性质应用
问题探究：
海伦是古希腊的一位数学家、测量学家。相传，有一天一位将军专程拜访海
伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站
之间，途中都要到小河
l 边让坐骑饮水，怎样走路程最近呢（如图）？”你能帮
将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道
(三)、课堂练习
1、如图所示，△ABC
是关于直线
l 的对称图形，请作出对称轴
2、如图，已知△ABC,求作
AC 边上的高。
（四）、课堂小结
本节课你有哪些收获？
（五）、作业
某大型农场拟在公路
L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规
模相同的水果生产基地
的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效
益．请你在图中标明加工厂所在的位置
两地到加工厂
C 的运输路程
之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
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角平分线的性质
【学习目标】
1、了解角是轴对称图形，知道它的对称轴。
2、会用直尺和圆规作出已知角的平分线。
3、理解角平分线的性质。
【学习重点、难点】
角平分线的作法和性质。
【学习过程】
（一）试一试：在纸上先任意画一个∠AOB，然后按照课本第
51 页那样折
叠，会出现什么现象？由此，我们可以得到如下结论：
图形，它的对称轴是
（二）角平分线的性质：
1、大胆猜想：如图，OC
平分∠AOB，P
是 OC 上任意一
点，PM⊥OA，PN⊥OB，M，N
分别为垂足，那么
有什么关系？
2、操作验证：
（l）折出如图中的折痕
（2）你和同桌用三角板检测你们所折的
折痕是否符合图示的要求。
画一画：按照折纸的顺序画出一个角（如
图）的三条折痕，并度量所画
是否等长？
问题：你能用文字语言阐述所画图形的性质吗？
3、归纳结论：
请将上面的发现用语言概括
4、推理验证
你能用推理的方法来验证发现的结论吗？
平分∠AOB, P
点，PM⊥OA，PN⊥OB，M，N
分别为垂足
求证：PM=PN
你能说出定理的逆命题吗？此结论是否正确，说出你的理由。
（三）角平分线的画法
1、自学课本
P53，并与同伴交流。
2、已知∠AOB，用直尺和圆规作出它的角平分线。
（四）学以致用：
1、作出图中三角形的三条角平分线，你发现了什么？
2、如图，已知直线
两边的距离相等，请在
图上标出点
P 的位置，说出你作图的理论依据。
中，∠C=90°，AD
平分∠BAC，CD=2cm，AB=10cm，求△
（五）反思小结：
本节课你学会了哪些知识？还有什么疑惑？
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等腰三角形
【学习目标】
1、经历探索等腰三角形的性质过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线
合一、两底角相等等性质。
2、通过小组合作探究，发现并理解等腰三角形的性质。
3、能够利用等腰三角形的性质解决相关题目。
【学习重点、难点】
重点：等腰三角形的性质。
难点：等腰三角形的性质及探索过程
【学具准备】等腰三角形的半透明纸片
【学习过程】
（一）分组合作，实验探究
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小
和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰
重叠在一起，折痕为
图所示，你有什么新发现？
你发现了什么？尝试归纳、概括，并与同伴交流，结合刚才你的发现，思考：
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？
（2）∠BAD
相等吗？为什么？
相等吗？为什么？
（4）折痕所在直线
BC 有什么位置关系？
CD 的长相等吗？
（6）折痕所在直线
AD 具有怎样的性质？
由此，我们可以得到等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是
（2）等腰三角形的____________、___________、_________互相重合（三
（3）等腰三角形两个_________相等。（即等边对等角）
（二）知识应用
（1）在△ABC
中，AB=AC，D
在 BC 上，
AD⊥BC，那么∠BAD=∠
如果∠BAD=∠CAD，那么
BD=CD，那么∠BAD=∠
（2）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是
40°，求顶角的度
（二）例题探究
如图所示，屋椽
AC 的长相等，∠A=120
自主解决：
(三) 分组合作，实验探究
根据等腰三角形的性质作图：
已知底边及底边上的高作等腰三角形。
已知：底边
a、及底边上的高
h。（画出两条线段
ABC，使得一底边为
a、底边上的高为
小组交流：
1：要完成这个作图，先作出
2：为什么这样画出的三角形是等腰三角形？
请你写出作法，并独立完成作图。
（四）反思提高
通过这节课的学习，你有哪些收获?
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【学习目标】
1、探索等腰三角形的判定定理
2、通过探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空
3、通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，
并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利
用已有知识解决实际问题的能力。
【重点】等腰三角形的判定定理的探索和应用。
【难点】等腰三角形的判定与性质的区别。
【学习过程】
(一) 实验探究
你还记得已知两角及其夹边怎样作三角形吗？如果已知∠1
用尺规作出三角形
ABC，使∠B=∠C=∠1,BC=a
作出的三角形
ABC 中，比较
AB 与 AC 的长，你有什
说出你的看法。
的三角形是等
腰三角形。
（二）例题探究
如图，已知∠A=36
度，∠DBC=36
度，∠C=72
度，求∠BDC
数，并指出图中有哪些等腰三角形？
（三）课堂练习
1、如图所示，在△ABC
中，AB=AC,
分别为∠ABC,
的平分线，则图中等腰三角形共有点
2、如图，∠BAC=100°， ∠
B=40°， ∠
D=20°，AB=3，则
3、如图，在△ABC
A=60°， ∠
的 平 分 线 相 交 于
（ 1）∠BOC
等 于 多 少 度 ？
（ 2）如 果 过 点
EF∥ BC，交
E、F，那 么 图 中 有 等 腰 三
角形吗？如果有，请指出来，并说明理由
（四）反思提高
这节课的学习，你有哪些收获？把你的反思写下来。
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【学习目标】
1、理解等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法，
能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题；
2、能通过独立思考，交流讨论，展示质疑，发展学生探索、归纳和推理能
【学习重点】等边三角形的性质和判定的探索与证明。
【学习难点】等边三角形性质和判定的应用
【预习导学】
1、等腰三角形有什么性质？
2、怎样的三角形是等腰三角形？
【学习过程】
（一）自学探究
在纸上画一个等边三角形，思考：
1、等边三角形与等腰三角形有什么关系？
2、等边三角形是轴对称图形吗？为什么？有几条对称轴？你能画出来吗？
3、等边三角形的内角具有什么性质？你能验证你的结论吗？
如图所示：已知△ABC
为等边三角形，那么
结论：等边三角形的各角都等于
4、如果一个三角形的三个角都相等，这个三角形是等边三角形吗？说明你的理
由，并与同学们交流。
的三角形是等边三角形。
5、问题：有一个内角为
60 度的等腰三角形是等边三角形吗？
已知，在△ABC
中，AB=AC，∠A=60°
（1）求证：△ABC
是等边三角形。
(2) 如果把∠A=60°改为∠B=60°或∠C=60°结论还成立吗？并证明自己的
（3）由上你可以得到什么结论？
（二）知识点归纳
1、等边三角形的性质有：
2、等边三角形的判 定 方 法
（三）反思提高
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（四）课堂测试
1、 下 列 几 种 三 角 形 ： ① 有 两 个 角 为
60°的 三 角 形 ； ② 三 个 外 角 都
相 等 的 三 角 形 ； ③ 一 边 上 的 高 也 是 这 边 上 的 中 线 的 三 角 形 ； ④ 有 一
120°的 等 腰 三 角 形 。 其 中 是 等 边 三 角 形 的 有 （
AD 是等边△ABC
AC 边的中线，AD
F，则∠AFE
＝______．
3、如图，△ABD，△AEC
都是等边三角形，
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分式的基本性质
【学习目标】
1、知道分式的概念，能正确区分整式和分式
2、熟练掌握分式有意义，无意义和分式值为
【学习重点、难点】
1、分式的意义
2、分式有意义无意义和值为
【学习过程】
一、预习导读：
1、分数的基本性质是
2、自学教材
P70—71 内容，完成相应问题
解读探究（组内合作）
、比较下列算式
那些是整式？那些不是整式？
认真观察上面的式子，它们还是整式吗
它们有什么共
小结：形如
的式子，当
时，这样的式子叫分式，其中
A 叫分式的
(1)请举几个分式的例子:____________________．
(2)因为在除法运算中除数不能为
0,所以分式中分母的值不能
当分式的分母的值为
(3)分式的概念中应注意的问题．
①分母中含有
②如同分数一样，分式的分母不能为
整式和分式统称为有理式
B 表示分式且
B 有意义，则
5、 若分式
的值为零，则
三、应用示例：
例 1：（1）当
a=30 L=600 时，求分式
当 a 取何值时，分式
例 2 ：（ 1）当
a 取何值时，分式
a 取何值时，分式
