2014考研高数大纲要求之微分中值定理有关的证明
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Copyright & 2004- 网　All Rights Reserved　中国科学院研究生院权威支持(北京)　电 话：010-　传 真：010-微分中值定理问题的处理技巧
微分中值定理问题的处理技巧
引言：本文初次创作于2016年底，是本人在大一时写的一篇微信推送，主要是在高数期末考试之前介绍一些与微分中值定理相关的处理技巧。今天将这篇文章发在这里，主要是呼应前一天所发布的专栏（见下面链接），因为本篇文章中有一些内容涉及到证明过程中的配凑技巧。学会这些技巧不仅能够更好地处理这一方面的问题，也可以在总体上锻炼自己的逆向思维，因为这些技巧实际上在其他版块（尤其是微积分）中还是会用到的。（PS：本人暂时没有开通个人公众号，这篇文章当时是在班级公众号上投放；大一的班级公众号现在基本不用了，所以在此不提供其信息。）话说离高数考试已经不足10天了，然而最具有挑战性的东西又似乎是在很久以前……今天我们就关注一个可以“难穿了”的部分——中值定理。我的一位高中同学告诉我，他们书上的中值定理“难穿了”，比如说：某交微积分课本上的一道例题，在此仅作为引子其实我一直有一种感觉，为什么我学中值定理的时候做的题目都没有到这个级别……或许那时我的人生经验积累得还不够。有这么一段时间，我从同学那里收到了不少的中值定理证明题，然后似乎发现了其中的一些共性。一、罗尔定理与辅助函数有这么一类题，给的条件总是那么简单：连续，可导，端点值相等甚至都是0，说不定还会规定一下一阶导或者二阶导。然而要证明的结论却常常是f(ξ)，f’(ξ)甚至f’’(ξ)同时出现的等式，比如f(ξ)+ξf’(ξ)=0，f(ξ)+f’(ξ)-2010=0等等。我们其实都知道这和罗尔定理有关，那个等式应该是某个函数的导数，然而那个函数是什么，往往是题目的难点。我记得我在刚刚做这种题的时候想起的是高中的一些结论：高中数学填空题常用套路其中的道理还是非常显然的，拿右边的函数求一下导数就可以看出来。其实现在的很多中值定理证明题，都是寻求等式左边原函数的过程，只不过f(x)的解析式往往不知道，所以无法通过不定积分来做，所谓的原函数也往往只是f(x)乘上幂函数、指数函数等等。在期中复习时，我归纳了这样的一些构造函数的思路：本人遇到较多或者较经典的凑导数方法我们不难看出，很多题目中的等式非常简单，实际上都是约分的结果，也正是因为有那么些东西从导数表达式中被约去，我们有时候才不知道怎么构造辅助函数。另外也提醒大家注意一下第五个式子的处理，f(x)与f’’(x)之间隔了一个f’(x)，看上去不太好。所以我们的做法是把f’(x)补出来，让这个式子长得更像我们见得多的类型，毕竟f(x)-f’(x)的导数就是f’(x)-f’’(x)。曾经就有这么一道题：这道题就要使用上面的结论。不过，话说回来，既然待证的等式可以有那么多种花样，我们还是要提防一下不常见的辅助函数。这需要我们对微分方程有所了解。我们说，处理上面的这种一元等式h(x,f(x),f’(x),f’’(x)...)=0，实际上就是要把隐含的原函数H(x,f(x),f’(x),f’’(x)...)找出来，而这个过程其实就是解微分方程的过程。比如说，我们要证f(ξ)+ξf’(ξ)=0，那么就相当于解微分方程y+xy’=0。我们可以解得隐函数xy=C，因此要构造的函数就是xf(x)；对于f(ξ)+f’(ξ)-2010=0，我们可以写成y+y’-2010=0，这个微分方程的解是e^(x)*(y-2010)=C，所以要构造的函数就是e^x(f(x)-2010)。这个题目本来前面有一问，证明了有两个满足f(x)=2010的点，所以这个f(ξ)+f’(ξ)-2010=0就可以证明了。由于本人知识水平有限，这个魔性的方法具体为什么是对的，我还暂时不知怎么证明，大家如果有兴趣可以研究一下。嗯，话说我并不知道我们的期末考试会考怎样的中值定理，是划水的还是压箱底的题……总之学习微积分的过程中难免会凑些东西，这一点大家在不定积分中应该很有体会，而以上又是另外一种的凑，像是积分，但是是抽象的、未知解析式的函数……二、中值的神秘性三个中值定理中都有一个叫ξ的东西，它就是所谓的中值。目前来说，我们除了知道中值在中间之外，对它别的性质一无所知。其实也不是高数书作者刻意留一手，而是这个中值究竟是多少，又随着x怎么变化，实在是一件不确定的事情。我们在用泰勒展开的时候可能会犯一个错误，就是在利用拉格朗日余项时会对展开式两边求导，而把那个余项中的f(n+1)(ξ)看成一个常系数，不去管它。