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三角函数比如f(x)=sin(x)是调和函数吗？请帮忙
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定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程&Du=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。就是求二阶偏导之和f(x)=sin(x)求x的二阶导数（因为只有x，不存在偏导之说了）得到=-sinx但是你没有规定区域D，因此不能说f(x)=sin(x)是调和函数相关连接：http://baike.baidu.com/view/158631.htm#1希望对你有用，恳求采纳
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server is ok[转载]DirectX函数学习：球面调和函数Spherical&Harmonic
球面调和函数, 是调和函数的一种.& 满足Laplace
方程的 的函数u称为harmonic function. harmonic
function有一些很特殊的性质 , 于是有了harmonic analysis
这样的的数学分支.
在极坐标系中把拉普拉斯方程表示成极坐标的形式,然后进行分离变量.
在求解方程的时候,会得到一个只和 有关的方程
这个方程称为连带勒让德方程或者关联勒让德方程 – Associated Legendre
Equation . 给这个方程加一些条件,可以得到一些解.
其中有一些就叫勒让德多项式. 勒让德多项式是正交的.
从实变函数和泛函分析的课程可以知道, 在L2空间中,
函数可以展开成关于一组完备的正交函数集, 典型的傅立叶级数就是个例子.
并且展开形式为
其中ci为系数,在傅立叶级数中,这个就是所谓的傅立叶系数,
Bi为正交函数中的一个.其中
.也就是函数在Bi这个基(向量空间中的基)上的投影,
也就是函数空间中的内积运算.
这样可以把任何一个函数都展开成级数.当然这个函数是要满足一定条件的.比如平方可积.
回到球面上来. 构造正交函数系 .
就是前面那个Laplace方程一个解,也就是spherical harmonic.
那个P呢,就是勒让德多项式. 可以验证.是一个正交的函数系.
而且是完备的. 可以把球面上任何一个函数展开成以 为基的级数. 当然,
在球面上的遮挡关系也是可以这样的函数 ,
球面上各个方向的辐射强度也是这个这样的函数,
同样次表面散射的能力也是个这样的函数,
理论上可以把这些函数用spherical harmonic 精确的还原出来.
而只需要记录那个Ci就可以了… 不过Ci是无穷多个. 出在一般的real-time
rendering中,似乎Ci的个数是16 . 这也就是spherical
harmonic光照,不能模拟高频场景的一个原因了.
同时Ci的计算是比较复杂的.&
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。什么是函数?函数分为几种._百度知道
什么是函数?函数分为几种.
什么是函数,函数有几种,如果我从零开始学函数该从那学.本人学历很低.也有好几年没有动过数学了.想学C语言.但怎么也想不通什么是函数什么是变量.我现在基本上除法怎么算都快忘了.但很想知道我这样可以学函数吗.C语言里总提到这些东西.叫我很烦燥,我希望有人可以...
我有更好的答案
函数定义：凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数分类：从应用的场景以及使用者来分的话，有数学类函数和编程类函数。
采纳率：52%
函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function&一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。 直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。 19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。参考资料：中国教育信息网