3、应用练习
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
x 2 ? 1 a 2 ? b 2
区分整式和分式的关键是看
注意一些特殊的代数式，如：
是常数，所以
取何值时，分式
取何值时，分式
取何值时，分式
学习思考：
本节课我们学习了分式的哪些知识点？
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【学习目标】
1、知道分式的基本性质和分式的符号法则
2、通过分式的基本性质的学习，体验类比的数学思想
【学习重点、难点】
分式基本性质的应用
【学习过程】
一、创设情境
上面三个小题你用了分数的什么性质来比较他们的大小？
二、交流与发现：
你的结论是什
分式的基本性质：分式的分子与分母都
，这个性质叫分式的基本性质，用等式表示为
M 是不等于零的整式）
3：在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：
练习：下列分式的变形是否正确
(a ? b)( a ? b)
x 2 ? 2 x ? 1
例 4：你能不改变分式的值使分式
的分子和分母中都不含有
分式的分子，分母和分式本身的符号，改变其中的
的值不变，这叫分式的符号法则。
下列变形正确的是（
学习思考：
1、 这节课用到了哪些数学思想？
2、 怎样应用分式的基本性质进行分式变形？
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分式的约分
【学习目标】
1、使学生明确分式约分的概念和理论依据，掌握约分的方法；
2、通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法。
【学习重、难点】
重点：分式约分的方法．
难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化。
【学习过程】
一、导入新课：
思考：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什
这种变换的根据是分式的基本性质：
说出这是什么运算？依据是什么？
思考：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？
（把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都不含公约数的分数，这种
运算叫做约分。对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它
们的公约数。约分的目的是把一个分数化为最简分数或整数．）分式的约
分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分
二、合作探究：
观察并化简：1、
_________；
(1)中把左式中的分子与分母都除以
，它是分式的分子与分母
(2)中把左式中的分子与分母都除以它们的公因式
像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分。
分式的约分：利用______
，把一个分式的分子与分母中
1 以外的____
去，叫做分式的约分。
1、约分:（1）—
分析：（1）（2）中的分子分母各有何特点？
（2）式中分子分母公因式如何找?应怎样处理？
（1）一个分式的分子与分母除去
1 以外都没有其他的公因式，这个分式叫
做最简分式。
（2）把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式或整式。
分式约分的步骤（小组讨论概括）：
1、如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的______和相
同因式的______次幂。
2、如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母_______，然
后约去分子与分母的_______。
3、当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的_______。
（1）—9a2b2÷
(2) (a2-4)÷(a2-4a+4)
思考：（1）多项式的除法可以用约分吗？
（2）将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的
三、拓展延伸
1、下列四个分式中，是最简分式的是（
x ? 2 x ? 1
的结果为（
四、课堂小结 ：
1 利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中
1 以外的公因式约去，
叫做分式的约分。
2、分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式。
3、如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它们分别分解因式，得到
因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式
不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。
4、分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如
x-y＝-(y-x)， (x-y)2
＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．
五、学习思考：
学习了本节课，你还有什么困惑吗？
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分式的乘法与除法
【学习目标】
1、 熟练运用通分、约分的知识，会进行分式的乘除法。
2、 理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的
乘方运算。
导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力。
【学习重点】学生能再类比分数的乘除法基础上进行分式的乘除法。
【学习难点】分式的乘除法、混合运算，分式乘法，除法
、乘方运算中符号的
?1【学习过程】?. ?
3一、知识引桥5
51、分式是怎样约分的？与分数的约分有区别吗？2
?2 ?. 2、? 完成下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
思考：你能用字母表示上述运算法则吗？
二、交流互动 探求新知
1、通过做以上题目，同学们交流一下，分数的乘除法则你能举例说明吗？
2、通过以上探究，同学们试一试：
都是整数，
(1) b ·d =
(2) b ÷d =
如果让这里的整数换成整式，这个结论还成立吗？
3、同学们大胆猜一猜，分式乘除法的运算法则：
①该题是几个分式进行什么运算？每个分式的分子和分母都是什么代
②运用分式乘除法法则得到的积的分子、分母各是什么？积的符号是什
③怎样应用分式的约分法则使积化成最简分式或单项式？
①该题是两个分式进行什么运算？每个分式的分子、分母各是什么代数
②怎样应用分式的除法法则把分式的除法运算变成分式的乘法运算？
③积的符号是什么？
点拨：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①把分式除法运算变成分式乘法运算；
②求积的分式；
③确定积的符号；
5、有效训练
2a 2 ? b 2
①本题分别是几个分式在进行什么运算？每个分式的分子和分母都是什么
②在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？
③怎样应用分式乘法法则得到积的分式？
④怎样应用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为多项式)？
分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：
①除法转化为乘法
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③ 约分得到积的分式
7、有效训练
P81 练习第
三、实践与探索
探索分式的乘方的法则
1.思考：我们都学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？
先做下面的乘法：
2.仔细观察这两题的结果，你能发现什么规律？与同伴交流一下，然后完成
不为零）所以分式乘方的
=___________
法则用语言叙述为
思考：分式乘方时应注意什么？
三、课堂小结
谈谈你的收获。说说计算分式的乘除法时应注意什么？
四、学习与思考：
1、探索分式乘除法运算法则时，用到了哪种数学思想？
2、你认为这节课的难点在哪里？
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分式的通分
【学习目标】
1、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；
2、理解最简公分母的含义，会求各分式的最简公分母
3、通过与分数通分比较，渗透类比的思想方法。
【学习重、难点】：找分式的最简公分母
【学习过程】
一、知识引桥
1、分数的通分是怎样做的？
2、把下列分数进行通分。
二、学习新知
1、探究一下
的公分母是
，所以把这两个分式化为同分
母的分式为：
，根据分式的基本性质，得：
像这样，把几个异分母的分式化成
叫做分式的通分。
（2）你能把分式
进行通分吗？试一下，你一定能行？
这两个分式的公分母有多个，其中最简单的一个是
，把它叫做
同学们动脑想一想（1）分式通分的依据是什么？
（2）概括：确定最简公分母的一般步骤：
①．取各分式的分母中系数的最小公倍数；
②．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
③．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
④．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次
幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。.
