搞机器学习/AI有什么必备的数学基础？| 经验之谈+资源大全
雷刚 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI
本文经AI新媒体量子位（公众号 ID: QbitAI）授权转载，转载请联系出处。
今天是开学第一天！心里只有学习的量子位，发现Hacker News上又有高分话题，而且还跟学习有关！
这次讨论的主题是：
想搞机器学习/AI需要怎样的数学基础，有什么推荐的入门资料/课程？
凡事总须研究，才会明白。看到这个话题，心里只有学习的量子位（×2）仔细看了半夜，这些讨论写着许多字、说了许多话，不过满篇可以分类为三个部分：
独学习不如众学习。量子位就把学后感整理如下，一起遨游知识的海洋吧~
这部分内容的主要贡献者包括：mindcrime、tlb、jules、rocqua、srean、leecarraher、irchans、KirinDave、wadams19、pramalin等
多变量微积分、线性代数、概率论、信息论，这几门必须基础扎实。精通图论也挺有用的。
大部分机器学习是对数据的模型拟合。为了拟合模型，需要把一些误差当成真实参数的函数，并对其进行最小化。最小化的算法基于梯度下降，也就是依赖于导数，这就是一种微积分运算。
如果你在做贝叶斯推理，你也需要用到微积分，因为贝叶斯定律将后验分布作为一个积分。
搞机器学习你只需要微积分1和2，微积分3里的旋度和散度、斯托克斯定理之类的，学物理用得上，机器学习不用这些。另外，你可能还需要一些微积分4中的基本函数分析。
（量子位注：此处微积分1234指的美国大学课程体系）
微积分的本质之一，是反映了事物的变化，对于变化的平顺性提供了一个很好的描述。一个处于最佳状态的系统，在某个确定的点上不再增减变化。
机器学习中的许多问题都是优化问题：在给定一些约束的条件下，怎样选择参数才能让错误最小化？通常这非常困难（NP-hard），但如果你把问题设计为“平滑”，那么就能通过微积分来获得很好的代数解。
多变量微积分也是需要的，在尝试最小化“错误”时，通常会通过每次更改许多、许多参数来实现。这意味着你需要知道如何在高位空间进行平滑变换。
而微积分的中的积分，用来“测量”物体大小。大部分概率是用来描述非常笼统的比例。“这块有多大”的问题类似于“这件事发生的可能性有多大”。解决问题的办法，就是用数量庞大的小块集合在一起，形成一个复杂的整体。
所以从根本上讲，机器学习取决于如何测量一件事（积分）并且知道这件事如何变化（导数）。从某种程度上说，这两件事就是你在微积分中学到的。
我数学背景还不错，但想要搞明白K-L散度时，还得重新研究一下。在机器学习领域，几乎我遇到的信息论问题都是最小化K-L散度，这些看维基百科都能搞懂。你还得能理解具有概率输出的模型，比方生成模型和强化学习等。
如果你要阅读学术期刊，至少下面这些知识点应该懂一点：
统计学核心。你得熟悉统计学家如何处理数据，这常常用到
微积分。你不需要成为解题达人，但得明白多个变量进行微分和积分的过程
线性代数。一切的基础，比统计还重要
数值计算的方法。我不断的查看资料，以搞懂大家为什么那样做
计算理论以及相关研究。熟悉这些能让你发现错误，找到改进的方向
我的下一个挑战是非参数统计。许多研究者跟我说这一领域会得到很多收获，许多方法能极大的改进机器学习
还有人觉得，机器学习中最需要数学的地方，莫过于理解反向传播时。反向传播几乎都是偏导数/链式法则什么的。还有很多机器学习涉及一些微积分的凸优化。
我们得分清“应用”和“研究”之间的区别。并不是每个人都在做最前沿的研究。有人下载一个DL4J，看几个教程，就能搭建一个基本的网络来解决问题，这个过程中也创造了价值。
机器学习虽然还没来到完全不需要关心底层细节的时间节点，但我们确实已经可以合法获取很多现成的工具，而不需要动手推导反向传播的方程式。
讲真，大多数情况下在工作中应用已知的方法，并不要求搞懂背后的数学，只需要了解基本的统计数据和概率论，能解释结果就好了。所以，如果你只是简单的使用别人做好的工具来解决问题，真的不需要什么数学背景。
一个本科生就能学会漂亮的解决问题，而不需要深入研究底层的数学细节，就权当做是工程问题的最佳实践。大多数实际工作中，并不用演算低级别的架构或公式，通常都是从已经选好的框架中，把想用的东西跳出来而已。
