高等数学二重积分的计算过程里的不定积分_百度知道
高等数学二重积分的计算过程里的不定积分
这个式子是怎么转化的，不定积分学得不太好，第二张图是题目和答案过程
我有更好的答案
这里就是用了定积分的分部积分公式，不过你写的式子中，积分号前面漏了1/6，应当如下图。
采纳率：97%
来自团队：
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。谈谈二重积分计算中的几个问题
积分z {。{。一。。。, 动 寞 蚤墓-号八/卜价 R 置:“”“”““”-Z厂了厂\①”” 。点幸寞意““+L厂竹闭。 ;士摹g‘g 三祟了Z: 莫g皋皋工慕-钟厂阴“八t妒V’ 选择的原则是使计算愈简 比较这两个等式的首末,不难得出这样的结 纂慕署S霉’g s。荔篙裟嚣篡“沪‘“’闲 时也要考虑被积函数的形 因此,除了上面讲到的那几种情况应选 式。一般说来,当积分区 用极坐标系外,其他情况一般均应选用直角 域是圆域或其一部分如扇 坐标系。这就是说,在直角坐标系下来进行 形域、圆环域等,或者区 二重积分的计算是主要的、普通的。 皋g苫慕g墓g。l-。。。-厂皿丫一“,“ 数含有护+沪、J等表达形式时,则应选择在 中D是以原点为中心,以。和2”为半径的二 极坐标系下进行计算。例如,以原点为圆心 间心圆H刀ml卫以.}...&
(本文共4页)
权威出处：
我们知道，计算二重积分，是将其化为计算两次定积分，亦称二次积分或累次积分。能够正确迅速地计算二重积分，关键问题就是化成二次积分，因而，就得掌握一定的技巧和方法。首先，我们来看一下二重积分的表达式：它是由被积函数f（X，y），面积元素伽，积分区域D，三个主要部分构成。其次，为了掌握计算二重积分的决巧和方便起见，介绍如下几个定义、定理：定义1如果积分区域D是由两条连续曲线y＝y1（x）和y＝y2：（x），a≤x≤b，以及两条直线x＝a，x＝b所限制，测称积分区域D为X－型区域。图形如下：定理1在X－型区域上的积分是先对y积分．后对X积分．即定义2如果积分区域T）是由两条连续曲线X—X；（）印X一X。（y），C＜y＜d，以及两条直线罗ZC，y—d所限制，则称积分区域D为Y一型区域。图形如上图右．定理2在Y一型区域上的积分是先对X积分，后对y积分，即定义3如果积分区域D是短形域［a，b，c，dJ（即a＜x＜b，c＜y＜d），则称积分区域...&
(本文共2页)
权威出处：
在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋?1 解 由于积分区域D关于x轴，y轴均对称，被积函数关于x，y均为偶函数，应用（1）再应用（2）有dσ＝4xydσ＝4dxxydy＝，（其中D1为D位于第一象限部分）。 例2 证明（xy＋cosxsiny）dσ＝2cosxsinydσ，其中D是xoy面上以点A（1，1），...&
(本文共2页)
权威出处：
重积分的计算,主要是积分区域的确定。要解决这一问题,既需要有较强的几何直观能力,又需要灵活选择计算公式和方法。其中的方法和技巧学生总觉得难以把握,笔者在教学中总结出重积分计算的若干方法。一、画出积分区域图,选择适当积分次序二重积分是定积分的推广,二重积分计算的基本途径是将其转化为二次定积分计算。二次积分在直角坐标系下可分为两种不同积分次序的积分:其一是先积y后积x的累次积分;其二是先积x后积y的累次积分。因此,计算二重积分对选择积分次序是至关重要的问题。例1:计算D!xyd!,其中D:由y=x-4,y2=2x所围成的区域。解:(1)解方程组y=x-4y2=2"x得交点坐标A(2,-2),B(8,4)(2)画出积分区域D的图形,如图1所示即:D-2≤y≤412y2≤x≤y+%’’’&’’’(4(3)此题可化为先积x后积y的累次积分,即:D!xyd!=-42)dy41+y2y2)xydx=12-42)*yx2+4-+12y y2dy...&
(本文共3页)
权威出处：
高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目,其有自己固有的特点,大纲几乎不变,注重基本知识点的考察,注重学生的综合应用能力,也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点,在解题方面有一定的技巧可循,本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下:(1)画出积分区域D的草图;(2)根据积分区域D以及被积函数的特点确定合适的坐标系;(3)在相应坐标系下确定积分次序,化为二次积分;(4)确定二次积分的上、下限,做定积分运算.但是在历年考试题中,越来越多的题目注重解题技巧的考查,考题经常以下列几种情况出现:1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系minmax,以及绝对值函数,则需要对二重积分进行分区域积分.例1:(2008年试题)计算??D}1,max{dxdyxy,其中yxyx D????(28)}20,20),({.解:积分区域如图1所示:因为???(29)?(28)111}1...&