2、交流发现：
例 1、把下列各题中的分式通分：
思考：若分式的分母是能因式分解的多项式，分式的通分怎么办？大胆总结
一下分式通分的步骤？
3、仔细做一下，你一定能行。
的最简公分母是
，通分后这两个
2 x 2 y ? 3 xy 2
分式分别是
这两个分式的最简公分母是
，通分后这
x 2 ? 3 x x 2 ? 9
两个分式是
（3）把下列分式进行通分
8 xy 6 xz 2
6 x ? 4 y 9 x 2 ? 4 y 2
三、课堂小结
1、本节课我们学习了分式的通分，什么是分式的通分？其关键是什么？
2、如何寻找分式的最简公分母？
3、分式的分母是多项式时如何通分？
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分式的加法与减法
【学习目标】
1、经历探索分式的加减法运算法则的过程，通过与分数加减法法则的类比，
发展学生的联想与合情推理能力。
2、能熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
【学习重、难点】熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
【学习过程】
一、知识引桥
1、分式是怎样通分的？与分数的通分有区别吗？
2、看谁做的又对又快。
通分后的分式为
通分后的分式为
a 2 ? 9 a 2 ? 6a ? 9
二、学习新知
（一）考考你
（1）甲、乙两捆相同型号的电线，质量分别为
n 千克，如果这种
电线每米的质量为
a 千克，那么这两捆电线的总长度为
（2）如果这两捆电线的型号不同，质量分别为
q 千克，甲捆电线
每米质量为
a 千克，乙捆电线每米质量为
b 千克，那么这两捆电线的总长度为
（二）交流与发现
（1）与同学交流说明一下分数的加法法则，下面的题目你一定会做：
归纳一下同分母分式加减法法则：
(2)例 1、计算
第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，
(2)是多项式要变号的问题，应引起注意。
例 2、计算
[分析]本题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项
式看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
注意：最后结果一定要化为最简公式。
三、课堂小结
谈谈你的收获。
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初二全体数学教师
【学习目标】
1、经历探索分式的加减法运算法则的过程，通过与分数加减法法则的类比，
发展学生的联想与合情推理能力。
2、能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
【学习重点】能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
【学习过程】
一、知识引桥
1、回想一下同分母的分式加减法的运算并计算以下题目
二、学习新知：
（一）交流与发现
小亮和小莹练习用电脑打字，小亮每分钟打
a 个字，小莹每分钟比小亮多打
20 个字，当他们都打完了
3000 个字时，小亮比小莹多用多少时间？
与同学们交流一下，最后结果是什么？
归纳一下异分母分式加减法法则：_______________________________
(二)例题精讲
例 2 计算：
例 3 计算：
（三）反馈检测：仔细做一下，检验一下你掌握了本节知识没有
a ? b a ? b
x 2 ? y 2 x ? y
三、学习思考
整式与分式相减及异分母分式相减时应注意什么问题？
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【学习目标】
1、理解并掌握比的含义
2、正确进行比的化简运算
【学习重点】熟练掌握比的含义及化简运算
【学习过程】
一、情境引入
八年级一班男、女生人数比是
m：n，你知道
的含义吗？你还能举出
生活中常见的比的例子吗？
二、学习新知
（一）考考你
1、阅读课本
P95 内容，回答下面问题
a 与 b(b≠0)相除，叫做
例如：要配置一种淡盐水，盐与盐水的比是
是比的前项，
是比的后项，盐与水的比是
2、你能化简下面的比吗？试试看。
3、数学课本的长是
26cm，宽是
13cm，则长与宽的比是
比过程中，注意单位是否一致，最后结果没有单位）
（二）交流与探索
1：八年级一班有学生
a 名，如果男、女生人数的比是
m：n，那么该
班女生有多少名？
2：如图，时代中学的校园有两块草坪，草坪甲是边长为
a 的正方形，
中间有一个边长为
b 的正方形喷水池，草坪乙是长为
a-b 的长方形，求甲、
乙两块草坪的面积的比。
（三）仔细做一做，相信你能行！
1、把下面的比写成分式的形式，并化简。
(1)35a:7a2
(2)4xy2:6x2y
(3)(x＋y):(x2－y2)
（四）智慧冲浪
1、比的前项和后项为（
A. 都不能为
B.都可以为
C.前项可以为
D.后项可以为
2、小明的妈妈从超市用
3 千克苹果，苹果的单价与质量的比是（
3、小亮家每月的收入为
2800 元，如果日常生活开支的款项与储蓄款项的比
是 3：2，那么小亮家每月日常生活开支为
三、学习思考：
1、请同学们想一想，通过本节学习，你有什么收获？
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初二全体数学教师
【学习目标】
1、认识比例的内项和外项，探索并掌握比例的基本性质
2、使学生在探索比例的基本性质的过程中，进一步体会数学知识的内在联
系，养成爱动脑，爱思考的好习惯。
3、学会并熟练运用比例的基本性质进行运算。
【学习重点】掌握运用比例的基本性质
【学习过程】
一、知识回顾
1、阳光中学六年级（1）班有男同学
20 人，女同学
30 人，男生与女生的人
，男生人数与全班人数之比是
，女生与全班人数之比是
2、100 千克小麦可以磨
80 千克面粉，面粉重量与小麦重量的比是
，这个比的意义是
二、学习新知
（一）考考你
P96 内容，回答下列问题
r1=2，⊙O2
r2=3，回答下列问题：
⊙O2 的周长
你发现了什么？与同学交流
我们把表示
叫做比例式，简称
（二）交流于发现
a:b=c:d 可以写成
的形式，其中，a
叫做比例内项。
由 2:3=4π:6π,即
两边同乘以
2×6π=3×4π
总结发现:一般地，如果
(bd≠0)，这
个性质叫做比例的基本性质。
（三）例题详解
1、根据下列各题的条件，求
a:b 的值。
想一想，做一做：你还可以求出
b:a 的值吗？
2、人在月球上和地球上的重力是不同的，二者的比为
1：6，如果一名宇航
员在地球上的重力为
750 牛，那么他在月球上的重力是多少？
（四)谁主沉浮！
3b－4a=0，且
b≠0，那么
非我莫属：通过上述你发现了什么规律？
三、学习思考：
通过本节课的学习，你能熟练说出并应用比例的基本性质吗？
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【学习目标】
1、掌握比例的基本性质
2、进一步探索比例的基本性质、认识连比
【学习重点】比例基本性质的应用
【学习过程】
一、情境引入
1、人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近
0.618，越给人以