另一方面，如果你面临的问题不能用现成的方法搞定，这时候数学背景就派上用场了。如果你想在框架里应用一个全新或者小众的架构，就得搞明白之后才能写出来。
在应用和研究机器学习技术之间，有很大的不同。总的来说，单纯在应用这一端，并没有太多严格的数学背景要求。
需要多少数学，取决于你要在机器学习/AI领域扎多深。
如果只是应付工作，那你走运了，现成就能用的东西原来越多了。例如DataBot、H2O、Scikit-learn、Keras（加TensorFlow）……可能唯一必备的数学技能就是统计学。无论你选择了哪种解决方案，采用了何种自动调整和选择的算法，都得需要一些统计数据才能说明你的模型有效果。
想进一步提升自己，还可以花更多时间学习特征提取、数据工程，好好研究一下上面提到的几个工具包，特别是其中的模型。
如果你想研发新的技术和算法，天空才是你的极限，不过还是得统计数据。
那些已经大量使用的机器学习和AI框架，其实只是顶着一个数学的帽子，你完全可以把它们当成可靠的黑盒系统来用，没必要理解模型的生成过程和设置。很多工具可以告诉你哪些算法对你的数据最有意义，甚至能帮你找出最有效的那种。
虽然这说起来令人沮丧，但真的已经不是非得有博士学位才能干这行了。
不过，即便你能干的事情跟博士科学家差不多，也不意味着有人会雇你。雇主还是会看重数学、计算机科学或相关领域的博士学位。但这些可能更多出于其他方面因素的考量，而不是搞机器学习/AI的必要条件。
了解数学能让你更好的理解工作，减少愚蠢犯错的可能。
上面讲到的工具，建议试试完全自动化的黑盒机器学习管道，比方说TPOT。尽早上手，以及可以推荐给你的产品经理朋友。
TPOT即Tree-based Pipeline Optimization Tool，这是一个基于遗传算法自动选择、优化机器学习模型和参数的工具。通常模型有非常大量的参数需要调整和优化，这类工具可以节省找到最优参数组合的时间。
不过，许多机器学习从业人员对这类自动化机器学习管道非常警惕。如果没有理解这些工具的基本统计/数学假设，可能会遇到很多坑；而这种一刀切的解决方案，也可能会给出误导性的结果。另外使用这类工具，也让解释原因和结果的工作变得更加困难，一个“黑盒子”很难得到价值认同。
TPOT的GitHub地址：https://github.com/rhiever/tpot
到底应该怎么开始学习？
建议一：有两种方法来学习机器学习/AI：1）阅读所有资料，然后开始解决问题 2）先开始解决问题，然后根据需要学习相关的数学知识。第二种方法更好。
建议二：首先在Coursera上看吴恩达机器学习和深度学习的课程。选择你感兴趣的领域和问题。接着阅读机器学习/AI在这一领域如何应用的论文。然后动手重现你已经搞明白并且感兴趣的论文。
建议三：这个学习计划我觉得非常有用，很好的列出了所需课程和时间框架，地址在此：https://www.analyticsvidhya.com/blog/2017/01/the-most-comprehensive-data-science-learning-plan-for-2017/
接下来开始分享资源。先从书籍讲起。
这部分内容的主要贡献者包括：CuriouslyC、rdudekul、kgwgk、charlescearl、ChadyWady等。
我认为最好从David MacKay的《Information Theory, Inference and Learning Algorithms（信息论、推理与学习算法）》入手，内容可能有点老旧了，但仍然是这个领域最平易近人的书籍之一。
在线版本：http://www.inference.org.uk/itprnn/book.pdf
另一本推荐的旧书是E. T. Jaynes的《Probability Theory: the Logic of Science（概率论：科学的逻辑）》。
在线版本http://www.med.mcgill.ca/epidemiology/hanley/bios601/GaussianModel/JaynesProbabilityTheory.pdf
以及Tibshirani的《Elements of Statistical Learning（统计学习元素）》。
