<meta name="description" content="秩定理(rank theorem)是指映射的微分秩性质的一个定理，该定理断言：设V与W分别是n维与m维Ck流形.f：V→W是一个Ck映射，且在每个点a∈V处df的秩是一个与a无关的整数r，则存在a与f(a)的区图(U，φ)与(U′，φ′)，使得φ′°f°φ-1|φ(V)是映射(x?，x?，…，xn)(x?，x?，…，xr，0，…，0)。...">
秩定理_百度百科
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秩定理(rank theorem)是指映射的微分秩性质的一个定理，该定理断言：设V与W分别是n维与m维Ck流形.f：V→W是一个Ck映射，且在每个点a∈V处df的秩是一个与a无关的整数r，则存在a与f(a)的区图(U，φ)与(U′，φ′)，使得φ′°f°φ-1|φ(V)是映射(x?，x?，…，xn)(x?，x?，…，xr，0，…，0)
秩定理基本介绍
秩定理是有关的秩的一个定理，设f是从Rm的区域A到R的区域B的连续可微函数，在每个x∈A处雅可比矩阵f′(x)的秩均为r，r≤m，r&n，则对每个x∈A，存在x的邻域U?A，使点y∈f(U)的某n-r个坐标是另r个坐标的可微函数.例如：设m=2，n=3，F(u，v)=(x，y，z)=(f(u，v)，g(u，v)，h(u，v))，(u，v)∈A，F连续可微，(x0，y0，z0)=(f(u0，v0)，g(u0，v0)，h(u0，v0))。若在(u0，v0)处，F的雅可比矩阵
的秩为2，并且有
则在包含(u0，v0)的某个区域上
上述雅可比(Jacobi)矩阵的秩为2。由秩定理，在(x0，y0，z0)的某邻域内，F(A)中点的坐标(x，y，z)可表示为形如z=φ(x，y)。这就是说，以参数式x=f(u，v)，y=g(u，v)，z=h(u，v)表示的曲面，在对应于使
的秩为2的(u0，v0)的曲面上的点(x0，y0，z0)附近，可以用z=φ(x，y)表示
秩定理相关概念及介绍
定义 设U是Rm的开子集f:U→R?为C∞映射，映射f的Jacobi矩阵在点x∈U的秩称为映射f在x点的秩，若对每个x∈W(?U)，f的秩均为r，则称f在W上的秩为r。
作映射f和一个微分同胚的复合，由于微分同胚有非奇异的Jacobi矩阵，根据链规则定理，这个复合映射的秩等于映射f的秩
定理1 （秩定理） 设G、H分别是Rm，Rn中的开集f:G→H是C∞映射，且f在G上的秩等于r，如果点x∈G，y=f(x)∈H，则存在x,y的开邻域G0?G，H0?H及Rm，Rn中的开集U、V和C∞同胚
具有下述简单形式
注 秩定理告诉我们的是在定理1的条件下，即
在G上的秩恒为某个常数r，则f在G上每点x的附近可通过局部C∞同胚简单表示为Rm中的点在前r个坐标构成的r维坐标面上的投影。
推论 可用以下方式选取U和V：
到Rk的投影，i表示Rk到
的单射，则在情况(i)，(ii)中，
上的恒同映射
数学辞海编辑委员会．数学辞海·第三卷：中国科学技术出版社，2002.08
数学辞海编辑委员会．数学辞海·第一卷：中国科学技术出版社，2002.08
白正国等（编著）．黎曼几何初步
修订版：高等教育出版社，2004.12：第13页
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柯西-利普希茨定理 局部定理：设E为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：其中U为E中的一个开集，I是中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，那么对于任一给定的初始条件：?，其中?、，微分方程（1）存在一个解?，其中??是一个包含??的区间，?是一个从?射到??的函数，满足初始条件和微分方程（1）。局部唯一性：在包含点的足够小的区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（）时，下一刻的情况是唯一确定的。局部定理的证明：一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列，使得，这样，如果这个序列有一个收敛点??，那么为函数的不动点，这时就有，于是我们构造出了一个解。为此，我们从常数函数开始。令这样构造出来的函数列中的每个函数都满足初始条件。并且由于??在??中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。最大解定理：局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解、，定义一个序关系：小于当且仅当?，并且在上的值与一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。证明思路：解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。扩展至高阶常微分方程：对于一元的高阶常微分方程，只需构造向量和相应的映射，就可以使得（2）变为。这时的初始条件为，即柯西中值定理 内容：如果函数及满足在闭区间上连续；在开区间内可导，对任意，那么在内至少有一点使等式成立。其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦证明：首先，如果，由罗尔定理，存在一点使得，与条件3矛盾。所以。令。那么在上连续，在上可导，。由罗尔定理，存在一点使得。即。命题得证。可靠性定理 定义：可靠性定理（或健全性）是数理逻辑的最基本结果。它们有关于某个形式逻辑语言与这个语言的形式演绎系统的特定语义理论。可靠性定理有两种主要变体：弱可靠性的和强可靠性的。“强”与“弱”的意义在于，强可靠性考虑句子的任意集合，而与弱可靠性有关的句子的空集是这种集合之一。大多数但不是全部演绎系统，强可靠性和弱可靠性都成立。论证可靠性：逻辑论证可靠当且仅当论证有效。所有前提皆已被证实为真。弱可靠性定理：演绎系统的弱可靠性定理声称，在这个演绎系统中任何可证明的句子，在所有释义或这个理论所基于的语言的语义理论的模型上为真。