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【转载】【数学】三角函数的无穷乘积以及伽玛、黎曼函数相关
对数学感兴趣的可以看一下
1.三角函数函数的无穷乘积。 2.一道经典例题，求zeta(2)的值。 3.zeta(2k)的一种求法。 4.一类级数的求和，类似的可得一些其他的级数。 5.一些级数和，大多是由上面的(双曲)三角函数的级数取特殊值得到。 6.伽马函数的无穷乘积。 7.余元公式的简单证明。
1.(双曲)三角函数函数的无穷乘积，tan x,th x之类的由
sin x ,sh x 等等 乘除可得。 --------------------------------------------------------------
2.一道例题，求zeta(2)的值。 --------------------------------------------------------------
啊，不行了，我要去补脑
3.zeta(2k)的一种求法，还有一些别的有趣的方法，大家可以试一试. --------------------------------------------------------------
4.一类级数的求和，类似的可得一些其他的级数。 --------------------------------------------------------------
5.一些级数和，大多是由上面的(双曲)三角函数的级数取特殊值得到。 --------------------------------------------------------------
6.伽马函数的无穷乘积。 --------------------------------------------------------------
7.余元公式的简单证明。 --------------------------------------------------------------
文科生表示数学公式就是高级鸟文
大脑负荷.....
看看欧拉是怎样解决巴塞尔问题的，即求zeta(2)的值--------------------------------------------------------------π^2/6：关于巴塞尔问题的若干思考 　　数学界气象万千，浩如烟海，装比如我会自夸懂得很多，真正的高手却会说自己懂得很少。　　这绝非自负的谦逊，可怜的数学家仅在阐述一个无奈的事实。据2006年1月美国数学会通报期刊的统计，存在于世界数学资料库中的论文和书籍已超过140万份，而且这个数字正以每年七万五千篇论文的速度飞速增长。　　几百万份文章有精华也有糟粕，无人拥有足够精力去细读每篇文章，披阅十载，去芜存菁。随着信息时代的来临，数学各大体系均出现重大突破。每个领域都得到壮大完善，与此同时，不同领域间的隔阂也日渐加深。五十年前，数学史的天空中曾划过名为诺依曼的璀璨流星，而如今想找一个兼通拓扑学和数论的专家都很困难了。　　我们对数学并不陌生，于绝大多数人，数学是一段挥之不去的痛苦记忆。记得人生第一堂数学课上，老师曾用小高斯等差级数求和的故事激励我们。十二年后，所有人都丧失了对数学的倾慕。数学蜕变成一个纹满希腊字符的怪物，冗长的公式令人昏昏欲睡，莫名其妙的问题令自己对智商产生怀疑。数学变味了，我们为答题而答题，它只不过是一门必修课，一项成绩，一道通往高等学府的门槛。　　于是有人抨击数学，说它是象牙塔中的产物，脱离现实，不可捉摸。一切数学公式都构筑在不加定义的公理上，以有限数量的公理进行更高层次的分析论断。譬如我问，什么是点？什么是线？什么是面？什么是整数？你一定瞠目以对，因为完全抽象的定义没有任何实体依托，某些基础概念是无法用现实中的物质来比喻描述的。　　在务实主义炮火猛烈轰击下，数论自然而然成了第一位殉道者。数论是研究整数性质的数学分支，理应归入纯理论范畴。在普通人眼里，数论学家就是一群研究1+1的深度近视宅男，漫无目的地观察奇怪的数字，参求更加古怪的结论。数论学的成败兴衰与人类发展有一毛钱干系吗？　　　高斯却对数论情有独钟。他曾这样赞扬那片晦涩幽暗的国度，“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。”与其它自然科学一样，数论学起源于上古时期，它的诞生意味着人类文明在不断向有序化迈进。