在线版本：https://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/
Andrew Gelman的《Bayesian Data Analysis（贝叶斯数据分析）》也很好。
在线版本：http://hbanaszak.mjr.uw.edu.pl/TempTxt/(Chapman%20&%20Hall_CRC%20Texts%20in%20Statistical%20Science)%20Andrew%20Gelman,%20John%20B.%20Carlin,%20Hal%20S.%20Stern,%20David%20B.%20Dunson,%20Aki%20Vehtari,%20Donald%20B.%20Rubin-Bayesian%20Data%20Analysis-Chapman%20and%20Hall_CRC%20(2014).pdf
想了解这个领域最新的额进展，建议阅读Ian Goodfellow和Yoshua Bengio的《Deep Learning》。
在线版本：http://www.deeplearningbook.org/
推荐一本我本科时候用的统计学教材：《Probability & Statistics for Engineers & Scientists》。
在线版本：https://www.amazon.com/Probability-Statistics-Engineers-Scientists-MyStatLab/dp/
再推荐一些网上免费的数学参考书：
在线数学教材汇总http://people.math.gatech.edu/~cain/textbooks/onlinebooks.html
免费数学教材http://www.openculture.com/free-math-textbooks
开放教材图书馆https://open.umn.edu/opentextbooks/SearchResults.aspx?subjectAreaId=7
MIT在线教材https://ocw.mit.edu/courses/online-textbooks/#mathematics
美国数学研究所认证教材https://aimath.org/textbooks/approved-textbooks/
AI是一个非常广阔的领域，每个细分领域都有不同的数学背景要求。掌握所有的数学知识是不可能的，所以你得想清楚对什么感兴趣。
同时推荐一本Russell和Norvig的好书，覆盖了人工智能中很多不同的主题。无论你本科学到了什么，这本书都可以提供了一深入了解AI的良好起点。
这本书是《Artificial Intelligence: A Modern Approach》，中文版名称《人工智能：一种现代方法》。
英文版地址在此：http://aima.cs.berkeley.edu/
另外附送一份Michael I. Jordan之前开出的书单。
地址在此：https://news.ycombinator.com/item?id=1055389
上述在线内容都是合法的。合法的。合法的。
再来就是视频课程汇总。主要贡献者包括：72mena、leecarraher、mindcrime、rdrey等。
YouTube以及Videolectures.net上有很多高质量的数学视频教学内容。
之前提到的David MacKay，合辑在此：http://videolectures.net/david_mackay/
Leonard教授合辑在此：https://www.youtube.com/user/professorleonard57
Gilbert Strang合辑在此：https://www.youtube.com/results?search_query=gilbert+strang
3Blue1Brown合辑在此：https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw
还有画风清奇的Siraj Raval讲人工智能中的数学：https://www.youtube.com/watch?v=xRJCOz3AfYY&list=PL2-dafEMk2A7mu0bSksCGMJEmeddU_H4D