美感，遗憾的是即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美，某女士身高
1.68m，下半身为
1.02m。请你帮她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？
2、一个三角形的三个内角的度数比是
2：3：4，那么这个三角形三角度数
二、学习新知
1，比例的基本性质
（温馨提示：先根据比例的基本性质进行化简，再根据比例的基本性质求出
都是正数，求
a ? 3b ? 2c
（温馨提示：可以考虑设比值，然后进行整理）
P98、P99 内容，回答下列问题。
AD：DB：AB=3：5：8
这种形式的比例叫做
前项的最小公倍数。
例 1：如果
a:b=4:5，b:c=2:1，求连比
例 2：三角形的周长为
52 厘米，三边长的比是
3：4：6，求三条边的长。
三、练习巩固
x:y=2:3，y:z=4:7，求连比
a:b:c=2:3:4
a ? b ? c =
270 本科技图书按
分配给低、中、高年级，低年级的得
本图书，中年级得到图书
本，高年级得到图书
a:b:c=3:4:2，且 a＋2b－c=18，求
四、学习思考
同学们，通过对比和比例的学习，你了解它们的区别吗？认识什么是连比
吗？怎样才能构成连比？与同学们交流讨论。
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可化为一元一次方程的分式方程
【学习目标】
1、理解分式方程的特征，记住分式方程的概念
2、能正确判断一个方程是否是分式方程
3、掌握解分式方程的一般步骤
4、能正确地解可化为一元一次方程的分式方程
【学习重点】
理解分式方程的概念
通过具体例子，探索出分式方程的解法及必要的解题步骤
【学习过程】
一、知识引桥
1、什么是方程？什么是分式？
2、看谁做得又对又快。
(2)( 1 1 )÷m ? n
9 ? m 2 m ? 3
中的分母去掉，可采用将方程的两边
二、学习新知
（一）考考你
P102 内容，回答所列
5 个问题．
（二）交流于发现
1、（ 1）你所列的方程的分母有什么特点？
（2）总结：
方程叫做分式方程
（3）分式方程的主要特征是①
2、试着解方程:
）怎样把方程
中的分母去掉？
（2）去掉分母后，原方程变成了什么样的方程，写出得到的两个式子
根据课本上题的解题过程，总结解分式方程的一般步骤：
（1）将方程的两边同乘以各分母的
将分式方程化为整式方程
（2）解这个整式方程，求出
（3）检验：将整式方程的根代入
0，则整式方程的解就
0，则这个解是
原方程无解。
、根据上述步骤，试着解方程：
4、解出下列方程，并将过程书写完整。
思考：方程（2）是否有解？为什么？
5、开动脑筋，独立完成
P103 练习题
三、学习思考
1、写出一个方程，让你的同学判断一下是否是分式方程？
2、分式方程的主要特征是什么？
3、为什么有的分式方程会产生增根？
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【学习目标】
1、能正确熟练地解可化为一元一次方程的分式方程
2、了解分式方程验根的必要性
【学习难点】
了解解分式方程产生增根的原因
【学习过程】
一、知识引桥
看谁做得又准又快（解出下列方程）
二、学习新知识
（ ）做出课本
例题，解方程
x ? 7 7 ? x
回答：化为整式方程后解出的方程的解是否是原方程的解，你是如何判断出
（ ）学习课本
（3）独立解出下列方程
（4）智慧冲浪
有增根，则
x ? 3 3 ? x
②已知分式方程
有增根，求
x ? 1 x ? 1
5ax ? 1 41
2a ? 3 x 2
为何值时，
的值互为相反数。
1 ? x 2 1 ? x
三、学习思考
解分式方程的基本思想是什么？
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【学习目标】
1、使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程应用题的方法和步骤
2、通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法
【教学重、难点】
1、重点：列分式方程解应用题
2、难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程
【学习过程】
活动一：知识回顾
1、思考：解分式方程首先要把分式方程化为
方程，而且解分
式方程还会产生
，所以一定要
2、解分式方程，看谁做得又快又好。
活动二：新知识导航
1、思考：列方程解应用题的步骤是什么？
2、阅读课本
106 页例 4，动脑筋想一想
（1）两车的速度怎么设？
（2）题中的等量关系是什么？
（3）列出方程
3、独立完成例
4 的解答过程
学校要举行跳绳比赛，同学们都积极参加，甲同学跳
180 个所用的时间，乙
同学可以跳
240 个，又知甲每分钟比乙少跳
5 个，求每人每分钟各跳多少个？
活动三：知识拓展
P107 例 5，思考下面问题，并与同学交流
1、如果设全楼每平方米的平均价格为
B 型住宅每平方米的
价格分别是多少？
2、两种住宅的面积分别是多少？
3、此题的等量关系是
所列方程是
4、你会解这个方程吗？试一试。
反馈练习：
108 页练习第
2、某学校学生进行急行军训练，预计行
60 千米的路程在下午
5 时到达，后
来，由于把速度加快
，结果于下午
时到达，求原计划行军的速度？
列分式方程解应用题的关键是什么？
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4 章 数据分析
§4.1 加权平均数
【学习目标】
1、掌握加权平均数的概念，利用公式计算加权平均数；
2、体会算术平均数与加权平均数的区别与联系；
3、了解平均数是反映一组数据的集中趋势。
【学习重点】加权平均数的概念。权与频数。
【学习难点】用两种方法求一组数据的加权平均数。
【学习过程】
一、温旧迎新
1，前面我们学过算术平均数，对于一组数据
x1,x2,…xn 它们的算术平
2，为满足顾客的需求，某商场将
15KG 奶糖，3KG
2KG 话梅糖
混合成什锦糖出售，已知奶糖的售价是每千克
40 元，酥心糖是每千克
梅糖是每千克
15 元，混合后什锦糖的售价应为每千克多少元？
小组同学比较计算方法，有没有比较简单的方法？
二、自主学习
对比上面的两个问题，并结合课本回答：
2 中较为简单的方法是
叫做数据的频数．．。
2 中 40 的频数是
15， 20、15
的频数各是多少？
叫做这组数据的加权平均数．．．．．。
叫做权．。
知识小结：
2 中，由于数据少，数值小用算术平均数或加权平均数公式没有
大的差别，如果数据多，并且多数值大，如：课本
P117 例子，则用加权平均数计
算更为简捷。
三、探究思考
通过以上算术平均数与加权平均数的计算，了解两者之间有什么联系与区
四、合作交流
P114 例子中小莹的解法，即另一种加权平均数的计算。并与小亮的
加权平均数的公式对比，找出它们之间的联系。
小组内讨论，并用式子加以说明：
通过上述论证，说明小亮与小莹的做法是相通的。
五、学以致用
1、某专业户要出售
100 只羊，市场价为每千克
11 元，为了估计这
的价格，从中随机抽取
5 只羊，每只羊的质量如下：（单位：千克）
（1）估计这
5 只羊每只羊的平均质量是多少千克？
（2）估计这
100 只羊每只羊的平均质量是多少千克?
