抽象矩阵可逆矩阵

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-27 12:55 标签： 分块矩阵的秩怎么求
怎样用矩阵的秩判断矩阵是否可逆？... 怎样用矩阵的秩判断矩阵是否可逆？

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阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

特别规定零矩阵的秩为零。

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)? 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

例1. 计算下面矩阵的秩，

而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所

有的三阶子式全为零，所以rA=2。

引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理 初等变换不改变矩阵的秩。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

本回答由科学教育分类达人 田浩推荐

矩阵的秩如果不等于矩阵的行数则此矩阵无逆矩阵。讨论矩阵的逆，首先此矩阵必为方阵，转变为行列式，若秩不等于行数，此行列式必为零。故没有逆矩阵。

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一般战友, 积分 160, 距离下一级还需 340 积分

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首先，楼上的式子错了，应该是R(AB)=R(B)；
其次，R(AB)不大于R(B)，这是因为AB的行向量是由B的行向量的线性组合得到的；
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一般战友, 积分 165, 距离下一级还需 335 积分

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……不过拜托能不能学习下编辑公式啊……这么弄写起来难受看起来也费劲……
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一般战友, 积分 205, 距离下一级还需 295 积分

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可逆表示R（a）比等于零进而可以得到A阵是满秩的 而满秩矩阵乘其他的矩阵式不会改变矩阵的秩的

考研论坛2010年上半年优秀版主

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