本回答被提问者采纳
函数 我的理解 就是一种公式这种公式也是一种方法就是说
比如 2+3=5
5是函数返回的结果假如你现在旧知道2和3 套用到函数就可以得到5 这个就是函数 2，3是形式参数 函数 这个就是简单的函数 返回 a+b的直明白了吗？int
jiafa(int a,int b ){return
同样函数 也有没有返回直的比如交换两个数字 这个不需要返回只用函数做交换操作就可以了
你太牛叉了，建议你看完c语言再问问题好不好，我都快崩溃了，居然问编程语言里的函数与数学里的函数c里的函数于数学里的函数是不同的东西c中函数就是方法，处理某一问题的代码段int abc();void bcd(int a){;}等、学这中语言，就像学英语，有自己的语法，规则学好这些规则你就可以写一些简单的程序（就相与同学练习英语口语一样，也能写一般的句子，但要想达到高手层次还需要下苦功）算了，我还是说到这吧，我想你能够不费很大力气就可以看懂的，慢慢看下去，至于你数学不好那没太大关系，语言好也能很快入手、至于变量据个例子int aa就是个变量变量可以被负值例如a=12;其它的不必再说了吧学语言你也知道心浮气躁是不行的努力把，
你说的是C语言函数吧？数学函数就不说了。在C语言中可从不同的角度对函数分类。1. 从函数定义的角度看，函数可分为库函数和用户定义函数两种。(1)库函数
由C系统提供，用户无须定义， 也不必在程序中作类型说明，只需在程序前包含有该函数原型的头文件即可在程序中直接调用。在前面各章的例题中反复用到printf 、 scanf 、 getchar 、putchar、gets、puts、strcat等函数均属此类。(2)用户定义函数
由用户按需要写的函数。对于用户自定义函数， 不仅要在程序中定义函数本身， 而且在主调函数模块中还必须对该被调函数进行类型说明，然后才能使用。2. C语言的函数兼有其它语言中的函数和过程两种功能，从这个角度看，又可把函数分为有返回值函数和无返回值函数两种。(1)有返回值函数
此类函数被调用执行完后将向调用者返回一个执行结果， 称为函数返回值。如数学函数即属于此类函数。 由用户定义的这种要返回函数值的函数，必须在函数定义和函数说明中明确返回值的类型。(2)无返回值函数
此类函数用于完成某项特定的处理任务， 执行完成后不向调用者返回函数值。这类函数类似于其它语言的过程。 由于函数无须返回值，用户在定义此类函数时可指定它的返回为“空类型”， 空类型的说明符为“void”。3. 从主调函数和被调函数之间数据传送的角度看又可分为无参函数和有参函数两种。(1)无参函数
函数定义、函数说明及函数调用中均不带参数。 主调函数和被调函数之间不进行参数传送。 此类函数通常用来完成一组指定的功能，可以返回或不返回函数值。(2)有参函数
也称为带参函数。在函数定义及函数说明时都有参数， 称为形式参数(简称为形参)。在函数调用时也必须给出参数， 称为实际参数(简称为实参)。 进行函数调用时，主调函数将把实参的值传送给形参，供被调函数使用。4. C语言提供了极为丰富的库函数， 这些库函数又可从功能角度作以下分类。(1)字符类型分类函数
用于对字符按ASCII码分类：字母，数字，控制字符，分隔符，大小写字母等。(2)转换函数
用于字符或字符串的转换；在字符量和各类数字量 (整型， 实型等)之间进行转换；在大、小写之间进行转换。(3)目录路径函数
用于文件目录和路径操作。(4)诊断函数
用于内部错误检测。(5)图形函数
用于屏幕管理和各种图形功能。 (6)输入输出函数
用于完成输入输出功能。(7)接口函数
用于与DOS，BIOS和硬件的接口。(8)字符串函数
用于字符串操作和处理。(9)内存管理函数
用于内存管理。(10)数学函数
用于数学函数计算。(11)日期和时间函数
用于日期，时间转换操作。(12)进程控制函数
用于进程管理和控制。(13)其它函数
用于其它各种功能。
以上各类函数不仅数量多，而且有的还需要硬件知识才会使用，因此要想全部掌握则需要一个较长的学习过程。 应首先掌握一些最基本、 最常用的函数，再逐步深入。由于篇幅关系，本书只介绍了很少一部分库函数， 其余部分读者可根据需要查阅有关手册。