2、甲乙两名学生进行射击练习，在相同的条件下各射靶
5 次，射击成绩统
命中环数（单位：环）
甲命中相应环数的次数
乙命中相应环数的次数
从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平。
六、课堂小结
怎样求一组数据的平均数？
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【学习目标】
1、进一步掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的算术平均
数和加权平均数。
2、体会算术平均数和加权平均数的联系和区别，并能利用它们解决一些现
实问题，发展数学应用能力。
【学习重点、难点】加权平均数的求法
【学习过程】
一、知识回顾
1、上节学习的加权平均数的计算公式是什么？什么叫权？
2、八年级二班某次数学测验的成绩是
6 人，60 分的
10 人，70 分的
4 人，100 分的
1 人，则该班这次测验的平
均成绩是多少，列式计算。
二、合作探究
活动一：权的另一种计算方法
看下面的例子（见课本
P117 例 3）
(1)想一想: 文中出现的连比
表明了什么？用自己的话与同桌交流。
(2)算一算: 你能算出他们每个人的个人总分吗？组内交流（把式子写在下
小莹总分：
小亮总分：
大刚总分：
归纳：权的另一种计算公式是什么？
(3)试一试:
学校组织领导、教师、学生、家长等对教师的教学质量进行综合评价，满分
为 100 分。张老师的得分情况如下：领导平均给
80 分，教师平均给
76 分，学生
90 分，家长平均给
84 分，如果按
1：2：4：1
的比例进行计算，张老师
的综合评价得分应为多少？
活动二：例题学习
P117 页例 2
学生先自主完成，然后合作交流
活动三：巩固新知
P118 页练习，P118 习题
4.1 第 1.2 题
三、挑战自我
你能说出算术平均数与加权平均数的联系与区别吗？班内交流。
四、学习反思与评价
这节课主要学习了哪些知识点？掌握了哪些？还有什么不明白的地方？
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§4.2 中位数
【学习目标】
1.理解中位数的概念，会求出一组数据的中位数.
2.能体会中位数和平均数的联系与区别.
3.能结合具体的情景选择平均数或中位数作为一组数据的代表，用以解释一
组数据的集中程度
【学习重点】中位数的概念，会找一组数据的中位数.
【学习难点】利用中位数分析数据信息，做出决策。
【学习过程】
一、学习讨论，探究新知
15 名男生的身高（单位：厘米）分别为
164，172，178，170，165，168，167，172，169，170，170，156，161，
思考下面的问题，并与同学交流
（1）数一数，这组数据的个数是多少？
（2）将这组中的所有数据按照由小到大的顺序重新排列，排在中间位置的
数是哪一个？如果按照从大到小的顺序排列呢?你发现了什么？
（4）如果又加上一名身高
173 厘米的男生，新的一组数据中的个数是多少？如
果将这组新数据中的所有数据按照由小到大的顺序排列起来，那么排在中间位置
的是什么数？如果按由大到小的顺序加以排列呢？（小组内讨论交流，找出疑难
确定中位数的方法是：先将这组数据按______________________________
若数据的个数为_______，则中位数是________________________
若数据的个数为_______，则中位数是________________________
二、拓展探究，发现规律
1、中位数确定与这组数据由小到大排列和由大到小排列有关系吗？
2、中位数是根据什么来确定的？
3、中位数一定是这组数据中的某一个数吗？
三、学习例题，学以致用
例 1 某商店本月
1－10 日的日营业额（单位：万元），如下表所示，
10 天日营业额的平均数和中位数。
（2）请对该商场本月
2 日的营业情况作出评价。
1 中的问题（1）和问题（2）的结果，你有什么发现？
四、巩固练习，消化新知
1、在一次数学测验中，某个小组
8 名学生的成绩分别是：83
77，这组数据的中位数是
6 的平均数是
a=______；它们的中位数是________.
3.下列各组中，中位数和平均数都相等的是（
A.0 ， 1 ，
4.已知一组数据
1，2，1，3，4，6，4，那么
3 是这组数据的______
C.既是中位数也是平均数
D.既不是中位数也不是平均数
5、选择合适的答案填写在括号里。
A 、平均数
（1）八年级一班有
38 人，八年级年二班有
39 人，要比较期末考试时哪个
班的成绩高一些，应该选取（
（2）在青年歌手比赛中，某个选手要知道自己到底处于什么水平，应该选
五、学后反思，总结规律
1、找中位数的步骤：①按大小顺序排列 ②找到中间的一个数或中间两个数
2.中位数与平均数的联系及区别？
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§4.3 众数
【学习目标】
1、理解众数的含义，掌握众数的计算方法
2、能结合具体情景体会众数、中位数、平均数的差别，能初步选择适当的
数据代表（众数、中位数、平均数）做出自己的判断
3、培养独立思考，勇于创新，小组协作能力
【学习重点】正确确定一组数据的众数
【学习难点】平均数、中位数、众数三者之间的区别和联系
【学习过程】
一、学习讨论、探究新知
1、交流与发现
124 页“交流与发现”（1）（
2），并在小组内互相交流。
问题（1）中型号
的选用最多，问题（2）中数据
多。这两个数就是这两组数据的众数。
2、概括与总结
众数的定义：
问题反思：（
1）一组数据的众数是不是这组数据中的一个？
（2）一组数据的众数是不是只有一个？
二、共同分析
某校合唱团共
50 名学生，他们的年龄如下表所示：
（1）求合唱团成员年龄的平均数、众数和中位数（精确到
25 岁的教师因工作需要调离合唱团，换了一位
45 岁的教师，那
么该合唱团成员年龄的平均数、中位数和众数那些发生了变化？那些没有发生变
问题反思：由（1）、（2）你能得到什么结论？
例 1、某公司有
15 名工作人员，他们的月工资情况如下表所示：
（1）求该公司工作人员月工资的平均数、中位数，众数；
（2）假设经理的月工资由
8000 元提高到
12000 元，副经理的月工资由
6000 元，职工的月工资仍为每月
2000 元，求工资变动后所得一组新数
据平均数、中位数，众数；
（3）由（1）（
2）你认为在这一问题中，那个统计量更能反映出这个公司员
工的月工资水平？结合统计量的实际意义加以解释。
三、畅所欲言、例题感悟：
平均数、中位数、众数都是一组数据的代表，在什么情况下人们最关心平均
数？在什么情况下人们最关心中位数或众数？举例说明。
四、拓展提高：
青年歌手大奖赛的决赛在甲、乙两名歌手之间进行，9
位评委的评分（10
为满分）情况如下表所示（单位：分）：
（1）将甲、乙两名歌手的得分适当进行分组整理，并列成统计表；
（2）分别求出甲、乙两名歌手得分的平均数、中位数、众数；
（3）由（2）的结果，分析甲、乙两名歌手中谁的演唱水平较高；
（4）如果以平均分为标准区分比赛的名次，那么制定怎样的计分规则比较
解：（1）将甲、乙两名歌手的得分分组整理，得到以下两个统计表：
甲选手得分情况
乙选手得分情况
（2）根据上面的表格，计算（学生填好上表，自主完成后面问题）
五、巩固练习
30 名女生身高检测结果如下表所示（单位：米）
该班女生身高的众数是
2、已知数据－3，－2，1，3，6，x
的中位数是
1，那么这组数据的众数是
3、若一组数据的平均数为
，中位数为
n,那么将每个数据加上
后得到一组新数据的平均数为
，中位数为
4、某贸易公司
10 名销售员，去年完成的销售额情况如下表：
销售额 （单位：万元）
销售员（单元：人）
（1）求销售额的平均数、众数、中位数。
（2）今年公司为了调动员工的积极性，提高销售额，准备采取超额有奖的
措施，请根据（1）的结果，通过比较，确定今年每个销售员统一的销售标准是
多少万元？
六、自我反思与评价
同学们对本节知识的学习还存在哪些疑问吗？通过本节学习你有何感想
