在齐次方程组中为什么当系数矩阵的秩r比n小时，方程组的基础解系有（n-r） 个？
作者：林东海
链接：https://www.zhihu.com/question//answer/
相信你不是来看严密证明的，所以我提供一些非常粗浅不够严谨的认识：
先不谈齐次与否。
秩相当于独立的方程个数。初中起我们就知道，一个方程解一个未知数，解两个未知数需要两个方程组成的方程组。如果未知数的个数多于方程的个数，通常会有无穷多个解。现在涉及到自由度的概念。比如方程
x ＋ y ＋ z ＝ 1
这里的自由度是2。你可以任意对三个变量中的两个赋值，但是一旦其中两个变量确定了，第三个变量的值随即固定。如果加上另一个独立的方程，那么自由度就降为1。只要你给任意一个变量赋值，那么另外两个变量的值随即确定。
同理，对于n元方程组，每多一个独立的方程，自由度减1。秩为n时自由度为0，即有确定解（先不考虑无解的极端情况）。秩为小于n的某个自然数r时，自由度为n－r。
下面是我对 自由度 和 空间 这两个概念之间联系的认识：
假设你在原地不能动，那么自由度当然是零。如果你只被允许沿东西两个方向移动，那么自由度就是1（向西走1看作向东走负1）。如果可以沿平面任意方向移动，那自由度就是2（东北方向可看作东和北的组合）。如果可以飞，那自由度就是3。基本上，这个自由度和空间的维数是一样的。
那么，系数阵秩为r即有r个独立的齐次方程，其解空间的自由度为n－r，也就是解空间的维数。自由度不为零说明解不维一（通常是无穷多）。解空间维数有限说明这无穷多个解能用有限个解（基础解系，相当于一般空间的基）线性表出。
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矩阵的特征值求出来以后，怎么得到基础解系呢 求出特征值λ以后，如λ=2，解齐次线性方程组户2E-A)X=0即可解齐次线性方程组一般用初等行变换法
线性代数的基础解系怎么求？？ 方程组 同解变形为4x1-x2-x3 = 0即 x3 = 4x1-x2取 x1 = 0， x2 = 1， 得基础解系 (9, 1, -1)^T;取 x1 = 1， x2 = 0， 得基础解系 (1, 0, 4)^T.
矩阵的基础解系唯一嘛？ 10分是!基础解系不唯一,但是基础解系包含的向量的个数是一定的.方程组Ax＝0,A为m×n矩阵,A的秩r(A)＝r,则基础解系中向量的个数是n－r
大学线性代数矩阵基础解系怎么算出的? 最后这个矩阵，其实就是阶梯型矩阵。阶梯型矩阵的每个非零行的第一个数对应的未知量以外的其他的未知量叫自由未知量。比如这道题里，x2,x3就是自由未知量。取定自由未知量之后，基础解系的求法就是：自由未知量轮流的让其中一个取定一个非零熟，其他的自由未知量取0，代入方程就可以求出方程组的解向量，因为是轮流取的1，所以有几个自由未知量，就求得了几个解向量，这几个解向量构成的向量组就是基础解系。比如这道题，第一次取x2=2,x3=0;第二次取x2=0,x3=1还有，这个非零数取多少其实都无所谓，一般的咱们为了求出来的解向量简单，都让解是整数为目的去选择这个非零数，比如这道题里取x2=2，得到的第一个解向量每个分量都是整数，当然取1,-1，-2,……也都没问题
矩阵特征值的基础解系 怎么求出来的？？如图线性代数矩阵特征值求解
线代，知道基础解系，如何反求矩阵A。 第一问：对A进行列分块,带入两个解等于0，列两个式子（A1 A2 A3 A4)a1=0====》A1+A2+2A3+A4=0（A1 A2 A3 A4)a2=0====》 3A2+A3 =0然后把A1 A2 A3 A4看成未知数组成新的线性方程组，其系数矩阵为下面的1 1 2 10 3 1 0求得解为k1（-7 1 3 0）^T+k2(-1 0 0 1)^T注意到A是2*4,有两个基础解系，因此行满秩，而A1，A2,A3,A4均为2*1，则k1，k2均不能为0的任意实数因此A=第二问：不用求B，因为有共同解，直接设A的通解k1a1+k2a2，B的通解为k3b1+k4b2让通解相等，因为有共同解，表明k1，k2，k3，k4有解，连成关于k1，k2，k3，k4的线性方程组，让方程组有解即可
线性代数怎么求基础解系 横着看x1=0，x2=0，x3的值不确定。可以设为1，或者其他。但一般写最简的1，p2，x1+x3=0，x2+2x3=0，令其中一个为一，上面令x1=1，x3=-1，x2=-2。
系数矩阵如图所示 求基础解系 r(A) =1 ，基础解系的解向量的个数为 3-1 =2令x2=1，x3=0，得x1=-1，α1=(-1，1，0)T令x2=0，x3=1，得x1=1，α2=(1，0，1)T基础解系为，α1，α2newmanhero 日17:17:43希望对你有所帮助，望采纳。