我的建议是，先快速看一遍Jeremy Howard的讲座，这里面有很多机器学习/AI的应用案例，而且只需要一点点的数学背景就能看懂。
地址在此：http://course.fast.ai/
接下来可以去Coursera上吴恩达的新课程，比原来的课程更容易接近，但仍然会有一些方程式让你不知所措，不过你肯定能实现出来。地址在此：
老课程《机器学习》：https://www.coursera.org/learn/machine-learning
新课程《深度学习》：https://www.coursera.org/specializations/deep-learning
再推荐一个统计学课程，德州大学奥斯汀分校统计和数据科学系Michael J. Mahometa主讲的《数据分析基础》。
地址在此：https://courses.edx.org/courses/course-v1:UTAustinX+UT.7.11x+3T2016/course/
小建议，在这个课程中讲师使用了R语言，我觉得还是Python更好。
另外，Coursera上有一系列的统计课程还不错。不过贝叶斯统计这门课有点难，建议买一本书或者补充点其他课外资料。我推荐这本书：《Bayes’ Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis》
亚马逊有售：https://www.amazon.com/Bayes-Rule-Tutorial-Introduction-Bayesian/dp/
想搞机器学习/AI但数学不好的孩子，或者还有？快把这篇发给他。
救救孩子……
二零一七年九月。
责任编辑：
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今日搜狐热点初中数学竞赛教程
出版时间：2009-5&&出版社：浙江大学出版社&&作者：丁保荣&&页数：355&&
人们希望更好、更快、更强，所以就出现了各种竞技活动，像奥林匹克运动会。数学作为锻炼思维的体操，是一门可以充分展现头脑灵活度的学科，理所当然地被选择用来比试人们思维的创新能力，于是乎出现了数学奥林匹克，即数学竞赛。
由于在激发青少年学习数学兴趣，培养刻苦学习精神促进和提高数学教学水平及在发现科技人才，培养科技后备力量中所发挥的巨大作用，数学竞赛如春阳之草、生机勃发，并取得了令人欣慰的成绩。我国自从参加国际数学奥林匹克以来，每年都取得佳绩，始终保持在前几名。中国选手的优异表现为祖国赢得了巨大荣誉。在国内历届中、小学数学竞赛中涌现出来大批优秀青少年选手，他们大部分在以后的学习、科研和生产中崭露头角，取得了骄人的业绩。
在目前数学竞赛的良好发展氛围下，考虑到广大教师和学生的迫切需要，作者按新课本初中数学教材的进度分七、八、九年级编写了这套《初中数学竞赛教程》。题目精选自国内外竞赛卷，编者是多年从事数学竞赛工作的中学高级教师，所编选的题目无论从时效性、实践性、指导性来说都是很好的。
本套丛书根据初中数学竞赛大纲及各年级课本内容，同步分30讲(九年级29讲)、每讲设【赛点扫描】、【赛题解密】、【赛场演练】三个栏目。【赛点扫描】描述了本讲内容的相关赛点，点拨了命题思路，有利于掌握解题方法；【赛题解密】巧妙应用技法，让赛题全面解密；【赛场演练】跳出常规思路，演练竞赛精题。
为了方便读者自学，作者分年级编写了《解题手册》。《竞赛教程》中【赛场演练】栏目的题目只提供简单答案，而在相应的《解题手册》中提供了详细解答。如果将《解题手册》与《竞赛教程》配套使用，收效一定更佳。
第1讲　乘法公式第2讲　因式分解第3讲　因式分解应用第4讲　不等式（组）第5讲　不等式（组）应用第6讲　分式的化简求值第7讲　分式的运算第8讲　含字母系数方程和分式方程第9讲　实数的性质第10讲　二次根式运算第11讲　对称多项式第12讲　函数基本知识第13讲　一次函数第14讲　一次函数与方程、不等式第15讲　反比例函数第16讲　分式函数的最值第17讲　全等三角形第18讲　等腰三角形第19讲　勾股定理第20讲　平行四边形第21讲　梯形第22讲　关于中点的联想第23讲　比例线段第24讲　相似三角形第25讲　面积与面积法第26讲　平移、旋转、对称第27讲　图形的折叠、分割、拼合第28讲　数据分析第29讲　逻辑推理第30讲　数学建模参考答案
