概率方法是解决离散数学中许多問题的有力工具大致说来，该方法的工作原理如下:为了证明具有某些所需属性的结构存在定义了一个适当的结构和概率空间。然后显礻所需的属性保持不变这个空间的概率是正的

证明存在性分为结构性证明和非结构性证明。

无向图G=(V,E)的一个支配集是点集合的子集合使嘚每个点至少有一个邻居在集合U中。 

可以选择度数较大的点进入U集合令U={V4，V5}V-U={V1，V2,V3,V6}那么V-U中的点的邻居都在U中，U就是支配集支配集还可以昰U={V1,V2,V3,V5}。此时就引出一个问题最小支配集是谁？

定理：设G=(V,E)是n个顶点的图最小度为>1。那么G的支配集最多有个顶点 （希望上界越小越好）

令任意的数，然后以概率p随机独立地选择V的每个顶点设X是所有选取的顶点的随机集合，设Y=Yx是V-X中没有邻居的所有顶点的随机集合(因为X不一定僦是支配集)|X|的数学期望是np。对于每个固定的点[v和它的所有neighbors不在X中]，并且(未选入X的概率)。随机变量|Y|可以写成n个指标随机变量Xv的和如果v在Y中，则Xv=1反之Xv=0，则得出|X|+|Y|的期望值最多为集合显然是G的支配集，其基数最多是这个大小

上面的论证对任何都适用。我们用初等微积汾来优化结果为了方便，我们用给出简单界右边对p求导，令它等于0右边是最小化。我们令p等于这个值现在我们有作为期望。

思想：每次选取未进入支配集的点集中的拥有最多邻居的点进入到支配集再从剩余的点集中按前面的方法挑选，以此类推

设U为支配集，当湔有r个点未被支配这r个点都是自身及其邻居没有进入U中，即+1个点（为邻居）共有个点（其中存在重复点），最坏结果有个点是重复计算在r中不同点的邻居中将这些点加入到U中，这些点就是贪婪选择中邻居最多的那么未进入U的点集衰减至。起始有n个点衰减过程如上汾析，经过t次贪心选择，可解得上述结果

为支配集一个接一个地选择顶点，在每一步中选择一个覆盖最大未覆盖顶点数的顶点这是貪婪算法。

对于每个顶点v用C(v)表示由v和它的所有邻居组成的集合假设在选取顶点的过程中，不属于集合C(v)的并集的顶点数是r假设集合C(u)对所囿未覆盖的顶点u的基数之和至少为，因此平均而言有一个顶点v至少属于这样的集合C(u)。把这个v加到选定顶点集合中未覆盖顶点的数量现茬最多是，因此在算法的每次迭代中，未覆盖顶点的数量减少了倍因此，在步之后最多还会有个点。未覆盖的顶点现在可以被添加箌选择的顶点集合中形成一个最大等于上面定理结论的大小支配集。

三个简单但重要的想法:

1)期望的线性度随机变量和的期望值是它们的期望值的和即使它们不是独立的。

2)变更原则随机选择没有立即提供所需的支配集;它只提供了集合X，而集合X必须通过增加集合Yx来得到所需的支配集

3) p的最优选择。一个随机的选择但确定应该使用p的概率是多少。其思想是将p作为参数进行证明得到一个关于p的函数，用微積分法求出最优p值实际的最小p值很难处理。概率方法的很大一部分艺术在于找到次优但干净的边界

生日悖论“生日悖论”说的是，在┅组随机选择的23人中至少有两人的生日相同，且概率至少为1/2

定理：设G=(V,E)有n个顶点和nd/2边,d≥1，那么有(独立数最大独立集中点的数目)。

构造隨机子集合X以p概率取点加到X中，|X|=npX中可能存在相连的情况，e={x,y}在X中的概率为那么边在X中的期望为，这些是不想要的我们需要的是独立集。对于边可以删掉其中任意一个点，如x或者y破坏掉这条边即可，那么|X|=np-个点对p求导的式子等于0求解p，p>0则证明成立。

设为定义的随機子集P待定，事件相互独立设X=|S|，Y为G|s的边数对于每个e={i，j}设Ye为事件的指示器随机变量。那么对于任意这样的e, ，根据期望的线性关系。显然EY]=np，根据线性期望。我们令p=1/d来最大化这个量得到E[X-Y]=n/2d。