基础解系和通解怎么求啊。。求写下过程。 如图
这个基础解系怎么求 不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。极限部分：极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。以上就是极限这个体系下主要的知识点。导数部分：导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。积分部分：一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定......后使用快捷导航没有帐号？
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关于线性方程组通解的问题
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1、假如含有两个自由变量，（-u-1/2，u，v）能不能算是通解？还是必须写成特解+对应齐次方程通解的形式？
2、自由变量的个数=齐次方程基础解系的个数，对吧？
[ 本帖最后由 sdc2010 于
18:46 编辑 ]
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1，不能算通解，自由变量2个，可是通解中基础解系为啥只有一个？如果因为自由变量是2个的原因，那就是线性相关了么？
2，基础解系中解向量的个数等于每个解向量中自由变量的个数n-r(A)。。出个例子吧，下面是AX=0的矩阵A
1& & 0& & 0& & 3& & 6
0& & 1& & 0& & 8& & 9
0& &&&0& &1& & 5& & 7
0& &&&0& & 0& &0& & 0
这个基础解系是5-3=2个
而这个自由变量2个主元是X1 X2 X3
这这是我个人的看法，本人现在正在看线性方程组这一章，有什么不对的还望见谅
[ 本帖最后由 kaka123w 于
00:32 编辑 ]
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楼上，基础解系就等于解向量自由变量个数，怎么不等呢？详见全书讲解
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刚才把自己给的例子中的自由变量搞错了
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1、非齐次线性方程组的基础解系一定要严格按照标准形式来写，而且个人感觉没必要在这个问题上纠结...
2、自由变量的个数等于解空间中解向量的个数。这是因为我们在给自由变量赋值的时候，通常会选择1、0组合，这个本身是线性无关的，根据向量维数与线性无关性的联系，就可以知道自由向量的个数决定了线性无关的向量的个数，从而也就是解空间中解向量的个数~
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第一个问题越想越糊涂了，好像越想越复杂
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回复 6楼 maoda_1986 的帖子
你看看09真题线代大题的一道题，好像写成u.v比较方便
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回复 8楼 sdc2010 的帖子
噢...你说的是这个问题啊，无非是一个先求基础解系，一个是后求，都一样的
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回复 楼主 sdc2010 的帖子
基础解系被你搞得这么纠结。服了!!!!!!!!!!!!
既然是通解答案肯定不唯一了，只要是对的怎么写都行。
自由变量的个数必须等于齐次基础解系个数
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怎么理解线代中 齐次线性方程组AX=0的基础解系中解向量的个数为n-r
我有更好的答案
可以这样理解，当A满秩，即r(A)=n时显然Ax=0，只有唯一解（零解），基础解系中，解向量个数是0=n-r当A不满秩时，例如：r(A)=n-1时，Ax=0，显然有一个自由变量，因此，基础解系中，解向量个数是1=n-r依此类推，可以发现r(A)+解向量个数=n严格证明，可以利用线性空间的维数定理
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