《初中数学竞赛教程(8年级)》由浙江大学出版社出版。
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用户评论&(总计80条)
&&&&各个阶段的我的推荐书籍　初级阶段：　奥赛经典系列（湖南师大出版社）　高中数学联赛专题辅导·赛前集训（熊斌，冷岗松著）　冲刺全国高中数学联赛（浙江大学出版社）　中级阶段：　数学奥林匹克大辞典（代数、组合、几何、数论）　数学奥林匹克小丛书系列（华东师大出版社）　奥赛经典系列（湖南师大出版社）　走向 IMO （华东师大出版社）（从 2003 年开始）　奥数教程（高三分册）　高中数学竞赛教程（熊斌，刘诗雄著）　中高级阶段：　数学竞赛研究教程（单遵著）　走向 IMO （华东师大出版社）（从 2003 年开始）　奥数教程（高三分册）　历届 IMO 试题全集　高级阶段：　对不起，我没有到这个水平，你如果到了这个水平可以去请教 任庆春 先生。　提高数学素养：　怎样解题（ G ·波利亚著，上海科技教育出版社，普林斯顿科学文库 7 ）　数学与猜想（第一卷、第二卷）（ [ 美 ] G ·波利亚著，科学出版社）　数学的发现（ [ 美 ] G ·波利亚著，科学出版社）　数学的故事（ [ 美 ] 理查德·曼凯维奇著，海南出版社）
&&&&数学竞赛教程适合孩子适合数学兴趣的培养。排版和书的纸质都不错
&&&&数学竞赛教程适合孩子适合数学兴趣的培养
&&&&针对性强，对数学竞赛帮助很大！
&&&&还好配合初中竞赛手册一起的
&&&&题目难度较大！作为一本优生课余自学，提高数学思维的参考书，还不错！但对于大部分学生而言，可能都难度太大，不适用！
&&&&学校老师要求订的一本书，买回来之后翻了下发现题型比较全，很适合孩子进行竞赛训练
&&&&这本书有很多关于竞赛的奥赛题，很不错的，支持丁保荣！
&&&&很好很实用，对于竞赛有很多帮助
&&&&女儿数学不是太好。里面的数学讲解很详细
&&&&内容编排不错！适合孩子强化学习数学！
&&&&启迪数学思维的一本书。
&&&&非常专业，可有效提高数学知识。
&&&&孩子很喜欢数学
&&&&孩子上数学辅导班，老师指定用书。知识面广。值得推荐
&&&&不错，就是数学的两本题目有重复的。
&&&&书不错，但必须买配套的解题手册
&&&&虽然没有经常看，但是稍微翻了一下题目不是特别难挺适合八年级学生的
&&&&里面好多题都是学校培优时选的，十分有代表性。对于自学提高水平的学生十分适合。对好学生一定会有所帮助。
&&&&值得购买，内容好，优秀的学生对开了思维很有用，我上课用学生很容易明白，而且很有系统性
&&&&真的很喜欢这本书
给孩子很多的启发
能够提升做题思路
孩子说喜欢难题
考试会增加分呢！
&&&&题目有一定的挑战性，这本书的内容丰富，
&&&&这本书很好，为聪明的学生提供了帮助。
&&&&题目比较难，是奥赛类型的
&&&&在图书馆看过,觉得很不错,值得拥有,虽然看起来感觉就是一些题目的大综合.
&&&&不错，非常好，期待通过练习可以提高成绩
&&&&对学习很有帮助，题也不错，建议买。
&&&&很不错的啊，内容挺好，望能出新版，习题附上简要的答案就好了
&&&&书很好内容丰富难度适中适合中等水平上层次练习
&&&&作为一本读物，解答详细，是一本很有用的参考书！
&&&&挺好的，题挺全的。
&&&&此书系统性较强，对孩子的思维有帮助
&&&&题量大，内容丰富，很适合中学生
&&&&书有难度,适合成绩好的人课外练习
&&&&内容紧扣教材，每章节后有巩固习题，适合孩子自学。
&&&&很好，写得很详细，连老师都说很有用
&&&&很好，要是内容在多点就更好了
&&&&买这些书回来为了研究出题，因为早在书店看过这些书，内容非常好才在当当网上买，价格还真是便宜，后续还有很大的需求，陆续陆续还会再买。
&&&&内容齐全，题型分类好！！！！！！！！！！！！！！！！
&&&&质量很好的书，希望对孩子有用
&&&&提高和开拓眼界，是课外的非常好的补充。
&&&&给女儿买的，她很满意。里面净初二的题，还不会做。
&&&&题出的很实用，考试有时都会遇到类似的题
&&&&内容详细，分类清楚，值得一学
&&&&正版，很好，孩子很喜欢，物流快