还应该指出的是，在C语言中，所有的函数定义，包括主函数main在内，都是平行的。也就是说，在一个函数的函数体内， 不能再定义另一个函数， 即不能嵌套定义。但是函数之间允许相互调用，也允许嵌套调用。习惯上把调用者称为主调函数。 函数还可以自己调用自己，称为递归调用。main 函数是主函数，它可以调用其它函数，而不允许被其它函数调用。 因此，C程序的执行总是从main函数开始， 完成对其它函数的调用后再返回到main函数，最后由main函数结束整个程序。一个C源程序必须有，也只能有一个主函数main。零开始学函数应该从基本的C语言语法学起，扎实基础再说。-------------------------一、局部变量
局部变量也称为内部变量。局部变量是在函数内作定义说明的。其作用域仅限于函数内， 离开该函数后再使用这种变量是非法的。二、全局变量 全局变量也称为外部变量，它是在函数外部定义的变量。 它不属于哪一个函数，它属于一个源程序文件。其作用域是整个源程序。在函数中使用全局变量，一般应作全局变量说明。 只有在函数内经过说明的全局变量才能使用。全局变量的说明符为extern。 但在一个函数之前定义的全局变量，在该函数内使用可不再加以说明。变量的存储方式可分为“静态存储”和“动态存储”两种。
静态存储变量通常是在变量定义时就分定存储单元并一直保持不变， 直至整个程序结束。动态存储变量是在程序执行过程中，使用它时才分配存储单元， 使用完毕立即释放。三、静态变量
静态变量的类型说明符是static。 静态变量当然是属于静态存储方式，但是属于静态存储方式的量不一定就是静态变量， 例如外部变量虽属于静态存储方式，但不一定是静态变量，必须由 static加以定义后才能成为静态外部变量，或称静态全局变量。 对于自动变量，前面已经介绍它属于动态存储方式。 但是也可以用static定义它为静态自动变量，或称静态局部变量，从而成为静态存储方式。由此看来， 一个变量可由static进行再说明，并改变其原有的存储方式。
我只给你说C里的函数吧:在C编程里,函数相当于一个抽水机,我们只管拿它来用,却不一定要知道它是怎么组装出来的,也并不需要知道它的原理是什么,我们只看重的是它能不能抽得出来水.根据上面所说的函数,也就是说当我们调用函数时并不一定需要知道函数究竟是什么,它里面装了什么东西,只需要知道你当前使用的函数能做什么就行了.举例:a = abs(c)其中abs就是一个函数,我们要使用函数,当然函数要有一个名称了,不然我们怎么调用嘛,这个名称abs就叫作函数名.这个函数的作用是取变量c的绝对值,然后把绝对值付值给变量a.我们使用函数abs是只需要知道他是做什么用的,以及怎么用它就行了,至于它的内部对数据进行了怎样的处理,我们大可不必要知道,当然你能够知道更好.呵呵.函数就实际上就是对特定的对象实现某些特定功能的计算机指令.这个特定的对象也就是将要被函数进行运算或者处理的数据,我们称之为函数的输入数据,既然有输入一般地就应该有输出.上面的变量c就是我们的输入数据,a就是保存函数输出的数据的变量.简单看,函数就像一部机器,我们把原材料准备好,并输送给它,它就能按照它自己应该有的功能给我们输出产品来.变量就是一个它的值是可以改变的东西.实际上变量对应的是一块&内存&地址,你就把这块内存地址想象成一块土地,这块土地上我们可以种庄稼,也可以盖房，还可以做能在这块土地上所做的任何事情．这块土地就是一个变量．当然我们不能超出这块土地办事，否则就乱套了，不信你在别人家的客厅修个自己的厕所看看．当然计算机的土地我们认为是内存，而描述内存大小的单位我们叫字节，而变量就是占用计算机内存的一小块土地，这块土地我们假设有4个字节，那个这个变量就只能保存4个字节大小的东西，当然任何东西都可以，只要它的大小是4个字节．如上面的例子：其中a,c是我们定义的变量在c语言中，变量必须先定义了才能使用，就我们要使用土地一样，先写申请．可能定义如下：int a,c;int是表示a,c为整数类别的变量．我们可以给a,或者c付任何整数的值，因为它是变量.比如：a=10;或者a=11都行．我们假设有如下代码int a,c;c = -13;a = abs(c);你知道a的值会为多少吗？a保存的是abs函数返回的结果．随便问问你是哪里的人，太远了，我不能帮你，看你这么想学．
