求解这道数列求和公式大全难题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-13 04:14 标签： 数列难题 
 n2 等比 等差 5050 考点 考纲要求 考查角度 等差数列前n项和公式　　 掌握等差数列前n项和公式 求等差数列的前n项和 等比数列前n项和公式　　 掌握等比数列前n项和公式 求等比数列的前n项和 数列的综合应用　 通过构造等差、等比数列的模型，运用数列的知识解决问题 等差、等比数列与其他知识的综合应用 第四节数列求和与数列的综合应用
1.从近几年的高考试题可以看出，数列求和问题的考查一直是高考的热点问题，大多出现在解答题的第二问，重点考查分组求和、错位相减、裂项求和等基本求和方法；数列与函数、不等式、平面几何等知识相结合考查也是数列综合问题的命题热点．
2．数列求和问题以基本方法的考查为主，难度中等；数列的综合考查难度偏大．1.预测2015年高考仍会考查数列求和的基本方法，难度中低档．
2．考查与函数、不等式结合的综合应用问题，难度稍大.
1.数列求和的常用方法
直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和．
一些常见的数列的前n项和
a．1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如数列的前n项和即是用此法推导的．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如数列的前n项和就是用此法推导的．
特别提醒：用乘公比错位相减法求等比数列的和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“q·Sn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－q·Sn”的表达式．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
归纳拓展：若数列{an}的通项能转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项法求和，如对等差数列{an}有＝(－)，＝(－)．
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列通项公式组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
2．数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个小“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
3．数列的实际应用问题
(1)解答数列应用题的基本步骤．
审题：仔细阅读材料，认真理解题意．
建模：将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是求前n项和．
③求解：求出该问题的数学解．
还原：将所求结果还原到原实际问题中．
具体解题步骤如下框图：
特别提醒：变化率呈复制“Mt＝M0(1＋p)t”形式的应用问题常转化为指数模型或对数模型的数列问题求解．
(2)与几何问题相关的应用题需从问题实际出发，构造一个几何模型，结合几何性质转化为数列求解．
归纳拓展：数列实际应用问题的常见模型有等差模型；等比模型；混合模型；生长模型；递推模型．用数列知识解相关的实际问题，关键是弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后结合数列相关知识求解．1.(2014·泉州二模)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
2．(2014·黄山一模)已知数列{an}的通项公式是an＝，若Sn＝10，则n的值是(　　)
A．11　　　　B．99　　　　C．120　　　　D．121
3．(2014·大同一模)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)
4．(2014·东营质检)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，nN*，则S10的值为(　　)
5．(2014·昆明一模)如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)
{}是首项为，公差为的等差数列，＝n，a10＝，故选D.
题型一　　分组转化法求和
【例1】　已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＋a5＝64(＋＋)．
[方法·规律]　若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．
解：由已知得，数列{an}的通项公式为an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)＝＋＝n(3n＋1)＋2n＋1－2.题型二　　错位相减法求和
(1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，a1＝S1＝－3，满足上式．
[方法·规律]　数列求和中错位相减法的应用技巧
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公比q≠1)，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
(2)用乘公比错位相减法求和时，应注意：
要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项”对齐，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
在应用等比数列求和公式时必须要注意公比q是否为1，从而选取恰当的表达方式．
[变式2]　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，
所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
＝b，即＝b，解得r＝－1.
两式相减，得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－－，
故Tn＝－－＝－.题型三　　裂项相消法求和
[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
＝(1－＋－＋…＋－)
所以数列{bn}的前n项和Tn＝.
[方法·规律]　数列求和中裂项相消法的应用技巧
(1)裂项相消法就是把数列的每一项分裂成一正一负的两项，使得相加后，前后的项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次相消，有的是间隔相消．
(2)一般地，若{an}为等差数列，则求数列{}的前n项和可尝试此方法，事实上，＝＝＝·(－)．
(1)求数列{an}的通项公式；
故数列{an}的通项公式为an＝.
＝－(1＋2＋…＋n)
所以数列{}的前n项和为－.
题型四　　数列的综合应用
＝－(1＋2＋3＋…＋n)
①×，得Tn＝＋＋…＋＋.
①－，得Tn＝(－)＋(＋＋…＋)
则由Tn＝7－＜l，lZ，可得l的最小值是7.
[方法·规律]　数列与函数问题的解题技巧
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．

内容提示：奇偶分析法巧解数列求和难题

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        本节主要包括利用猜想法、公式法、构造法、累差、累乘求数列的通项和利用公式法、分组求和、裂项求和、错位相减和倒序相加求和等知识点。其中难度较大的是利用构造法求数列的通项和错位相减求和。解答这类题主要是掌握规律性的东西，然后直接套方法就可以了。

1.   数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同。 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。

①作新数列法：作等差数列与等比数列  

②累差叠加法： 最基本形式是  

③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 应掌握以下常见的裂项：

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

       本节知识在段考和高考中是常考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，以解答题的形式考查学生对数列的定义的证明、数列通项的求法和数列的求和问题，属于难题。也经常和数列的最值问题、恒成立问题等联合考查。

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b

＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.

解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，

所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，

问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下

问题症结：解题详细过程

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