&&&&物流态度好，书本挺捧。
&&&&我沒有看到，但是女兒說很好*當當網就是俺家的書店*
&&&&好，收货也快
&&&&不错是正版！很实用！好！好！好！
&&&&好书，正在学习。对于我的学习帮助很大。加油！
&&&&儿子还没有看呢，等他考完后自己学习
&&&&例题祥细，就是最好能精减一点，书有点厚，怕没时间看完，本来学习任务就重。
&&&&对初二数学课代表的学生才有用。
&&&&挺好的，对儿子有帮助
&&&&提前买的下学期用，看着评价不错，收到简单翻了翻，满意。
&&&&奥数训练从书，老师要求的。
&&&&觉得很适用，符合要求，太会编书了！
&&&&正是我需要的，满意！
&&&&书内容精典，价格也实惠，很不错！
&&&&内容分得很细，只是每一章节的内容较少。
&&&&直接开始使用了，很不错。
&&&&纸质太差劲，当内用很全面
&&&&正版便宜，好书，孩子喜欢
&&&&这系列书孩子很喜欢看
&&&&买给妹妹的，她说还不错。
&&&&印刷清楚，版本也是新版，不错值得购买。
&&&&是本值得买的书，孩子很喜欢
&&&&书还不错。我儿子有一本，他同学也想学让帮捎带，此书系列已用两年觉得还不错。
&&&&给儿子买的，问了儿子，他说还可以，里面的题有一定的难度！
&&&&实物基本符合广告的介绍
&&&&书的质量和印刷都很好，价格合理。
&&&&不错,用着比较好,内容难度适中
&&&&适合尖子生竞赛辅导用。
&&&&常在亚马逊买书，购买老师推荐的教辅是最适合的。书是正版，也不用担心内容不合适，不像别的书，常常买回来觉得不是想象的内容。
&&&&书挺好的，一般喜欢
&&&&还行，书质量还可以！
&&&&书挺厚的，内容也丰富。买了一整套
&&&&给上初中的侄女买的，她的反应还不错
&&&&努力吧 青少你
&&&&工具书哈
250万本中文图书简介、评论、评分，PDF格式免费下载。
第一图书网(tushu001.com) @ 2017教材完全解读：高中数学（必修1）（人教B版）(王后雄)【电子书籍下载 epub txt pdf doc 】
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书籍出版：
中国青年出版社
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推荐指数：
教材完全解读：高中数学（必修1）（人教B版）《教材完全解读：高中数学（必修1）（人教B）》特点：　　基础教育新课标改革已如火如荼地展开。新课程教材助学助考的开发问题已成为人们关注的焦点。应广大读者的要求，作者特邀来自国家新课程改革试验区和国家级培训班的专家编写课标版《教材完全解读》丛书。该系列丛书能帮助学生掌握新的课程标准，让学生能够按照课程理念和教材学习目标要求科学、高效地学习。该书以“透析全解、双栏对照、服务学生”为宗旨，助您走向成功。　　这套丛书在整体设计上有两个突出的特点：一是双栏对照，对教材全解全析，在学科层次上力求讲深、讲透、讲出特色；另一个就是注重典型案例学习。突出鲜活、典型和示范的特点。　　为了让您更充分地理解《教材完全解读：高中数学必修1（人教B）》的特点，挑战学习的极限，请您在选购和使用《教材完全解读：高中数学必修1（人教B）》时。先阅读《教材完全解读：高中数学必修1（人教B）》的使用方法图示。中国教辅十年畅销品牌，推动学习模式全面升级，《教材完全解读》6大奇迹引发学、考革命。　　国际首创：讲、例、练三位一体对照技术，颠覆传统资料的低效辅导模式！　　同步突破：学习重点、终点、盲点三级递进突破，扫清考试思维盲区！　　考向指引：统计5年学科考点频度，精准揭示考试命题规律和命题形式！　　典例导思：十年磨砺凝聚名师独创解题思维模板，激活学生解题思维！　　考试工具：考试研究专家亲授模式解题技法，教您破题和考场得分秘技！　　核心预测：深度揭示从常规题到考试题的变式过程，让您拥有致胜法宝！我本初中高中系列-原创80g绝密资源 密相关百度网盘资源下载-百度云下载-盘资源
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我本初中高中系列-原创80g绝密资源 密
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