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数据的离散程度
【学习目标】
1、知道数据的离散程度反映一组数据变化范围的大小和偏离平均数的差异
2、在已有数学经验基础上，探求新知，从而获得成功的快乐。
【学习重点、难点】
1、掌握什么是数据的离散程度
2、理解数据离散程度的意义
【学习方法】小组合作交流
【学习过程】
一、设计问题情境，导入新课
1、课本交流发现中，两名运动员的成绩如何进行比较呢？
（1）引导学生用以前学过的方法进行比较——求平均数、中位数和众数。
（2）分组计算并比较：经计算可以看出，对于甲、乙两名同学的成绩而言，
平均数、中位数和众数都对应相等。
（3）思考：这是不是说，两名同学的成绩一样呢？
4—1 两名同学成绩的折线统计图，观察一下，它们有差别吗？把你观
察到的结果写出来：
4—1 我们可以发现：甲同学的成绩从
动的范围比较大，乙同学从
12.9 秒，折线波动范围则比较
从折线的波动范围我们能够看出些什么？
你得到：两名同学的成绩比较，哪一名的比较稳定？
4—2 中的红色虚线所代表的统计量是什么？你能否发现在两幅图中
描出的各点与所画出的虚线有怎样的位置关系？这条虚线上方的点与虚线下方
的点所表示的训练成绩与他的平均成绩有什么关系？
4—2，比较甲、乙两名运动员
8 次成绩偏离平均成绩的程度，你感
觉就成绩而言，哪组数据相对他们的平均数波动程度较小，哪组数据的波动程度
较大？从而，你认为平均数
12.5 对哪组数据的代表性较大？对哪组数据的代表
6、总结：数据的离散程度描述一组数据的
二、巩固训练
甲、乙两人进行投篮比赛，每人投
10 次，投中次数如下：
有人说这两个人的投篮水平相同，你同意这种说法吗？根据上述数据制成折线统
计图，说明你的结论。
【自我反思】
1、本节你掌握了哪些知识？有什么收获？
2、举例说明本节知识在生活中的应用。
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【学习目标】
1、了解方差的定义和计算公式。
2、会用方差计算公式来求一组数据的方差。
【学习重点】掌握方差求法
【学习难点】理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。
【学习过程】
一、知识引桥
乒乓球的标准直径为
40mm，质检部门从
两厂生产的乒乓球中各抽取了
10 只，对这些乒乓球的直径进行检测。结果如下（单位：mm）：
A 厂：40.0, 39.9, 40.0, 40.1, 40.2, 39.8, 40.0, 39.9, 40.0, 40.1;
B 厂：39.8, 40.2, 39.8, 40.2, 39.9, 40.1, 39.8, 40.2, 39.8, 40.2
（1）请你算一算它们的平均数和极差。
A 厂：平均数
B 厂：平均数
（2）是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？
（3）你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？
（本节课我们一起来探索这个问题。）
二、探究新知
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他
数据的波动情况不敏感。刻画一组数据的离散程度，除了用极差外，还有其它方
P134 交流与发现，回答下列问题：
1、请你归纳一下方差概念，并说说公式中每一个元素的意义。
2、谈谈方差的作用？
意义：用来衡量一组数据的波动大小在样本容量相同的情况下，方差越小，
这组数据的离散程度就越小，说明数据的波动越小，就越稳定。
3、说说你的疑问：
（1）能用偏差的和表示一组数据的离散程度吗？
（2）为什么要除以数据个数
（3）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？
4、初步运用
利用所学知识解决引例中的问题。
三、学以致用
某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球
运动员大刚的进球个数分别是：
（1）求大刚进球个数的平均数；
（2）求大刚进球个数的方差。
大刚进球个数的标准差为
四、知识构建
求一组数据的方差的步骤是什么？
五、拓展延伸
如果一组数据
x1,x2,…, xn 中的每一个数据都减去
a，得到一组新数据
x1 ,x2 ,…, xn
，那么这两组数据的方差有什么关系？
六、巩固提高
1、衡量一组数据波动大小的统计量是（
2、在一周内体育老师对某运动员进行了
5 次百米短跑测试，若想了解该运
动员的成绩是否稳定，老师需要知道他
5 次成绩的（
3、甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击
10 次，他们的平均成绩均
为 8 环，10
次射击成绩的方差分别是
，那么，射击成绩较为稳
SS甲 ??2,乙
。（填“甲”或“乙”）
4，5，6，7，8
的平均数是
1，2，3，4，a
的平均数是
，这五个数的方差是
【自我反思】
这节课学到了哪些新知识？还有什么问题？提出来交流。
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【学习目标】
1、会计算一组数据的方差，并会用他们表示数据的离散程度
2、使学生了解样本方差、总体方差的意义
【学习重点】方差的意义
【学习难点】方差
【学习过程】
一、知识回顾
方差的计算公式
方差的作用是什么？
二、合作探究
甲、乙两位车工同时加工一种球形零件，图纸规定球形零件的直径为
（15±0.05）㎜，两人的工作效率相同，现从他们加工的零件中分别随机抽取
个进行检验，测得它们的直径如下（精确到
0.01 ㎜）：
甲加工的零件：15.05
乙加工的零件：15.00
（1）分别求两个样本的平均数与方差：
（2）如果从两人中推荐一人参加即将举办的全场技术比赛，你认为应该派
小组内合作完成
三、概括总结
在实际生活和生产中，我们经常用样本方差去估计总体方差，用样本标准差
去估计总体标准差。
四、自主练习
1、一个样本的方差为
，则这个样
本的容量为
，平均数为
2、样本方差的作用是（
A. 估计总体的平均水平
B. 表示样本的平均水平
C. 表示总体的波动大小
D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的
3、已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差
S 甲=0.055，乙
组数据的方差
S 乙=0.105，则（
A. 甲组数据比乙组数据波动大
B. 乙组数据比甲组数据波动大
C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大
D. 甲、乙两组数据的数据波动不
4、一组数据
1，3，2，5，x
的平均数为
3，则数据的方差为（
【自我反思】
《方差》这节你学到了哪些知识？还有什么疑惑？
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初二全体数学教师
用计算器计算平均数和方差
【学习目标】
1、使学生掌握利用计算器求一组数据的平均数和方差
2、进一步体会用计算器进行统计计算的优越性
3、养成耐心、细致的学习态度和实事求是的科学精神。
【学习重点】利用计算器求一组数据的平均数和方差
【学习难点】计算器上符号的准确识读与应用
【学习方法】合作交流
【学习过程】
一、知识引桥
1、什么是平均数？什么是方差与标准差？
2、平均数、方差反映了一组数据的什么？
二、交流探索
（一）课前预习：
自主学习课本第
142—143 页的内容，完成以下填空（要求必须熟悉计算器操作
，打开计算器。
，进入统计状态，计算器显示“SD”符号。
，清除计算器中原有寄存的数据。
（4）输入统计数据，按键顺序为：第一数据
；第二数据为
最后一个数据
，计算器显示出输入的所有统计数据的平均数。
，计算器显示出输入的所有统计数据的方差。
（7）如果不准备保留数据，课按键
，退出求平均数及方差
（二）、课内探究：
1、小组合作完成第