谁说程序员的函数不是数学函数？他们是一种类比的关系数学中f(x)是一个关于x的函数，其中f是法则，在编程中，每一个函数就是一个法则，能让程序怎么样或干什么，这就是函数最通俗的理解对于变量跟数学中的变量有一定区别，举个例子，你要设计一个程序，程序开始出现一个界面，让你输入你的名字，然后一点确定，就出现另一个窗口，说出了你的名字！~试想，这样的程序设计过程中，谁知道你输入的是什么名字，那他们怎么设置弹出窗口的显示那？这就需要变量，把你刚开使的名字输入看作一个变量，然后放入一个箱子，而要弹出显示名字界面时，从箱子里取出变量并显示。从这个通俗的例子中你自己理解变量的含义吧！·说点题外话，你是为了专业学习还是想业余爱好，如果业余爱好的话你可以选择VB6来学习，它上手最快，学习很短的时间就可以写出很实用而且界面非常华丽程序。如果是专业学习，那就可以选择C,在这个流行语言多变的年代，古老的C永远是不会过失，因为它是系统级的语言，优化的非常好的C可以跟汇编的速度差不多了。但是C语言因为是完全面向过程，所以它本身在win32下是没有什么用的，只能是调用外部函数与对象才能有很大作用，但那对水平要求要非常高了，反而不如C++来得容易，因为它面向对象，有很多地方就可以不懂原理而直接使用，所以功能在很多方面要比C实用，但当然，学习C达到深通原理，就无所不能，为汇编语言的学习打下坚实的基础，但是我量力而为所以没有深研C。你跟情况自己选择吧！~QQ我就不留了，有什么问题直接来我的百度博客吧！~点我的名字就进去了！~
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。关于某些调和函数(英文)--《数学研究》2006年02期
关于某些调和函数(英文)
【摘要】：用H表示形如f(z)=h(z)+g(z)的调和函数族,其中h和g是单位圆盘内的解析函数.本文考虑H的三类子族函数.其中的两族为PH(α)=f∶Ref(z)z≥α和NH(α)=f∶Re?f(z)?θ?z≥θα,其中0≤α1和θ=argz.本文得到了函数f属于其中一族的一个充分必要条件,并且获得了一些系数不等式和偏差定理.
【作者单位】：
【分类号】：O174.51
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本帖最后由 xida 于
16:31 编辑
把我之前的问题重新编辑一下：
1. 设 $\mathbb{Z}^2$ 是平面上的整数坐标点组成的格点集合。其上的函数 $f$ 称作是调和的，如果对任何 $(x,y)$ 有
\[f(x,y)=\frac{f(x+1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)+f(x-1,y)}{4}.\]
即 $f$ 满足均值性质。
求证：若 $f$ 是 $\mathbb{Z}^2$ 上的有界调和函数，则 $f$ 必为常数。
2. 我们知道调和满足均值性质，也知道平面上的有界（or 非负）调和函数一定是常数，现在的问题是：如果一个有界连续函数满足对平面上任何一点 $z$ 有
\[ f(z) =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z+e^{i\theta})\mathrm{d}\theta,\]
即 $f$ 在一点的值等于它在以该点为中心的单位圆周上的积分的平均值。问 $f$ 是否一定是常数？
3. 之前有人问过：一个正的在 $\mathbb{R^2\backslash\{0\}}$ 上调和的函数一定是常数。问题可以一般化：假设连续函数 $f$ 在平面的一个区域 $\Omega$ 上是调和的，$\Omega$ 的闭包等整个平面。$f$ 非负（或者有界）。那么 $\Omega$ 满足怎样的条件，就能推出 $f$ 是常数？
这几个问题其实是互相联系的，它们有一个统一的处理方式，这个就是随机游动的理论。这里只是说明这其中的联系，具体解释需要较复杂的知识，需要研究生课程的随机过程作为基础。
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本帖最后由 zzyxunilc 于
15:16 编辑
不太严谨的说下想法.
