极限思想_百度百科
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的思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种。
极限思想思想介绍
的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、(包括)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是的基本思想，中的一系列重要概念，如函数的连续性、以及等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
极限思想产生发展
极限思想由来
与一切科学的思想方法一样，思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，的就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；人的也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
极限思想发展
思想的进一步发展是与的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初和以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的，并由此引出概念和理论。他意识到概念的重要性，试图以极限概念作为的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连自己也无法摆脱概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着上的重大意义。
极限思想完善
在很长一段时间里，理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，、与罗依里埃等人先后明确地表示必须将作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在的概念上面的。
首先用极限概念给出正确定义的是数学家，他把函数f（x）的导数定义为Δy/Δx的极限f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
试图消除概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，提出了极限的静态的定义，给提供了严格的理论基础。所谓 an=A，就是指：“如果对任何ε&0，总存在自然数N，使得当n&N时，|an－A|&ε”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。
设函数f(x)在点x。的某一内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0&|x-x。|&δ 时，对应的f(x)都满足：
|f(x)-A|&ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
极限思想思维功能
思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，是的在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
“变”与“不变”反映了事物运动变化与两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求的，用方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其，把瞬时速度定义为平均速度的。
曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如所说：“直线和曲线在中终于等同起来了”。善于利用这种关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。的就是从直线形来认识曲线形的典型例子。
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为。
近似与精确是关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷和”、“”、“圆面积”的近似值，取后就可得到相应的精确值。
极限思想现代定义
设函数f(x)在点x。的某一内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0&|x-x。|&δ 时，对应的f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|&ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
极限思想建立概念
的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出、、、的敛散性、的,的敛散性、重积分和与的概念。如：
（1）函数在 点连续的定义，是当的增量时，的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）的敛散性是用部分和的来定义的。
（5）是 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
极限思想解决问题
极限思想方法是乃至全部必不可少的一种重要方法，也是数学分析与的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的确定下来。这就是运用了极限的思想方法。
极限思想存在的疑问
1、根据极限思想，我们可以证明得到1=0.999......
2、因为0.9循环
0.8循环=0.1循环，所以等式两边同时去掉“0”与“.”后有9循环
8循环=1循环。
我们把9循环，8循环和1循环称为循环整数。
我们知道在任何时候0.9循环等于0.9循环，不可能你在做一道题时你前一分钟使用的0.9循环比后一分钟使用 的0.9循环小，有0.9循环的小数位循环与时间没有关系。
循环小数是常数，循环整数是以循环小数为基础得来的，决定了循环整数也是常数，且循环整数不是无穷大的数，因为无穷大是变量，而常数在数轴上有对应的固定点，如果循环整数不是常数，就会反推出循环小数也不是常数，显然循环小数是常数，有循环整数也是常数。
可得9循环的整数位循环与时间没有关系且9循环的整数位个数等于0.9循环的小数位个数。　　设Q=9循环/0.9循环，有Q
9循环=1，得到1
0.9循环=Q/Q
9循环/Q=1/Q。
因为9循环和0.9循环都为大于0的常数，所以Q大于0，且Q为常数。
0.9循环=1/Q
0，且1/Q为常数。
找到了大于0.999...而小于1的常数，如0.999......&0.999......+0.01/9循环&1。
综上，循环整数的引入，导致1
0.999......
0，与极限思想的1=0.999......存在不同的结果。
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首先我们一起来看一个数列S＝1－1＋1－1＋1………到底等于多少？
第一种：S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；
第二种：S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1；
第三种：S = 1 - 1 + 1 - 1 + …，
因此1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S，
即2S = 1，可得到S = 0.5
那么岂非0＝1=0.5？？？
这一矛盾使当时傅立叶等数学家困惑不解，伟大的数学家欧拉也在此犯下了巨大的错误。不难看出，对于这样问题的抛出，当时数学家大脑是一片“混乱”。之所以会造成混乱的主要原因在于当时分析任何一个问题，都容易忽视很多数学概念，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性，特别是极限、无穷的数学思想。
在我国著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”
指一尺的东西今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半总有一半留下，所以永远也取不尽。从这里我们可以看出我国早期对数学无穷的认识水平。
魏晋时期著名数学家刘徽，他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”意思就是说,圆内接正多边形的边数无限增加的时候,它的周长的极限是圆周长,它的面积的极限是圆面积。这段话体现刘徽对数学无穷的认识、极限的数学思想已相当深刻。刘徽正是以“割圆术”为理论基础，得出徽率，同时也是我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，
中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之运用无穷极限思想，得出了圆周率介于3..1415927之间，这一成果至少领先国外上千年的惊人成果。
在国外，最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀（公元前）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”
早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。
认识论说，人的认识一般是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。
佛语：的一花一世界一叶一菩提，一朵花就是一个宇宙。万物渺小或者宏大，微观世界或者宏观世界，都是一个世界。对于生长在花里的细菌来说，哪就是他们的地球。对于生长的地球之外的比我们更宏大的生物来说，我们的地球只是一个皮球。
数学曰：0与1之间看似是有限的数，却蕴含无限。如0.9，还有0.99，以此类推，蕴含无限个数、无穷个数。
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。数学从某种角度上讲是一门研究无限的学科，因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。
无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。
古希腊哲学家亚里士多德认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的是不能达到极点的，但是无限是世界上公认不能达到的。
12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比较接近现代理论化的概念。
英国人沃利斯将8水平置放成"∞"来表示"无穷大"符号，首次在论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中提出。
莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。
无限符号的等式
在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞+1，∞=∞×1。
某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。 符号为+∞，同理负无穷的符号式-∞。
在数学方面，无穷与以下的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金的无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。
在某些领域，无限不是指边界外就没有东西，而是指边界外永远有另一个边界存在，而不是一个数。
如可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0。比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同。
在动漫电影《玩具总动员》中巴斯光年的口头禅：“To infinity and beyond!”(到达无穷，超越无穷)，这句话也可被看作研究大型基数的集合论者的呐喊。
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