没有“数”的概念，原始社会便不能以物易物，因为贸易双方无法进行等价交换。没有“数”的概念，原始部落便不能确保丰收，因为耕者无法周密预测四季的更迭。两河流域文明对人类最重大的贡献就是编制了第一部完整的历法，使万千农民掌握到汛期的规律。　　人类渴望秩序。我们希望用一套亘古不变的铁律来解释一切自然现象，然而人作为一个生命个体实在是太微不足道了。面对广袤的天空，无垠的原野，深不见底的海洋，瞬息万变的大自然，人类浅薄的逻辑显得无比苍白。倘若连世间万物的规律都摸不清，人类拿什么去主宰世界？　　古人通过语法规划语言，制订历法来计算时间，颁布律法以惩恶扬善。这都属于我们祖先力所能及的范围。然而在科学落后的环境里，古代思想家只能对万物的特性展开大胆猜测。东西文明都试图对世界本源进行分类归纳，譬如道家的阴阳五行说，米利都派的四元素说，以及留基伯—德谟克利特学派的雏形原子论。　　数论学突然有了腾挪的空间。数学家不再推敲一个苹果加两个苹果是否等于三个苹果，而是将注意力移向宇宙的物质本原，例如一个土元素加两个风元素会产生什么？他们想知道人类能否建立一套严谨的数学体系，并用该模型定义、推导、演绎乃至预测整个宇宙的任何现象。激情澎湃的数论学者答曰：一定可以。假如宇宙是一串串公理的结合体，那么人类必然能从公理的性质中窥得宇宙的奥义。数学的特质是形而上的，但它所追寻的目标却与周围的世界息息相关。　　我曾为本文题目犯愁。一篇合格的数论探讨需要经典例证，可是数论例证大多玄奥难懂。往往国人对数论的第一反应是哥德巴赫猜想——陈景润的大名已然深深烙在每个炎黄子孙的脑海里。很惭愧，我连哥德巴赫猜想最起码的定义都不了解，只好忐忑地选择了巴塞尔问题。这道难题曾困扰欧洲启蒙时代（）数学家长达半个世纪之久，它的延伸问题——黎曼猜想——至今未被攻破。　　巴塞尔问题首先由皮耶特罗•门戈利在1644年提出。门戈利，意大利（17世纪的意大利还只是若干城邦的地域联盟）博洛尼亚市人，数学教授，业余牧师。他首先证明调和级数具有发散性，即调和级数本身趋于无穷大。　　（西元1644年，大明崇祯十七年，闯王李自成率众攻入北京。在欧洲思想大爆发，西方国家纷纷觉醒时，中国依然在沉睡。）　　以下为调和级数的标准定义：
　　我们的任务是对这个无穷数列求和。很明显，该问题已经超脱小高斯（10岁）的知识范围，相信他乍一看也会束手无策。本题难在无穷，我们不可以用计算器相加几千项就公布答案——它的解必须概括无穷数列的全部项值。　　无穷是个很可怕的概念，有人说恒河沙数是无穷的，有人说宇宙的重量是无穷大的，这些观点都很荒谬。根据天文学家估算，可观测宇宙的总质量为8×10^52 公斤，一个惊人的大数，但不是无穷。　　数论题就是如此让人生厌，它极易叙述，却极难证明。数论家寻觅的不是单一数字解，而是数字背后潜藏的规律。数学家要探索的规律必须满足无穷个因子，无穷种情况。这下连大容量计算机都无济于事，因为每次运算后仍会剩余无穷个未经验证的数值，没人敢保证未验证的数字中不会出现一个例外。　　门戈利毫不气馁，他果断使用了数论三大利器之一的夹逼法（又称夹挤法）。　　简单地说，夹逼法需要三组函数，其中一组是所求函数本身，另外两组是与所求函数数值相近并可轻易计算的函数，一组较大，一组较小。如此便形成了一个不等式：较小函数≤所求函数≤较大函数，以此为切入点，步步紧逼。两组函数宛如一条渐渐收紧的铁箍，随着三组函数接近无穷极限，夹在中央所求函数的浮动空间将不断被挤小，直到三组函数值完全相等，所得到的数值即为所求函数的数值。　　　有点晕？举个简单的例子：假设有三个孩子，分别叫s、b、叶开。已知s的智商小于等于叶开的智商，b的智商大于等于叶开的智商。经过一系列严谨的论证，发现s的智商为50，b的智商为50，通过上述夹逼定理，s≤叶开≤b，叶开的智商必须在sb之间，即50。　　门戈利是如此设定不等式的：　　夹逼一端是正无穷，另一端是上面那个古怪的对数函数。该函数的展开式为：　　显而易见，1/3加1/4大于1/4加1/4，1/5加至***于4个1/8的总和。这个不等式对无穷项数中的每一项都成立。通过简单运算：