这样做一般来说都是不对的，首先是ξ会随着x变化而变化，对x求导就意味着要出现dξ/dx（复合函数求导）；其次，dξ/dx这玩意有没有都是问题，而它究竟是正是负，就更搞不清楚了。所以大家如果做题遇到上述的情况，一定要选择别的方法来解决，而现在的高数题也肯定不会考察ξ的大小与变化情况，毕竟这是一个难说的问题。三、拉格朗日、柯西中值定理与补0柯西中值定理作为拉格朗日中值定理在两个函数上的推广，技巧性无疑强了不少，所以也可以到“难穿了”的程度。因为现在有两个函数了，所以我们一定要想方设法地把式子化成优美的这种形式：柯西中值定理的形式有的时候一个等式里会出现两个参数ξ、η，这个时候就要考虑是不是使用了两次柯西中值定理，甚至还混有拉格朗日中值定理，这当中函数f与g的选取也是非常重要的。当然，函数f与g的选取实际上有时是考虑到能不能补0的问题。中值定理当中有减去f(a)或者g(a)的项，当这些项是0的时候，出题者自然会省去不写，这个时候就看我们能不能把0补出来。最经典的例子就是泰勒展开中的拉格朗日余项，不知大家在高数课上有没有看到过证明，相信大家应该还记得那个补了多少次0，毕竟是一次一次用柯西中值定理得到的余项。这里面最巧的莫过于分母(x-x0)^k可以补0，而这种构造在别的一些问题中其实用得也不少。最后，放上这样一个题目：&来自武忠祥《高等数学辅导讲义》的一道证明题请大家自己思考一下这个问题怎么证明。两次补0，保证搞定。中值定理是一元函数微积分部分最容易出现证明题的内容，因为它的使用非常考验我们对函数的构造（配凑）以及对相关概念的理解。我们做此类问题需要注意的可能还不止以上三点，大家如果觉得需要补充，亦或是我的说法存在不严谨、不清楚，欢迎留言。参考资料：武忠祥《高等数学辅导讲义》，以及各兄弟学校的教材、讲义、试卷若干。
本文禁止转载或摘编微分中值定理的应用方法
做题要在大框架内思考！由于不同的定理功能作用不同，故不同题目类型应用的定理不同。所有题目都是对应定理的一个正向叙述。找到定理，找到函数，找到函数所需要的那些点，而后顺水推舟即可。
纵向题型总结
题型一、求二层中值
故称为二层中值。
会在分子上出现
以上二、三、四、五题型均是由罗尔定理的条件和结论演化而来，分别为最原始型，隐藏源函数型ln法型、隐含源函数公式法型、隐藏含参数源函数公式法型，下面我们就要开始介绍由拉格朗日定力演化的题型了。
看到题型六我很开心，因为出题人是善良的，你看看题型五和题型六是不是很像，差别只不过是字母中值可以分开了。这正好是一个引领我们从罗尔定理无痕过度到拉格朗日定力的一个桥梁啊。我们大可回到前文，看看这两个定力的区别在哪里。我在简单说，罗尔定理条件为闭连开导两函数值相等，结论为开区间内必有一值，使得此值对应导函数值为零。拉格朗日定力条件毕连开导，结论为开区间内必有一点值得过程变化率等于状态变化率。注意拉格朗日定理相比罗尔定理，条件少了，结论多了。而少的和多的都是与f（a）、f(b)有关的东西。定理的本质区别也就是这两道题型的本质区别，当我们发现函数值和中值没有办法分开来的时候，说明他们是一个整体，是一个整体求导之后而的得到的，并且整体剩下的只有零，整体求导数后等于零，这当然是罗尔定理情况。而如果可以分开，这就意味着对应中值那部分函数的源函数求导时候不得零！也就是说剩下的部分就是拉格朗是结论中多出的那部分！所以这是拉格朗日型！这就是区别啊。我们还可以看看这种类型的特点如果不可以分开，和其他罗尔定理习题一样，我们可以找到有关函数值点的信息，这样才能找到等值点应用罗尔定理，而如果可以分开，那么题目就没有函数值点的信息了，因为拉格朗日定力本身的条件不需要等值点。
当然我们知道，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的参数方程形式，即y=f(x)而x=g(t) y=h(t)
当t提取的中值ξ时，等式成立，出于除法特性，我们我们此时必须要强调处于分母地位的函数不等于零。题型六的形式也有可能是柯西式的，但本质一样。
最后就是找到源函数了。注意乘除法方程的导数形式。此题型总结完毕。
η)、f'(ξ)、ξ、η，但是复杂程度不同
这种情况应用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
这种题目待证的等式是针对原函数应用柯西中值定理或者拉格朗日中值定理得到的，而由于原函数是乘函数或者加函数或者乘加函数，加上题目条件，很容易将这种函数减半成为半函数，再对半函数用拉格朗日中值定理即可得到简单形式。总结为找到原函数后向右应用柯西中值定理向左应用拉格朗日中值定理。等号就会成立。这里注意一点，柯西中值定理和朗格朗日中值定理、罗尔中值定理不同，不是整体取到而是分子分母分别取导数。所以这种题的做法是，首先关注复杂中值，找到原函数后向右应用柯西中值定理，得到复杂中值的形式，而后向左应用拉格朗日，找到简单形式中值。