用符号表示，这里的S是演绎系统，而L是语言和一起的它的语义理论，而P是L的句子：若，则。强可靠性定理：演绎系统的强可靠性定理声称，演绎系统所基于的语言的任何句子P，可以从这个语言的一个句子集合Γ推导出来，则它也是这个集合Γ的语义推论，在使Γ的所有成员为真的任何模型也使P为真的意义上。用符号表示，这里的Γ是L句子的一个集合：若,则。与完备性定理的联系：可靠性定理的逆命题是语义完备性定理。在强形式下，它声称对于一个演绎系统和语义理论，是一个句子集合的语义推论的任何句子可以在这个演绎系统中从这个集合推导出来。（在一阶完备性定理的情况下常叫做哥德尔完备性定理。）用符号表示：若，则。非形式的，演绎系统的可靠性定理告诉我们用这个演绎系统可以推导或证明的任何东西都是你希望能够推导或证明的东西。因此，没有你不想推导出的东西可以被推导出来。所以，推导关于语义可以被信任。完备性告诉我们你希望能被推导或证明的所有东西都可以被推导出来。哥德尔第一不完备定理保证对于有充分表达力的语言，可能没有演绎系统关于经典语义是完备的，在其中所有句子是要么为真要么为假。因此，不是所有可靠的演绎系统都是完备的。而可靠性一般被认为是对有价值的演绎系统根本上的最小要求。这是因为如果演绎系统是不可靠的，在这个系统中可以被推导或证明的一个句子不告诉我们关于这个句子的语义性质的任何事情。克莱姆法则 定义：克莱姆法则（Cramer's rule，或“克拉玛公式”）是一个线性代数中的定理，它用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在计算上，它不是最有效率的，所以在很多条等式的情况中没有被广泛应用
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52页14页14页13页20页15页42页19页11页30页最近看数字图像处理的论文，用到了卷积定理：
f(x,y)*h(x,y)&=&F(u,v)H(u,v)
f(x,y)h(x,y)&=&F(u,v)*H(u,v)
一直验证不成功。在网上找到了答案。
a=[1,2;3,4];
b=[5,6;7,8];
c = conv2(a,b)
d = ifft2(fft2(a).*fft2(b))
之前自己一直验证不正确的错误在于两个地方，第一是将矩阵点乘做成了矩阵乘。第二是没有对矩阵做扩充。a(4,4)=0;
图像处理中的数学原理详解17——卷积定理及其证明
没有更多推荐了，发布于 07/25 10:03
CAP 定理的含义
分布式系统（distributed system）正变得越来越重要，大型网站几乎都是分布式的。
分布式系统的最大难点，就是各个节点的状态如何同步。CAP 定理是这方面的基本定理，也是理解分布式系统的起点。
本文介绍该定理。它其实很好懂，而且是显而易见的。下面的内容主要参考了 Michael Whittaker 的。
一、分布式系统的三个指标
1998年，加州大学的计算机科学家 Eric Brewer 提出，分布式系统有三个指标。
Consistency
Availability
Partition tolerance
它们的第一个字母分别是 C、A、P。
Eric Brewer 说，这三个指标不可能同时做到。这个结论就叫做 CAP 定理。
二、Partition tolerance
先看 Partition tolerance，中文叫做"分区容错"。
大多数分布式系统都分布在多个子网络。每个子网络就叫做一个区（partition）。分区容错的意思是，区间通信可能失败。比如，一台服务器放在中国，另一台服务器放在美国，这就是两个区，它们之间可能无法通信。
上图中，G1 和 G2 是两台跨区的服务器。G1 向 G2 发送一条消息，G2 可能无法收到。系统设计的时候，必须考虑到这种情况。
一般来说，分区容错无法避免，因此可以认为 CAP 的 P 总是成立。CAP 定理告诉我们，剩下的 C 和 A 无法同时做到。
三、Consistency
Consistency 中文叫做"一致性"。意思是，写操作之后的读操作，必须返回该值。举例来说，某条记录是 v0，用户向 G1 发起一个写操作，将其改为 v1。
接下来，用户的读操作就会得到 v1。这就叫一致性。
问题是，用户有可能向 G2 发起读操作，由于 G2 的值没有发生变化，因此返回的是 v0。G1 和 G2 读操作的结果不一致，这就不满足一致性了。
为了让 G2 也能变为 v1，就要在 G1 写操作的时候，让 G1 向 G2 发送一条消息，要求 G2 也改成 v1。
这样的话，用户向 G2 发起读操作，也能得到 v1。
四、Availability
Availability 中文叫做"可用性"，意思是只要收到用户的请求，服务器就必须给出回应。
用户可以选择向 G1 或 G2 发起读操作。不管是哪台服务器，只要收到请求，就必须告诉用户，到底是 v0 还是 v1，否则就不满足可用性。
五、Consistency 和 Availability 的矛盾
一致性和可用性，为什么不可能同时成立？答案很简单，因为可能通信失败（即出现分区容错）。
如果保证 G2 的一致性，那么 G1 必须在写操作时，锁定 G2 的读操作和写操作。只有数据同步后，才能重新开放读写。锁定期间，G2 不能读写，没有可用性不。
如果保证 G2 的可用性，那么势必不能锁定 G2，所以一致性不成立。
综上所述，G2 无法同时做到一致性和可用性。系统设计时只能选择一个目标。如果追求一致性，那么无法保证所有节点的可用性；如果追求所有节点的可用性，那就没法做到一致性。
读者问，在什么场合，可用性高于一致性？
举例来说，发布一张网页到 CDN，多个服务器有这张网页的副本。后来发现一个错误，需要更新网页，这时只能每个服务器都更新一遍。
一般来说，网页的更新不是特别强调一致性。短时期内，一些用户拿到老版本，另一些用户拿到新版本，问题不会特别大。当然，所有人最终都会看到新版本。所以，这个场合就是可用性高于一致性。
本文转载自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2018/07/cap.html
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