　　以上项数和等于正无穷。最终夹逼不等式为正无穷≤调和级数和≤正无穷，故调和级数之和为正无穷，调和函数具有发散性，证毕。　　门戈利巧妙证明了调和级数的发散性，却不幸在另一道题上碰壁。他穷毕生之力也没找到答案，无奈之下只得在数学期刊上求助。门戈利的两个晚辈——荷兰数学家、物理学家丹尼尔•伯努利（流体力学巨匠），德国数学家、哲学家莱布尼兹（曾与牛顿独立发明微积分）——也尝试解开这个谜团，但他们都失败了。　　九十年后（1735年），年仅二十八岁的莱昂哈德•欧拉用天马行空的推导方法解决了这道难题。巴塞尔问题就是以欧拉的故乡，瑞士名城巴塞尔命名的。　　巴塞尔问题是精确计算所有平方数的倒数之和，也就是以下级数的和： 　　用通俗易懂的形式表达，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 +…. 直至无穷，等于几？　　将前几项相加后，我们发现这个数值在不断增长，可它的增长速率比调和级数慢的多。通过门戈利的启发，我们首先去判定该数列是否发散或收敛。如果发散，数列和自动等于无穷。如果收敛就棘手了，除了证明还要设法计算它的和。　　其实第一步并不困难，依然运用夹逼定理，关键在于寻找一个比以上数列大且便于计算的函数，譬如1/(n^2-n)。函数1/(n^2-n)的每一项数值都大于等于1/n^2，若能证明1/(n^2-n)是收敛的，那么1/n^2亦须为收敛数列。　　　由此可见，所有平方数的倒数之和是一个常数，并且小于2。　　丹尼尔•伯努利是欧拉的导师，二人同在俄国圣彼得堡科学院任教，他在求解失败后将该题告诉了欧拉。开明女沙皇叶卡捷琳娜一世去世后，固步自封的俄罗斯贵族提议驱逐所有外籍教授。1733年春，伯努利迫于形势离开俄国，欧拉则留了下来，继续埋头研究问世不久的幂级数展开式。欧拉对幂级数展开有着几近癫狂的热忱，过度劳累使他染上眼疾，终致右目失明。欧拉并未就此放弃数学研究，在成功描述自然对数e^x与正弦函数sin(x)的泰勒展开后，他又将目光投向了巴塞尔问题。　　欧拉的解题思路将他的数学天分体现得淋漓尽致。小时候，数学老师常会灌输一些固定的解题常规，仿佛每一道题只有一种解法。所谓的解题思路逐渐成为一种习惯，异彩纷呈的数学题也慢慢退化成机械的联想题。例如计算cos36°- cos72°，勤奋的学生会立即默写出半角公式、倍角公式，继而展开复杂的转换运算。此类计算看似精彩，却会将学生锁入思辨的囹圄。三角函数只是数学的一小部分，真正的数学家并不需要掌握每一处细节（翻下数学手册即可）。他所需要掌握的是三角函数与其它数学科属的共同性征。换句话说，既然数学是人类对感性自然的理性诠释，那么人类在解构自然的同时务须虑及各个质体间的互动互感。同理，一名称职的数学家决不能沉醉于某一孤立的系统，他必须意识到数学各门的同一性，做到窥一斑而见全豹，见微知著，睹始知终。　　“终于做了这个决定，别人怎么说我不理，只要你也一样的肯定，我愿意天涯海角都随你去。”《勇气》不但演绎着凡人的爱，更倾诉着欧拉对数学的情怀。在欧拉眼中，公式并非死板的运算工具，它们是有灵魂的群体，每个数字都是跳动的音节，每个等式（或不等式）都是绵绵的乐章。宇宙是感性的，多姿多彩的；作为现实世界的投影，拘泥严谨的数学女神也会揭开神秘的面纱，伴着不可捉摸的旋律婆娑起舞。有了这种坚定的信念，欧拉方能集诸子之大成，融会贯通，驾驭数学而不被数学驾驭。　　回到巴塞尔问题：欧拉的突破在于将有限多项式的观察推广到无穷级数，指出相同函数性质对于无穷级数也是成立的。什么意思？它意味着欧拉试图让风马牛不相及的两个数学领域水**融，并设法证明两者是完全相等的。它简直比证明一个苹果全等于三个橘子还要荒谬。然而欧拉做到了，而且做得异常完美。　　欧拉也是人，他根本无法预测这个方法能否一举成功。事实上由于结果十分诡异，欧拉悄悄计算了级数的部分且验证多次后才鼓足勇气，将答案公诸于众。欧拉通过荒谬的推理得出正确的结果，而我们只能通过荒谬的推理得出更荒谬的答案，这就是天才与凡夫的区别。　　欧拉的攻势从正弦函数的麦克劳林展开开始。麦克劳林级数是泰勒级数的特殊情况，学过微积分的朋友应该很熟悉下面的展开式：　
　　两边各除以x，得出：　　根据基本定义，多项式sin(x)/x的根出现在x = nπ点，其中n = ±1，±2，±3……。也就是说，当x等于±π，±2π……时，以上等式得0。此时欧拉提出大胆假设，将三角函数sin(x)/x视为无穷个线性因子的乘积，就像把多项式因式分解一样：　　理论上这个假定是不成立的，因为三角函数并不具备多项式的性质。然而事实上呢？两个展开式的常数项均为1，为立论提供些许依据。将这个乘积展开，并把所有x^2的项收集一起，我们惊奇地发现，sin(x)的二次项系数为：　从sin(x)/x最先的麦克劳林级数展开中可以看出，x^2的系数是-1/3! = -1/6。