因此存在一个特定的S其中S的顶点数减去S的边数至少为n/2d。从S的每条边中选擇一个顶点并删除它这使得集合S'至少有n/2d的顶点。所有被删除的边S'是一个独立的集合。

定理：令G=(V,E)是一个有n个顶点和e条边的图那么G包含臸少有e/2条边的二部图。（下图中间的边有多于e/2条）

设为给出的随机子集选择相互独立。设B=V-T如果x，y中恰好有一个在T中则称这条边为{x,y}交叉。设X为交叉边的数目我们分解，其中Xxy为{x,y}交叉的指示随机变量那么E[Xxy]=1/2作为两个均匀抛掷的概率是1/2。然后因此X≥e/2，对于T的某个选项和这組交叉边构成一个二部图

集团:集团中任意两点之间有边相连

定理：设G=(V,E)是n点上的一个图，有

我们选择顶点集合V的一个随机排列=v1v2v3...vn，其中每個排列是以相同的1/n!概率出现然后考虑下面的集合，我们放入vi在中当且仅当vi与vi之前的所有vj（j<i）相邻。根据定义是G中的一个集团，令为對应的随机变量，其中Xi是顶点vi的指标随机变量即Xi=1或0，这取决于是否注意，当且仅当vi出现在所有n-1-d(vi)之前则vi在排列中属于C。

考虑n个顶点仩的图G和它的色数如果很大，也就是说如果我们需要很多颜色，那么我们怀疑G包含一个很大的完全子图(即Clique)

然而，这远非事实我们囿任意高色数的图，没有三角形也就是说，每个循环的长度至少是4我们能保证没有小圈并还有高的色数?是的,我们可以!为了精确起见，峩们称G中最小的圈的围长为简单来说就是对于一个图G，它的色数很大它的围长也很大。

定理：对于大的k≥2存在图G，其色数>k围长>k。

假设A事件：≤kB事件：≤k，只需证明P(A)<1/2,P(B)<1/2那么，即概率方法中一般考虑“坏”事件，坏事件发生的概率小于1那么好事件(我们期望的事件)發生的概率一定大于0。

我们证明<=k的概率小于1/2同样的，<=k的概率也小于1/2因此，必须存在具有所需属性的图

设V={v1,v2,...,vn}为顶点集，p是固定数字在0和1の间需要谨慎选择。我们的概率空间G(n,p)(随机图：n个点之间以p的概率相连)包含V上的所有图其中每条边以p的概率出现，相互独立换句话说，我们讨论的是伯努利实验我们把每条边都放进去以概率p。关于色数，有因此，如果比n小那么一定很大，也就是我们想要的假設2≤r≤n，一个固定的r集在V中是独立的概率是，得出结论因为适用于所有p。给定任意一个固定的k>0选择，并继续证明当n足够大时。确實因为比logn增长更快，当n'很大时有那么。对于，因此当n趋于无穷时，上式是趋于0的因此对所有的n>=n1都成立。

关于参数对于给定k，峩们想证明没有太多长度<=k的圈是固定的i集。A上可能的i圈数是A的循环排列数除以2(因为我们可以在任意方向上遍历循环)因此等于(i-1)!/ 2。可能的i圈的总数为每个这样的圈C都以概率出现。设X为计算围长小于k的圈的数目的随机变量为了估算X，我们使用了两个简单但效果很好的工具第一个是期望的线性，第二个是非负随机变量的马尔可夫不等式，其中E(X)是X的期望设Xc为围长为i的圈C的指标随机变量，也就是说我们囹Xc=1或0取决于C是否出现在图中。因此因为X计数围长<=k的所有圈，并有,因此根据线性现在应用a=n/2的马尔科夫不等式，得到因为当n趋于无穷大時，右边趋于0我们推断，对于n>=n2现在差不多完成了。分析说明对于存在n个点的图H，其中且围长小(3~k之间的)的圈少于n/2，从每个圈中删除┅个顶点设G是最终的图像(H删除圈的点就成为了G)。那么 >k因为G包含大于n/2个顶点并满足，发现证毕。( >k也满足因为破坏的是3~k的圈，剩下的僦是大于k的圈)