η)、f'(ξ)、等多个中值。但是复杂程度相同。
个点是结题的关键了。
泰勒中值定理有三种形式，条件为“直到n阶可导”时，余项在n-1项后面取，为拉格朗日余项或者皮亚诺余项；条件为“n阶连续可导时”以上两余项都可以，同时也可以将除余项之外的最后一项扩展到n项，再加上一个皮亚诺预想。但是注意，这三种方式中，只有第一种拥有中值。
而泰勒中值定理应用时，一定是伴随着消元的，大多情况是列两个泰勒定理式子，然后加减消元。这里取点是关键，通常x0点取一阶导点或者中点；x取函数值点或者端点。拆分两端点，用同一中点表示，消元很方便。
1．使用零点定理问题的基本格式是“方程f(x)=0（也可能是左右打乱形式）在a,b之间有根”也就是题目中根本没有涉及导数。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间(a,b)内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在[a,b]内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。当题目中出现几个函数值的和的形式时，多使用闭区间连续函数最值定理和介值定理将这三个数取区间内平均值。还要注意一点是，在闭区间连续函数四个定理和微分中值定理四个定理中，只有介值定理的取值是在闭区间上（积分中值定理也是），其余的都是在开区间内取中值。
3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。（1）当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理；（2）当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的；（3）当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明；（4）当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同；（5）使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。&
4．积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理；当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。
5.可导的阶数不同，方法可能不同，
一阶导数的等式成立，一般用中值定理。
二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。
三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。
微分中值定理的条件和结论都是非常精炼的，我们审题的时候更是要小心对比，才能知道只这道题到底使用四个中哪一个定理来证明。我总结了一下蛛丝马迹，我们需要注意。
1、点很重要！某点自变量值a、b；函数值f(a)、f(b)、中点f[0.5(a+b)]
；导数值f'(a)、f'(b)；这些变量在条件中还是在待证式中？大于0，等于0，还是小于0？(一阶导数与二阶导数的解读)
2、函数可导到几阶？一阶？二阶？三阶？n阶？
3、闭区间连续，开区间可导还是某阶连续可导还是没提连续直接就仅仅是某阶可导？
4、所求共有几个中值？f'(η)、f'(ξ)、ξ、η，还是其中哪个？
5、中值等于0还是非零常数、参数？
6、中值的取值范围有没有0？开区间还是闭区间？
7、有没有不得0（要当除数），得0（处于隐身状态、随叫随到）
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1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
复试分数线
如今已进入5月下旬，2017年的考生已经开始了紧张的复习，你是否急需测试一轮复习效果？是否急需对一轮复习进行总结开启二轮复习规划？是否对自身实力心存疑虑，又想冲击名校？为了帮助各位考生，特在跨考教育上市周年庆时期，推出，6月8日&11日，权威测评、补弱培优、扫除盲点，
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