根据定理，两个相等多项展开式中每项次幂系数必须完全相等。如此，挂在x^2前面的两个系数必须等同，即　等式两边各乘以-π^2，轻松得出所有平方数的倒数之和，即巴塞尔问题的最终答案：　　这个数值约等于1.645，准确值为π^2/6。欧拉于1735年给出准确值，于1741给出更加严谨的证明。一百二十余年后，德国数学家波恩哈德•黎曼在论文中总结了欧拉的发现，并严密定义了该类函数（黎曼ζ函数）的表达方式及基本的同相特征。平方数倒数之和的表达式被简化为ζ(2)，2代表2次幂，即整数的平方。　　π^2/6，一个令人难以置信的数字。结果揭晓前，没有谁会想到平方数倒数之和竟能用圆周率π表达。圆周率一直是纯几何概念，黎曼ζ函数则隶属数论空间，两个迥然相异的学科通过一场无意的邂逅紧密相连。由于答案实在不可思议，我才会不厌其烦地分步证明，由一系列连续推理得到唯一的、必然的结果：π^2/6。无序的数列竟会叠加出有序的和，这一发现仿佛在暗示世人，数学是同一的，宇宙是有迹可循的，光怪陆离的表象下隐藏着某些最基础的核心定律。数学与自然科学相辅相成，它们的终点同为解构缭乱的上层建筑，于混沌中探察秩序，于喧嚣中求索真知。通过假设得出可重复可验证的结论，这一点数学也与自然科学殊途同归。　　谈到自然科学，不少读者会忍不住反驳：你整的抽象玩意与我何干？推理固然精妙，可它有物质基础吗？答案是肯定的。调和数列ζ(1)与平方数倒数数列ζ(2)均为黎曼ζ函数群的成员，而黎曼ζ函数是物理学家研究宇宙天体的重要工具。斯特藩－玻尔兹曼定律利用黎曼函数ζ(4)估测黑体表面辐射衍生的总能量，玻色－爱因斯坦凝聚定律利用ζ(3/2)函数计算波色子原子的临界温度。若上述例子晦涩的令人发指，那么调和数列ζ(1)直接决定管弦乐器所发出的声音以及镜湖的縠纹消长……　　觉悟吧，切勿被数学冷漠的伪装所迷惑！它本身是充满活力，潇洒不羁的。我们要鼓励创意，发掘潜在的灵动与飘逸。任何人为的拘囿只会扼杀灵感，当数学堕落到思辨和穷举的恶性循环中时，它势必在沉默中死亡。　　从严格意义上讲，数学世界没有错误的思路，只有境界与眼界的高低。反观小高斯的故事，得到5050的答案并不重要。高斯的故事给予我们启发，它告诉我们同一项任务有无数种解决方式，解法无分对错，区别仅在于效率的优化。业余登山者喜欢峰顶傲睨天下的成就感，职业登山者却更留恋攀援的过程。解题好比登山，无数求知者沿着无数条路线向相同的终点前进，有些是死路，有些是康庄大道，有些蜿蜒曲折，更有些会在绝境中骤然柳暗花明。数学便是那座高山，在不同位置会观赏到不同的景色，随着观察者的开拓变得时而高大时而渺小。绝顶的风光固好，也只不过是万千视角之一。　　数学是人类观察宇宙的窗口，请不要让它在浮躁的岁月里积满尘埃。
下定决心朝远方前行了！
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，手指不够用啊
^_^辛苦了。。
怎么感觉这些证明的跳跃性那么强呢，也不知道怎么就蹦到下一步了。遗漏步骤怎么能看的懂。
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三角函数的无穷乘积sinx的形式推导cosx?如何利用正弦函数的无穷乘积:sin(x)=x∏(n=1…∞)[1-x2/n2π2],推导cosx的无穷乘积形式
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证明出来这玩意管什么用?能当饭吃,还是高考的时候能加分?考试又不会去考你如何证明,所以啊只要记住了去运用才最实在哟再给你来几个吧,放在一起比较方便记.（一）正弦函数的无穷乘积：sin(x)=xΠ(n=1…∞)[1-x2/n2π2]（二）余切函数的分式级数：cot(x)=Σ(n=-∞…∞)[1/(x-nπ)]=1/x+Σ(n=1…∞)[(2x)/(x2-n2π2)]（三）余弦函数的无穷乘积：cos(x)=Π(n=-∞…∞)[1-x/(n-1/2)π]=Π(n=1…∞)[1-4x2/(2n-1)2π2]（四）正切函数的分式级数：tan(x)=Σ(n=-∞…∞)(-1)/[x-(n-1/2)π]=Σ(n=1…∞)[(-2x)/[x2-(n-1/2)2π2]（五）正切函数的无穷乘积：tan(x)=xΠ(n=1…∞)[1-4x2/n2π2](-1)^n（六）余割函数的分式级数：1/sin(x)=Σ(n=-∞…∞)[(-1)n/(x-nπ)]