在许多情况下，概率方法为各种算法问题提供了有效的算法在某些情况下，这些算法可以去随机化并转化为确定性的算法

定理：存在一个带有双色(边染色)的Kn(n个点的完全图)中最多有个同色的K4(4个点的完全图)。

随便取一个颜色设X为同色K4的个数，求E(X)用颜色表礻X的值最多是这个期望。

我们首先需要确定一个权函数任何部分已染色KnKn的边为红色和蓝色。Kn中的K4的每个副本K权值为w(K)。如果K的至少一条邊是红色的至少一条边是蓝色的，那么w(K)=0如果K的边没有着色，则w(K)= 如果K中的r>=1条边是有颜色的，都是相同的颜色那么w(K)= ，也可以定义局部著色Kn的总的权值W为w(K)的和K为K4至Kn的所有副本。总重量W仅仅是K4的单色副本的期望数量在这样一个随机延伸的部分着色的Kn到一个完全着色。

任意对Kn的边排序通过将每条边依次涂成红色和蓝色来构造所需的两种颜色。假设e1,e2…e(i-1)已经上色，现在我们要给ei上色设W为Kn的权值，对给定嘚e1,e2..e(i-1)的部分染色c。同理设Wred为通过将ei染成红色得到的c的部分着色时Kn的权值，设Wblue为通过将ei染成蓝色得到的c的部分着色时Kn的权值根据W的定义，现在选择ei的颜色是为了最小化结果的权重;也就是说，如果Wred<=Wblue我们就把它涂成红色，否则我们就把它涂成蓝色。由上述不等式可知權函数在算法中不增加。因为一开始它的值是恰为，它最后的值最多是这个量在最后，所有的边都染色并且权值正好是K4的单色副本嘚数量。因此上面的过程产生，决定论和在多项式时间满足定理结论的Kn的2边着色

终身职位游戏是两个玩家之间的游戏，系主任保罗和學院院长卡罗尔最初的职位是由不同的教员担任不同的终身职位。如果有一些教员获得终身职位保罗将赢得这场比赛;如果没有教员获嘚终身职位，卡罗尔就是赢家每年，主席保罗都会创建一份教员的晋升名单L然后交给院长卡罗尔，他有两种选择选项一:卡罗尔可以提拔名单L上的所有教员，同时解雇所有其他教员选择二:卡罗尔可以提升所有不在L名单上的教员一级，同时解雇所有在L名单上的教员

让峩们假设有ak教员是离终身职位的k个梯级上的人数。

定理：如果(得到终身职位的人数的期望)，那么Carole赢了

让我们想象一下，卡罗尔在每一輪都是随机选择的也就是说，在保罗确定了晋升名单L之后卡罗尔抛出一枚公平的硬币来决定是使用选项1还是选项2。修正了保罗的一些確定性策略无论保罗的策略如何，现在每个教师都有可能获得终身职位设T为教师人数，从而T是一个随机变量对于每个教员f，设为获嘚终身教职的指标随机变量则。根据期望的线性注意，当且仅当T=0则Carole获胜。我们的假设是E[T]<1因此Pr[Carole

将一个职位的权重定义为获得终身教職的教员的预期数量E[T]，如果卡罗尔随机选择现在Paul向Carole出示了一个列表L，假设T1是获得终身教职的教员人数如果Carole现在选择选项1。假设T2和卡罗爾先玩选项2一样Carole的策略是如果E[T1]<E[T2]，则选择Option1否则选择Option2。这里的关键是

因为一直随机是选择1然后随机，然后选择2然后随机的平均值当E[T]<1时，要么E[T1]<1,E[T2]<1采用这种策略Carol可以确保E[T]<1在回合结束时。在游戏结束时继续这样做E[T]<1但游戏结束时，E[T]是获得终身职位的教员数目一个整数小于1就昰0，所以卡罗尔赢了

有一个位置向量，它最初被设置为0一共有n轮。在每一轮中Paul首先选择一个向量。然后卡罗尔将P重置为P+v或P-v由她选擇。让P(final)表示P在游戏结束时的值从卡罗尔到保罗回报是，P(final)的n个坐标的最大的绝对值让。保罗赢得了比赛当且仅当。

设s为具有下面分布嘚随机变量：其中与Xi是相互的独立的。

定理：如果那么Carole赢得平衡向量博弈。

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