142 页例 1
2、使用计算器求下列各数据的平均数和方差：
（1）7.81，10.20, 10.08, 9.93, 8.18, 9.13, 8.90, 9.98（精确到
（2）1.52, 1.66, 1.58, 1.68, 1.60, 1.74, 1.62, 1.70（精确到
三、学以致用：
1、巩固新知：
（1）、利用计算器求下列数据的平均数
210、208、200、205、202、218、206、214、215、207、195、207、218、192、
202、216、185、227、187、215
（2）、求下面数据的方差（精确到
15.1, 15.3, 15.6, 16, 16.4, 16.4, 16.6, 16.6；
2、能力提升：
质检部门从甲、乙两种饮料中各抽取
10 瓶 250ml 的果汁饮料，检测其中维
C 的含量。检测数据如下（单位：mg）：
那种饮料维生素
C 的含量高？那种饮料维生素
C 的含量比较稳定？
3、课外延伸：根据下面甲、乙两组数据回答。
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，88，85
乙组：82，84，85，89，79，91，80，89，74，79
（1）甲组数据众数是
，乙组数据中位数是
（2）若甲组数据的平均数为
X 乙组数据的平均数为 Y，则
X 与 Y 的大小关系
（ 3 ） 经
甲 =14.45 ， S 乙 =26.36 ， S 甲 ＜
S 乙 ， 这
。（用简要文字语言表达）
【收获与反思】
这节课同学们学到了什么？还有哪些不明白的地方？
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初二全体数学教师
几何证明初步
定义与命题
【学习目标】
1、明确什么是定义及定义的根本特性
2、明确命题的定义和命题的分类
3、会判断命题的真假，能正确写出命题的题设和结论
【学习重点、难点】能正确写出命题的题设和结论，正确判断命题的真假。
【学习过程】
一、自主探究
探究一：回忆角、平行线、直角三角形的概念
以上描述概念的语句有什么共同点？它们是用来说明什么的？
归纳总结：
_____________________________叫做定义。
（2）、定义常用的叙述方式：____________________________。
(3)、定义一方面可以作为
使用，另一方面又可以作为
探究二：以下语句有什么共同点？它们是用来说明什么的？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
归纳总结：①
②命题的一般叙述形式：
；③命题组成部分：
二、典型示例
例 1、说出下列命题的条件和结论：
（1）如果两条直线都垂直与第三条直线，那么这两条直线互相垂直；
（2）平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条
直线平行；
（3）全等三角形的对应边相等。
三、合作交流：
1 中哪些命题是错误的？
叫做真命题；
2、你是如何说明该命题是错误的？与同伴交流。
_____________________________
叫做反例。
注意：要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
四、随堂练习
1、指出下列命题的条件和结论：
①如果两直线相交，那么他们只有一个交点；
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
2、判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。
①两个锐角的和等于直角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
五、课堂小结
通过这节课你学到了什么知识？提出来交流一下，你还有什么疑问？
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为什么要证明
【学习目标】
1、了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、
观察或实验是不够的，必须一步一步、有根据地进行推理。
2、经历观察、验证、归纳等过程，认识证明的必要性，培养推理意识。
3、体会检验数学结论的常用方法，培养严谨的学习态度和科学的世界观。
【学习重点】要认识证明的必要性，培养推理意识。
【学习难点】在判断一个数学结论是否正确时，如何进行推理。
【学习过程】
一、知识引桥
在前面的学习中，我们利用观察、实验、归纳和类比等方法发现了许多数学
命题，如（1）“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。（
2）四边形有
对角线，五边形有
5 条对角线，六边形有
9 条对角线，……由此我们可以归纳出
条对角线。（
）运用类比的方法由分数的基本性质得出分式的
基本性质。你能举出类似的例子吗？（小组内交流一下）
二、合作探究
自读课本第
158 页-159 页(1)-（6），小组内交流、讨论,并完成以下内容：
得到的结论，不一定正确。
小组交流：如何确定命题的正确性？
三、学以致用
1、观察图（1）（
2）（ 3），回答下列问题：
（1）图（1）中的线段
b 一样长吗？检验一下。
（2）图（2）中的直线
平行吗？检验一下。
（3）图（3）中圆
B 相等吗？检验一下。
任何一个正整数都大于它的倒数
2> 1 , 3> 1 , 4> 1 , ……
小亮的结论正确吗？
3、通过画图，小莹发现三角形的三条中线都在三角形的内部，三角形的三
条平分线也都在三角形的内部，于是推断三角形的三条高也都在三角形的内部，
小莹的结论正确吗？
【自我反思】
通过这节课你学到了什么知识？提出来交流一下，你还有什么疑问？
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初二全体数学教师
什么是几何证明
【学习目标】
1、了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．
2、了解证明的格式和步骤．
3、通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由
几何语句正确画出几何图形的能力
【学习重点】几何证明的一般步骤
【学习难点】几何证明的推理过程
【学习过程】
一、自主探究
1、什么是基本事实？
2、在已学过的几何命题中，哪些可以作为基本事实？
3、什么是证明？
4、什么是定理？
二、合作交流
活动一：求证：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
已知：∠AOC
求证：∠AOC=∠BOD
活动二：求证：同角的余角相等。
求证：∠1=∠2
活动三：交流提升
上述命题的真实性通过推理的方法得到了证实，我们把由已知条件、定义、
公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法得到证实的真命题称作定理。
由上面定理的证明过程，可知几何证明的过程可分为以下几个步骤：
三、学以致用
求证：同角的补角相等。
【自我反思】
通过这节课你学到了什么知识？提出来交流一下，你还有什么疑问？
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初二全体数学教师
平行线的性质定理和判定定理
【学习目标】
1、体会平行线的性质及判定定理，深刻领会其含义。
2、会运用平行线的性质及判定解决一些实际问题。
【学习重点】正确说出一个命题的逆命题。
【学习难点】互逆命题与互逆定理的区别。
【学习过程】
一、自主整理
1、上节课时，我们学习了证明的基本步骤：
2、七年级我们学过的平行线的性质和判定方法有哪些？
二、合作探究
活动一：证明平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。
活动二：证明平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。