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数学竞赛中的三角函数问题
维普资讯 http://www.cqvip.com２ ０ ０ ４ 年第 １ ４ ， １ ６ 期　数 学 通 讯　８ ３ 　数 学竞赛中的三 角函数 问题　王合义 　（ 萧县寿楼中学 ， 安徽 ２ ３ ５ ２ ０ ０ ） 　赵 小云 　（ 杭州师院数学系， 浙江 ３ １ ０ ０ ３ ６ ） 　三角函数是高 中数学 的基 本内容， 是一类重要　 的基本初等 函数 ． 它所涉及的知识面十分广阔 ， 内容　 丰富多彩并具有一 系列美妙 的性 质， 这些性质在数　 学及物理、 工程等领域都有广泛的应用． 本文将讨论　 数学竞赛中的三角函数及其恒等变形问题 ． 　１ 三角函数的性质及其应用 　（ Ｄ ） Ｃ Ｓ（ Ｏ 口 ＋口 ） ＜ｓ ｉ ｎ ｇ ＋ｓ ｉ ｎ ８ ． 　例２ 　 设 ａ＞１ ， ａ ， ０均为实数 ， 试求 当 ０变化　时， 函数　例 １ 设 ａ ， 卢 ， ｒ ￣ Ｉ Ｘ Ｎ （ ｏ ， 号 ） 内 ， 且 满 足 ｃ Ｏ Ｓ ａ 　＝口 ， ｓ ｉ ｎ （ ｃ ｏ ｓ ８ ） ＝ 　， ｃ ｓ（ ｏ ｓ ｉ ｎ ７ ） ＝ｙ ， 试 比较 口 ， 　， ７的　大小． 　， （ 口 ） ＝ 　 ＿ ± 　 譬 　 的 最 小 值 ． 　 解 　 ） ＝ 　 等　 （ － ＋ ｓ ｉ ｎ 　 ） ＋ 　 （ ＝ 　 等 ＋ ｎ ＋ ２ ． 　＝令１ ＋ｓ ｉ ｎ ０ ＝ｚ， 由于 一１ ≤ｓ ｉ ｎ 口 ≤１ ， １ ＋ｓ ｉ ｎ ０ ￣０ ， 　 故０ ＜ｚ ≤２ ． 再令　 ＝１ ＋ ｓ ｉ ｎ 口 ＋ 　＝ 　 ＋ 　 ＞０， 　， 则　解若 卢 ≥ ａ ， 由 余 弦 函 数 在 （ ０ ， 号 ） 的 单 调 性 　可知 　 ０ ＜ｃ ｓＳ ｏ － ＜ｃ － ． ｓ口 ｏ ＝口 ＜５ － 　 ． 　 口 ＝ｓ ｉ ｎ （ ｃ ｏ ｓ ８ ） ＜ｃ ｓ８ ｏ ≤Ｃ Ｏ Ｓ Ｇ ＝口 ． 　变形得　 ｚ 。 一ｙ ｘ＋３ （ ｎ一 １ ） ＝０ 　（ １ ） 　记　ｇ（ ｚ ） ＝ｚ 。 一ｙ ｘ＋３ （ ａ一１ ） ， 贝 Ｕ 　 ｇ （ ｚ） 是开　这与假设矛盾 ， 故有 口 ＜ａ ． 　口 向 上 的 抛 物 线 ， 其 对 称 轴 为 ｚ 　 考 ， 且 有 　 （ ０ ） ＝ 　３ （ ａ一１ ） ＞０ （ 注意 ａ ＞１ ） ． 因此 ， 当且仅 当 　若 ｙ ≤ ａ ， 再 由 余 弦 函 数 在 （ ０ ， 号 ） 的 单 调 性 及 　不等式　０ ＜ｓ ｉ ｎ ７ ＜ｙ ≤口 ＜ 　 ， 　ｊ ０ ＜ 芋 ≤ ２ ， 　ｌ △ ： 　 ２ ― １ ２ （ ｎ 一 １ ） ≥ ０ 　或　可得 ｙ ＝ ｃ ｏ ｓ （ ｓ ｉ ｎ ｙ ） ＞ｃ ｓ７ ｏ ≥Ｃ Ｏ Ｓ Ｇ ＝口 。 　ｊ 芋 ＞ ２ ， 　由 　这与假设 ｙ ≤ａ矛盾 ， 因而 ｙ ＞ａ ． 　 综上， 我们有　 ＜口 ＜ｙ ． 　【 ｇ （ ２ ） ： 一 ２ 　 ＋ ３ ｎ ＋ １ ≤ ０ 　时， 方程（ １ ） 在（ ０ ， ２ ］ 内至少有一实根． 　例 １ 中 ， 我 们 充 分 利 用 了 余 弦 函 数 在 （ ０ ， 　 ｝ ） 的 　单调性 ， 三角函数都不是其定义域上的单调 函数 ， 但　 可以将其定义域分为一 系列 的单 调区间， 利用三角 　 函数在各个单调 区间上 的变化规律 可以解决许多　ｊ 。 ＜ 考 ≤ ２ ， 　【 △ ： 　 ２ ― １ ２ （ ｎ 一 １ ） ≥ ０ ． 　≤　 ≤４ ． 　解得 ２、 　由 　问题 ． 　Ｊ 芋 ＞ ２ ， 　【 ｇ （ ２ ） ： 一 ２ 　 ＋ ３ ｎ ＋ １ ≤ ０ ， 　＞４ 且　≥　 ． 　思 考 题 １若 ａ ， 卢 ∈ （ ０ ， 号 ） ， 则 必 有 　（ 　） 　（ Ａ） ｃ ｓ（ ｏ ａ＋ 口 ） ＞Ｃ Ｏ Ｓ Ｇ＋ｃ ｓ８ ｏ ． 　 （ Ｂ ） Ｃ Ｏ Ｓ （ 口 ＋口 ） ＜Ｃ ＳＧ＋ Ｏ ｃ Ｓ８ Ｏ ． 　 （ Ｃ ） Ｃ Ｓ（ Ｏ 口 ＋口 ） ＞ ｓ ｉ ｎ ｇ ＋ｓ ｉ ｎ ８ ． 　解得　再 由 ２ 　 ｖ ／ Ｔ （ ａ － １ ） ＜ ￣ ４ 得 １ ＜ ｎ ≤ 号 ． 