(本文共2页)
权威出处：
我们知道 ,二重积分实为二重定积分 ,它是把简单定积分的概念直接推广到二元函数的情形。因而 ,二重积分具有与一元函数定积分相类似的性质 ,它的计算也就可归结为求二次定积分 ,即通过化二重积分为累次定积分来计算。本文针对笔者在教学中的一些体会 ,就一些具有对称性的积分区域及被积函数的二重积分的求值方法作些整理 ,以求在计算二重积分时 ,有意识地运用这些方法 ,提高解题技巧。一、若被积函数ｆ(ｘ ,ｙ)在所给定积分区域δ上可积 ,ｆ(ｘ ,ｙ)=ｆ(ｘ ,-ｙ)且δ关于Ｘ轴对称 ,则必有 : δｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ =2
δ1ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ =2
δ2ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ ,其中δ1、δ2 是δ关于Ｘ轴对称的两个部分。图 1分析 :我们知道 ,在几何上 ,可以把二重积分 Ｄｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ看作是以积分区域δ为底 ,以二元函数ｚ =ｆ(ｘ ,ｙ)所表示的连续曲面为顶 ,侧面从δ的边界上竖起来的垂直柱面 ,即所谓曲...&
(本文共3页)
权威出处：
扩展阅读：
CNKI手机学问
有学问，才够权威！
xuewen.cnki.net
出版：《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 大众知识服务
京ICP证040431号&
服务咨询：400-810--9993
订购咨询：400-819-9993
传真：010-&&欢迎来到论文网！
论文网8200余万篇毕业论文、各种论文格式和论文范文以及9千多种期刊杂志的论文征稿及论文投稿信息，是论文写作、论文投稿和论文发表的论文参考网站，也是科研人员论文检测和发表论文的理想平台。。
您当前的位置：&>&&>&
导读:：通过对一道二重积分题的错误解法剖析，发现学生知识掌握的薄弱环节，从而引起数学教学上的足够重视，并着重介绍了相应的正确解答．
论文关键词：二重积分，定积分，极坐标替换
对于积分区域D的形式，其边界曲线由极坐标方程表示比较方便时，我们一般考虑用极坐标变换来计算二重积分的值，其变换过程为：
令，再将积分区域D用极坐标方法表示之，继而用公式: 转换之.
通常地,当积分区域为中心在坐标轴上的圆形或部分圆形域,或是中心在坐标原点的环形或部分环形域,以及被积函数以、、、为中间变量时,用以上方法计算二重积分是比较行之有效.比较常见的例型有教材[1]中的例4至例7.
本人在二重积分教学过程中，曾布置过这样一道作业题．
计算二重积分
从学生所交来的作业答案中，竟发现相当多的学生其解答犯有同样的错误,不妨罗列错误解法如下:
解：作极坐标替换，则在极坐标系中，闭区域D可表示为：
由奇函数在对称区间上定积分的性质，可知：
究其原因，一方面，学生对高中的一个根式的性质：，不够重视，平时经常出现类似的错误：．这也是教材在不定积分的三角替换中，没有作进一步的强调所致定积分，如教材中的例题以及后面的小结,都习惯性的只介绍一种三角代换式，忽视了替换中的条件，如等等，当然学生对这样的书写也习惯成自然了．另一方面，诸如对定积分:
此类的题型缺乏足够的练习，使得对分段函数的定积分一筹莫展．
本题的正确解法和答案应该是：
解法一：作极坐标替换，则积分区域可表示为：
而对于定积分来说，只要作变量替换，令，则：
解法二：根据二重积分的几何意义，以及球面图形关于坐标轴的对称性，有
作极坐标替换，则积分区域D1可表示为：
通过本题的讲解和错误修正，笔者认为平时要对不定积分的三角替换、对对称区间的定积分以及绝对值函数的定积分的教学要引起足够重视，计算时要多注说明这些比较容易出错的地方，举一反三，加强该类题型的练习，例如布置一些如下二重积分的计算题型:
总之,计算被积函数带绝对值号的二重积分,要正确去掉被积函数的绝对值号是个关健,注意被积函数在各子区域上的符号,根据积分区域的可加性质才能正确计算.
参考文献［1］桂德怀．高等应用数学(第二册)[M]．苏州：苏州大学出版社，-81.
[2］张国昌．高等数学(第一册)[M]．苏州：苏州大学出版社，7-138.