任给正整数$n$, 设$R_n$是以原点为中心的, 边长为$n$的正方形所围住的所有个点, 正方形边上的点组成的集合称为$R_n$的边界, 记作$\partial R_n$. 显然\[R_1\subset R_2\subset \cdots R_n\subset \cdots .\]
由$f$的调和性质可知$f|_{R_n}$的最大值应在$\partial R_n$上取到. 因此\[\max f|_{R_1}\le \max f|_{R_2}\le \cdots \le \max f|_{R_n}\le \cdots .\]
但$f$有界, 因此上述递增列是稳定的, 即存在正整数$n$使得\[\max f|_{R_n}= \max f|_{R_{n+1}}= \cdots = \max f|_{R_{n+k}}= \cdots .\]
这表明$f$在某个正方形外面的点取值都相等, 再由$f$的调和性质往内计算其余个点的值.
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本帖最后由 morrismodel 于
22:23 编辑
1、存在一个概率空间$(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})$及其上的独立同分布的随机变量序列$\{X_n\}_{n\geq 1}$，使得：
$$\mathbb{P}\{X_n=(1,0)\}=\mathbb{P}\{X_n=(-1,0)\}=\mathbb{P}\{X_n=(0,1)\}=\mathbb{P}\{X_n=(0,-1)\}=\frac{1}{4}.$$
$$S_n:=\sum_{k=1}^{n}X_k,\quad&&Y_n:=f(S_n),\quad\mathscr{F}_n:=\sigma\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}.$$
所给的条件意思就是$Y_n$在所给的流$\mathscr{F}_n$下是一个鞅：
\begin{split}
&\quad\mathbb{E}(Y_n|\mathscr{F}_{n-1})\\
&=\mathbb{E}(f(S_{n-1}+X_n)|\mathscr{F}_{n-1})\\
&=\frac{1}{4}\{f(S_{n-1}+(1,0))+f(S_{n-1}+(-1,0))+f(S_{n-1}+(0,1))+f(S_{n-1}+(0,-1))\}\\
&=f(S_{n-1})=Y_{n-1}.
\end{split}
$$定义停时\tau_y:=\inf\{n\geq 1:S_n=y\}.$$
Polya有个定理是说2维的随机游动是常返的，也即：
$$\mathbb{P}\{\tau_y&\infty\}=1,\forall y\in \mathbb{Z}^2.$$
由$f$有界性可知$Y_n$是一致可积鞅，再由Doob的定理可知：
$$\mathbb{E}Y_{\tau_y}=\mathbb{E}Y_1=f(0).$$
$$而Y_{\tau_y}=f(S_{\tau_y})=f(y)对几乎所有的\omega\in\Omega成立.$$
这就证明了$\forall y\in \mathbb{Z}^2$，$$f(y)=f(0).$$
width:100%">
morrismodel 发表于
1、存在一个概率空间(\Omega,\mathscr{F},\mathbb{P})及其上的独立同分布的随机变量序列\{X_n\}_{n\geq&&...
这样证只适用于 $d=2$ 的情形。
关键是要证明鞅序列的极限几乎处处是个常数。如果是常返链，那自然没有问题，但是当 $d&2$ 时随机游动是暂态的，就不能用了。
补救的办法就是用 Hewitt - Savage 0-1 律，因为格点群是 Abel 群，而随机游动是独立增量的，因此鞅的极限是个置换不变的随机变量，根据 Hewitt-Savage 0-1 律这个域是退化的，从而是个常数。
width:100%">
本帖最后由 morrismodel 于
10:44 编辑
按楼主提示，我把$d\geq 3$证明补下。此时用下0-1律知$Y_\infty$几乎处处是个常数，$Y_n\rightarrow Y_\infty \text{ in } L^2.$，从而$Y_\infty=\mathbb{E}Y_n=f(0)$，从而：
$$\mathbb{E}(f(0)|\mathscr{F}_n)=Y_n.$$
对任何$y\in\mathbb{Z}^d$，存在$n$使得$\{S_n=y\}$的概率大于0，则：
$$\mathbb{E}(f(0);S_n=y)=\mathbb{E}(f(S_n);S_n=y).$$
可得：$f(y)=f(0)$.
width:100%">
morrismodel 发表于
按楼主提示，我把d\geq 3证明补下。此时用下0-1律知Y_\infty几乎处处是个常数，Y_n\rightarrow Y_\inf ...
请问如果f满足f(x)=o(|x|),证明f是常数,也可以这样证明吗?
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