而 当 ｎ ＞ 　 号 时 ， 　 ＞ ４ ， 故 当 １ ＜ ｎ ≤ 了 ７ 时 ， 　 有 最 小 值 　维普资讯 http://www.cqvip.com８ ４ 　数 学 通 讯　２ ０ ０ ４ 年第 １ ４ ， １ ６ 期　ｒ ｓ ｉ ｎ ＂ ０ ｃ ｏ ｓ ｌ＋ ｆ ｃ ￣０ ＂ ｓ ｉ ｎ １ ｆ ） 　２ 、 ／ ， 　； 当ｎ ＞ 了 ７时， 　有最小值　　 ．＝＝ｓ ｉ ｎ 　 （ 口 ＋口 ） ． 　综上， 当１ ＜ｎ ≤ ÷ 时， ， （ ０ ） 有最小值 　２ 　 ｖ 厂 　＝ 　＋ ｎ ＋ ２ ； 当ｎ ＞ ÷时， 厂 （ ０ ） 有最小 值 　＋ ｎ ＋２－ 　 ． 　思 考 题 ４ 化 简 ｝ 　萎 　 ｛ 　． 　例４ 求ｓ ｉ ｎ ２ １ ０ 。 ＋ｃ ｏ ｓ ２ ４ ０ 。 ＋ｓ ｉ ｎ ｌ Ｏ 　 ｃ ｏ ｓ ４ ０ 　 的值． 　 分析 １ 我们侧重 于角来考虑 ， 设法化成同角或　 者特殊角． 由于 ４ ０ 　 ＝３ ０ 。 ＋１ ０ 。 ， 故可 化为 ３ ０ 。 和１ ０ 。 　的三角函数． 　解法 １ 　ｓ ｉ ｎ 　 １ ０ 。 ＋Ｃ Ｏ Ｓ 　 ４ ０ 。 ＋ｓ ｉ ｎ ｌ Ｏ 　 ｃ ｓ ｏ ４ ０ 。 　这里， 我们利用正弦 函数 的有界 性将求最小值　 的问题化归为讨论二次函数的有关问题来解决． 　利用三角 函数 的有 界性， 可以用来解决某些三　角函数 的最值和证明某些三角不等式的问题． 　思考题 ２ 　 已知函数 Ｙ＝ｃ ｏ ｓ ２ ｚ＋ ２ ｐ ｓ ｉ ｎ ｘ 　 ｑ的　 值域为［ ７ ， １ ０ ］ ， 试求 Ｐ， ｑ之值 ． 　 思考题 ３ 对所有的实数 ｚ， Ｙ ， 有不等式　Ｃ Ｏ Ｓ ． Ｚ ＂ 　 ＋ｃ ｏ ｓ ｙ 　 一ｃ ｏ ｓ ｉ ｙ ＜３成立 ． 　＝ｓ ｉ ｎ ２ １ ０ 。 ＋Ｃ ｓ ｏ 　 （ ３ ０ 　 ＋１ ０ 。 ） ＋ｓ ｉ ｎ ｌ Ｏ 　 ｃ ｓ（ ｏ ３ ０ 　 ＋１ ０ 。 ） 　ｎ ｓ ｉ ｎ 　 １ 　寻 ｃ ｏ ｓ 　 １ ０ ＋ ｌ ｓ ｉ ｎ ２ １ ０ 　 譬 ｃ 　。 ｓ ｉ ｎ １ ０ 　 ＋ 　 譬 ｓ ｉ ｎ １ ０ 　 ｃ 。 ｓ １ ０ 　１ 　 ｓ ｍ ２ 　 １ ０ 。 　÷ （ ｓ ｉ ｎ ２ １ ０ 。 ＋ ｃ ｓ Ｏ ２ １ ０ 　号 ． 　分析 ２ 　 我们再从侧重运算形式来考虑． 该式　２ 三角式的化简和求值　三角式的化简和求 值是三角变换的基 础． 一般　 说来 ， 角变换是三 角变换的 主线 ， 侧重于 函数的有　 “ 化杂为弦” ， “ 化为互 为倒数的函数 ” ， “ 化异 名为 同 　可 看作１ ２ ２ ＋口 ６ ＋ ｂ ２ ＝ 掣 ， 即原 式＝ 　ｓ 　 ｉ ｎ ３ 　 １ 　 ０ ￣ ＝ － 　 ｃ ｓ　 ｏ ３ ４ ０ ＂，而 ｓ ｉ ｎ 　 １ ０ 　 ， ｃ ｏ ｓ 　 １ ０ 。 可 利用 公式： 　名” 等等 ， 侧重于运算的有“ 弦函数升降幂” ， “ 和积互　 化” 以及纯代数运算的各种变换 ． 　例３ 　 化简 ｓ ｉ ｎ 　 口 ＋ｓ ｉ ｎ 　 卢 ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｃ ｓ（ ｏ 口 ＋ 　） ． 　 分析 １ 　 注意到式中有三种角： ａ ， 卢 ， ａ＋ 　， 我　 ｓ ｉ ｎ ３ ａ ＝３ ｓ ｉ ｎ ＂一４ ０ ｓ ｉ ｎ 　 口 ， ｃ ｏ ｓ ３ ＂＝４ ０ ｃ ｓ　 ｏ 口一３ ｃ ｓ０ ｏ ＂来 降　幂 ． 即ｓ ｉ ｎ ３ ＂ ０ ＝－ （ ３ ｓ ｉ ｎ ａ ― ｓ ． ｎ ３ ａ ） ， ｃ ｏ Ｓ ３ ａ ＝ 丢 （ ３ ｃ ｏ ｓ ａ 　＋ｃ ｏ ｓ ３ ＂ ０ ） ． 于 是　锯法 ２ 　们可考虑将前两项降幂并化积成 ａ ±口 ， 后一项 中的　ｓ ｉ ｎ ＂ ０ ｓ ｉ ｎ ｌ可 由积化和差造出ａ±口 ｆ ， 以尽量造成同角 ， 　于是便有下面的解法 １ ： 　 解法 １ 　 原式 ＝ － （ １ 一ｃ ｓ２ Ｏ ａ ） 　 １（ １ 一ｃ ｓ２ ｏ １ ｆ ） 　一ｌ（ ３ ｓ ｉ ｎ ｌ Ｏ ＊ 　ｓ ｉ ４ ０ ＂ ｎ ３ ０ ＊ 　 －３ ｃ 　 ￣，－ｃ ｓ１ ｏ ２ ０ ＂ ） 　原式 ： ―： 　――一丽ｒ４ 　［ Ｃ Ｏ Ｓ （ 口 ＋卢 ） 一Ｃ Ｏ Ｓ （ 口 一卢 ） ］ Ｃ Ｏ Ｓ （ 口 ＋ 　） 　思考题 ５ 　（ １ ９ ９ １ 年全国高中数学联赛试题） 求　ｃ ｏ ｓ ２ １ ０ 。 ＋ ｃ ｏ ｓ ２ ５ ０ 　 一 ｓ ｉ ｎ ４ ０ ￣ ｓ ｉ ｎ ８ ０ 。 的值． 　＝１ 一 Ｃ Ｏ Ｓ （ 口 　／ ３ ） ｃ ｓ（ ｏ 口 一卢 ） 一Ｃ Ｓ Ｏ 　 （ 口＋ 　） ＋Ｃ Ｓ（ Ｏ 口＋ 　 卢 ） ? Ｃ Ｏ Ｓ （ 口 一卢 ） 　 ＝ ｓ ｉ ｎ 　 （ 口 ＋口 ） ． 　３ 三角等式和不等式的证明 　 三角等式的证明分恒等式与条件等式的证 明两　 大类型 ． 证明过程一般是将 等式 较繁 的一边通过化　分析 ２ 　 也可以考虑将角都化为 ａ ， 口 ， 这 只须　 将Ｃ Ｏ Ｓ （ ａ ＋ 　） 展开（ 化复角为单角 ） ， 然后再进一步化　简， 于是又有　 解法 ２ 　 原 式 ＝ｓ ｉ ｎ 　 口＋ｓ ｉ ｎ 　 口＋２ ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ 　 （ Ｃ Ｓ￣ Ｏ Ｃ Ｏ Ｓ ｌ ｆ ― ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ １ ｆ ） 　简后等于另一边 ． 如果等式左右两边都很繁杂时， 则 　将左右两边分别化简为同一式子 ． 　例５ 　 证明： 　ｉ 　１＋ Ｃ Ｏ Ｓ ＂ ０ 　――－ ―一 ． 　ｓ ｉ 　 ｎ ２ 　 ａ 　＼ Ｓ ｌ ｎ口 十 Ｃ ０ Ｓ ａ ― ｌ， Ｉ 　 Ｓ Ｉ ｎａ ― Ｃ ０Ｓ ａ十 １） 　＝ ｓ ｉ ｎ 　 口 ＋ｓ ｉ ｎ 　 卢 ＋２ ｓ ｉ ｎ 口 ｓ ｉ ｎ 卢 ｃ ０ ｓ 口 ｃ ｏ ｓ 卢 一 ２ ｓ ｉ ｎ 　 ａ ｓ ｉ ｎ 　 ：ｓ ｉ ｎ 　 口（ １一 ｓ ｉ ｎ 　 卢） ＋ ｓ ｉ ｎ 　 口（ １一 ｓ ｉ ｎ 　 口）＋ 　证明 　 左边 。 　ｓ ｉ 　 ｎ ２ 　 ＂ ０ 　２ ｓ ｉ ｎ ａ ｃ Ｓａ Ｏ ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｃ ｓｆ ｏ ｌ 　＝ ｓ ｉ ｎ 　 ＂ ０ Ｃ Ｏ Ｓ ２ 　＋２ ｓ ｉ ｎ ａ ｃ ｓａ ｏ ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｃ ｓｆ ｏ ｌ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ０ ， Ｃ Ｓ Ｏ 　 口 　： 　ｓ ｌ ｎ。 ａ― ｃ ｏ 　 ａ十 Ｚ ｃ ｏ ｓ ａ一 １ 　曼 　 曼 Ｑ 曼 坚 　 １―２ ｃ ｓ　 ｏ 口＋ ２ ｃ ｏ ｓ 口一 １ 　维普资讯 http://www.cqvip.com２ ０ ０ ４ 年第 １ ４ ， １ ６ 期　数 学 通 讯　５＋ ｔ ａ ｎ 　 口＋４ ｃ ｏ ｔ ２ａ 　８ ５ 　２ ｓ ｉ ｎ ａ 　 Ｃ Ｏ Ｓ ｄ 　ｓ ｉ ｎ口 　＝― ２ ｃ ｓａ ｏ （ １ ― － ｃ ｓａ ｏ ） 　 ＝５ ＋（ ｔ ａ ｎ 口 一 ２ ｃ ｏ ｔ 口 ） 　 ＋４ ｔ ａ ｎ ? ｃ ｏ ｔ ａ 　ｌ＋ ｃ￣： ―ａ＿：右边． 　＝≥５ ＋４ ＝９ 　（ ２ ） 　思考题 ６ 　 证明 　 ｔ 口 ａｎ　旦ｔ ａｎ　 　 口 　 ｓ ｉ ｎ　 口　 ． 　一　ｓｉ ｎａ　若 （ １ ） 等 号 成 立 ， 则ｓ ｉ ｎ ２ ｌ ｆ ＝ １ ， 即 卢 　 詈． 　若（ ２ ） 等号成立 ， 则ｔ ａ ｎ ａ ＝２ ｃ ｏ ｔ ａ ， 即ｔ ａ ｎ 　 口 ＝２ ， 　故 口 ＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 　 ． 　例 ６ 已知 ｓ ｉ ｎ （ ２ ａ ＋口 ） ＝５ ｓ ｉ ｎ １ ｆ ． 　求证 ： ３ ｔ ａ ｎ ａ ＝２ ｔ ａ ｎ （ 口 ＋口 ） ． 　 思路分析 ： 容易发现 ， 结论 中的角度 ａ ， ａ＋口与　 条件 中的角度 Ｊ ８ ， ２ ａ ＋Ｊ ８ 有关系式 Ｊ ８ ＝（ ａ ＋Ｊ ９ ） 一ａ ， 　 ２ ａ ＋Ｉ ９ ＝（ ａ ＋ｌ ９ ） ＋ｌ ９ ， 因此对 条件变形时应考虑先将　 条件中的角度变换为结论中所要的角度． 　证明　 由已知 ｓ ｉ ｎ （ ２ ａ ＋口 ） ＝５ ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ， 得　所 以 ， 当 卢 ＝ 詈， ａ 　ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ √ 乏 时 ， 原 不 等 式 等 号 　成立． 　