［3］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001.
查看相关论文专题：
上一篇论文：
下一篇论文：
相关数学论文
最新数学论文
读者推荐的数学论文
热门：&&&&豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
二重积分的计算方法和技巧
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口弱问一个关于二重积分的变量替换计算问题【微积分吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：29,407贴子：
弱问一个关于二重积分的变量替换计算问题收藏
我们知道像直角坐标可以转为在极坐标下计算，更一般的变量替换后的面积元通过雅可比行列式来联系。我的问题是为什么不能直接代入dx，dy的全微分表示来算变换后的被积函数？比如通过极坐标dxdy=（∂x/∂r*dr+∂x/∂θ*dθ）*（∂y/∂r*dr+∂y/∂θ*dθ）不过这样乘出来会有dr*dr这样的。。。虽然知道这种做法不对，但不知道为什么，哪位能帮忙解答一下？谢谢！
你得首先搞清楚极坐标中的面积元是什么样子
然后你的那个式子表示的是dxdy小矩形单元用极坐标表示是什么样子
dxdy用极坐标来表示的式子并非极坐标中的面积元
无论是极坐标还是直角坐标系都是对自己专门的面积元进行积分
一个是dxdy，一个是rdrdθ
所以再变换的时候不应该去求dxdy的映射而是两种面积元之间的比例即雅克比行列式
谢谢你的回答。还是有点不明白这种方法错误的根源在哪。如果不从面积元的观点来看这个问题，只是把二重积分当成累次积分来计算，而这种变量代换就类似于一元积分中的变量代换，到底哪有问题呢？
这么说吧，重积分中的dxdy表示的是一个面积微元，这个面积微元可以是矩形，三角形，梯形，或者其它任意形状，dxdy只是一个微元符号而已，并非是dx乘以dy的意思。有时候也写作dA。俗话说，消除一个错误的思想就要首先弄明白一个正确的思想。推荐你去看一下雅克比行列式的推导过程或者自己动手推导一下，就是两个边的向量叉乘再取绝对值而已。然后你在看看你的dx乘以dy到底代表什么，你就会发现它没有任何的数学或者物理意义。这里的关键就是重积分的dxdy只是一个符号，并非dx乘以dy的意思。也不是代表一个小矩形，它可以是任意形状的面积微元。
这里不同于一元的变量代换的就是那里，一元就是一个小线段，怎么换都是小线段。
提问之前已经看过雅克比行列式的推导。诚然，dA表示的时候可以是任意形状的划分，但将dx乘dy解释成矩形面积元的面积并没有什么问题啊，我认为这并不是符号而已，只有直角坐标才能这样写，就像极坐标表示里r*dr*dθ（同样是乘）是微元的面积一样。
我的看法是虽然面积元的划分是任意的，但在具体计算的时候总是根据具体坐标系选择方便的划分方式。如在直角坐标系就是用x=常数，y=常数的曲线划分，所以面积元是dx*dy。在极坐标中就是用r=常数，θ=常数的曲线划分，所以面积元是r*dr*dθ。
我的看法是无论是dxdy还是drdθ都是重积分的一个微元符号而已，并没有表示微元的形状，dxdy表示xy空间中的dA,drdθ表示 rθ 空间的中的一个任意微元dA',非不表相乘的关系。所谓的面积元是r*dr*dθ只是由于这种换元方式的特殊性赋予了其具体含义，对一个任意的换元就不一定能找到其对应的含义了，雅克比行列式就是dA和dA'的一个比值而已，这两个是相对应的，dA映射成dA'而已，具体是什么形状无所谓。还有就是“虽然面积元的划分是任意的，但在具体计算的时候总是根据具体坐标系选择方便的划分方式如在直角坐标系就是用x=常数，y=常数的曲线划分，所以面积元是dx*dy。在极坐标中就是用r=常数，θ=常数的曲线划分，所以面积元是r*dr*dθ。
”我感觉欠妥，重积分的计算并不是划分的，其结果是按照微积分的基本定理来的，你如果真划分了，那就算是数值计算了，例如有限元，有限差分什么的，数值计算的确是优先选择比较容易的划分方式。
你具体计算一下一楼你的dx乘以dy到底代表什么，你就会发现它没有任何的数学或者物理意义。它表示的是那个小梯形微元对角线上的亮点的横坐标差乘以纵坐标差。
这个问题，我也有跟楼主有一样的困惑，所以才会跑来挖坟，不知道楼主解决了没有，解决了的话能不能给我解释一下，也真心的邀请各路大神来解释一下，虽然这个问题可能比较幼稚，但我真心想弄明白，麻烦大家了
登录百度帐号