三、观察探究
活动一：（1）两直线平行，内错角相等；（2）内错角相等，两直线平行
在上面两个命题中，第一个命题的条件是第二个命题的
，而第一个
命题的结论是第二个命题的
，那么这两个命题叫做互逆命题。如果
把其中一个命题叫原命题，那么另一个叫它的逆命题。
练习：你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题分别是真命题还是假命
（1）同角的补角相等，逆命题：
（2）全等三角形的对应边相等，逆命题：
活动二：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理
的逆定理。你能举出已学过的定理和逆定理吗？
练习：1、有下列命题：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）全等三角形
的周长相等；（3）直线都相等；（4）等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数
2、写出命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题：
四、能力提升
AB 分别交于
点，∠1=∠2，求证：CE∥DF
【自我反思】
这节课学到了什么内容？有什么收获？同学们还有什么疑问？
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三角形内角和定理
【学习目标】
1、掌握“三角形内角和定理”及其推论的证明和其简单的应用
2、通过对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用
3、在观察图形、学习定理的意义，证明定理的方法中培养独立思维的能力
【学习重点】掌握三角形内角和定理及其推论
【学习难点】学会作辅助线来构造三角形，提高解题能力
【学具准备】三角板
【学习过程】
一、交流与发现
学生交流探索有哪些方法求三角形的内角和：
1、用度量的方法可以发现三角形的内角和是 ______度；
2、折叠三角形的三个内角拼到一起，拼成一个______角：
如图：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边
上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌
合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.
3、将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
4、由实验可知：三角形的内角之和正好为一个_____角.
但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.
那么怎样证明呢？
二、合作探究，共同提高
1、回忆证明一个命题的步骤：
2、合作探究，讨论交流：如何证明三角形三个内角的和是多少度？
从而得到：
三角形内角和定理：
同学们：你还有其它作辅助线的方法吗？用你的方法做一下吧！
三、深入探究，更进一步
（探究并证明∠ACD
与∠A、∠B
的数量关系）
活动一：三角形的外角与和它不相邻内角的等量关系
活动二：三角形的外角与和它不相邻内角的不等关系
像这样，由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论，推论可以作为定理
四、学以致用
D 是三角形
内的一点，求证：∠BDC>∠A
【自我反思】
通过学习这节课你有什么收获？
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初二全体数学教师
【学习目标】
(3) 经历探索直角三角形性质和判定定理的推理的过程，进一步培养学生的推理
(4) 通过探索直角三角形性质和判定定理的推理的活动，来培养学生的论证能
力，从而使他们灵活应用所学知识。
【学习重点】掌握直角三角形性质和判定定理
【学习难点】在证明及应用中灵活使用此定理
【学具准备】三角板
【学习过程】
一、复习回顾
1、三角形内角和定理：
2、直角三角形定义：
二、合作探究
活动一：取一副三角尺，你能说出每个三角尺中两个锐角的度数吗？同一个
三角尺的两个锐角的和是多少度？
活动二：任意画一个
RtΔABC，∠C=90°它的两个锐角∠A、∠B
么数量关系？怎样证明你的结论？
结论：直角三角形的性质定理：
活动三：你能说出直角三角形性质定理的逆命题吗？它是真命题还是假命
题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出一个反例。
三、学以致用
1、已知：在
RtΔABC 中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为
求证：∠ACD=∠B
2、已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=90°
求证：AB∥CD
【自我反思】
通过学习这节课你有什么收获？
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几何证明举例
【学习目标】
1、通过学习，进一步学会三角形全等的判定方法
2、利用三角形全等证明线段和角相等
【学习重点、难点】学会判定三角形全等的基本方法并能灵活应用，
利用全等三角形的性质证明有关的问题
【学习过程】
一、知识回顾
1、判定三角形全等的基本事实有
2、全等三角形的性质：全等三角形的
二、探究新知
在前面我们已经学过的全等三角形的四个判定方法中，判定方法
已经为基本事实，你能够自己证明判定方法
已知：如图，在△ABC
和△A’B’C’中，AB=A’B’,
∠B=∠B’,
ABC≌△A’B’C’
由此我们可以把全等三角形的判定方法
3 作为全等三角形的判定定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等
从基本事实
SAS,ASA,SSS,以及
AAS 出发可以判定两个三角形全等,利用全
等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或
角的相等。
三、学以致用
1：已知：如图
AB=CB,BC=CD
求证：∠B=∠D
四、智慧冲浪
（ 1 ）如图，点
△ AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是
（只写一个即可，不添加辅助线）
（2）已知如图∠1=∠2，CD∥EF∥AB，AE=CE，求证：
五、挑战自我
作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质?对应边上的
中线，对应边上的高有什么性质？证明你的结论。
六、自我反思
请同学们想一想，通过本节学习，你有什么收获？
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初二全体数学教师
【学习目标】
1、进一步学习掌握等腰三角形的性质和判定。
2、熟悉等腰三角形的性质和判定的证明过程。
3、应用等腰三角形的性质和判定解决相应问题。
【学习重点、难点】几何证明的步骤。
【学习过程】
一、交流与发现
我们利用等腰三角形的轴对称性质，通过对折的方法探索出等腰三角形的性
质：“等腰三角形的两个底角相等。”你能利用基本事实以及已有的定义和定理，
通过推理证明它的真实性吗？与同学交流。
二、自主探究
1、如图：已知：在△
ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C
证明过程自己完成：
由此得出等腰三角形的性质定理
1：等腰三角形的两个底角相等。
2、在上述证明方法中，分别是怎样添加辅助线的？你体会添加辅助线对于
证明上面的结论起到了什么作用？
在上述证明过程中，由△
ACD，还可以进一步推出
∠ADB=∠ADC=90°,因而
不仅是顶角的平分线，也是底边上的中线，还是底
边上的高。
由此得出,等腰三角形的性质定理
等腰三角形底边上的高、中线及顶