由例 ７的证 明可 以看到 ， 在三角不等式的证明　 过程中， 一般要对 已知或求证的不等式作各种巧妙　ｓ ｉ ｎ ［ （ 口 ＋卢 ） ＋口 ］ ：５ ｓ ｉ ｎ ［ （ 口 ＋卢 ） 一口 ］ ， 于是　ｓ ｉ ｎ （ 口 ＋ｆ １ ） ｃ ｓ￣＋Ｃ ｏ Ｏ Ｓ （ 口 ＋ｆ １ ） ｓ ｉ ｎ ａ 　＝的三角变换和代数变形 ， 具有很 大的灵活性和技巧　性． 　５ ｓ ｉ ｎ （ 口＋ 口 ） Ｃ Ｏ Ｓ Ｃ ￣ 一 ５ ｃ Ｓ（ Ｏ 口 ＋ｆ １ ） ｓ ｉ ｎ ａ ， 　思考题 ８ 　证 明： （ ｓ ｉ ｎ 　 ａ＋Ｃ Ｓ Ｃ 　 口 ） （ ｃ ｏ Ｓ ２ 口 ＋ｓ ｅ ｅ 　 口 ） 　整理得３ ｃ ｏ ｓ （ ａ ＋ｆ １ ） ｓ ｉ ｎ ａ ＝２ ｓ ｉ ｎ （ ａ ＋ｆ １ ） ｃ Ｓａ Ｏ ． 　≥ 孕 ， 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 ． 　例 ８ 在ＡＡ Ｂ Ｃ中， 证明 ： ｎ 　 ＋ｂ 　 ＋ｃ 　 ＞ ／４ 　 Ｓ， 　 其中 Ｓ为ＡＡ Ｂ Ｃ的面积． 　再由 题设 可知 　ａ ＋ 卢 与ａ 均 不等于 　＋ 詈（ 　∈Ｚ ） ， 故Ｃ Ｏ Ｓ （ ａ ＋口 ） 与∞ ｓ ａ 均不为零 ， 所以有　三 　 ！ 　 旦 ２ 　 ： 　 （ 　± 　２ １ 塑 　Ｃ Ｏ Ｓ （ ｃ ｔ ＋ｆ １ ） ｃ Ｓａ Ｏ 　 Ｃ Ｓ（ Ｏ ｄ ＋口 ） ｃ Ｓａ’ Ｏ 　即 ３ ｔ ａ ｎ ａ ＝２ ｔ ａ ｎ （ 口 ＋口 ） ． 　证明：口 　 ＋ｂ 　 ＋ｃ 　 一 ４ √ ｊ Ｓ 　（ ６ 　 ＋ Ｃ ２ ― ２ ｂ ｃ ｃ 。 ｓ Ａ） ＋ ６ ２ ＋ｃ ２ ― ４ √ ｊ ． 　ｓ ｉ ｎ Ａ　注　 三角条件等式的证明 ， 关键在于分析条件， 　 结论的组成元素与解析式 的特征 ， 争取综合 、 分析 同 　 时并用 的思维方法 ， 一方面将 条件进行变换 ， 发掘条　 件所提供的信息； 另一方面从结论进行分析 ， 以探索　条件与结论的内在联系， 从而寻得证明的途径 ． 　 思考题 ７ 设 ａ ， 卢 ， ａ ＋卢 ∈（ ０ ， ７ ｃ ） ， 且　。 　 Ｓｌ ｎ　＝２ （ ｂ 　 ＋ｃ 　 ） 一２ ｂ ｃ （ √ ｊ ｓ ｉ ｎ Ａ＋ｃ ＳＡ） Ｏ 　＝２ （ ｂ 　 ＋ｃ 　 ） 一４ ｂ ｃ ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 ） 　≥２ （ ｂ 　 ＋ｃ 　 ） 一４ ｂ ｃ ＝２ （ ｂ―ｃ ） 　 １ｏ ＞ ． 　注 例８ 就是著名的魏森伯克不等式 ． 　思考题 ９ 　 在ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， 证明 ： 口 ６＋６ ｃ ＋ｃ ａ ≥　ｐ 　 ＋ｃ Ｓ Ｏ．ＳＩ ｎ口　４ 　 Ｓ ， 其 中 Ｓ为ＡＡ Ｂ Ｃ之面积． 　思考题答案和提示　＝ ２ ， 证明： 口 ＋ 卢 ＝ ÷． 　三角不等式是一类富有特色的不等式． 　１ ． （ Ｂ ） ．２ ． Ｐ ＝ １ 一 　， ｑ ＝ ５ ＋ ２ √ ｊ 或Ｐ ＝一 １ ＋ 　 √ ｊ ， ｑ ＝ ５ ＋ ２ 　 ． 　３ ． 提示： 利用余弦函数的有界性． 　４． ｔ ａ ｎ ４ ａ￣例 ７设 ０ ＜ ｄ ＜ 号 ， ０ ＜ Ｐ ＜ Ｔ 　 ， 证 明 ： 　’４ － 　１ 　≥９， 　５ ． 　 ３．６ ． 略７ ． 略． ８ ． 略． ９ ． 提　并指出等号成立的条件． 　证明 　 左边　 ＋＿　 ４ｃ ｏ Ｓ － ａ 　 ｓ ｉ ｎ 　 口 　 ｓ ｉ ｎ 　 ２ 　示 ： 　。 　＝ ２ （ 、 　 Ｓ 上 ｌ ｎ Ａ ＋ ｓ 　 ｉ ｎ ／ ５ ＋ ｓ 　 ｉ ｎ 　 ／ 　２ × ｓ 一 　＞ ４ 　 ｉ．　≥　ｃ ０ 　＋ 　ｓ ｉ ｎ ＂ ａ 　（ １ ） 　＝Ｉ ＋ｔ ａ ｎ 　 口 ＋４ （ １ ＋∞ｔ ２ 口 ） 　（ 收稿 日期： ２ ０ ０ ４― ０ ５ ― ０ １ ） 　
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