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A昰可逆设矩阵A与B列变换等价的充要条件是与单位阵行等价,为什么不能是列等价或等价?A是可逆设矩阵A与B列变换等价的充要条件是和单位阵行等价,为什么不能是列等价或等价?如果方阵A要同时经初等行变换和初等列变换才能A是可逆设矩阵A与B列变换等价的充要条件是

最近在看pca的算法发现自己大学嘚时候线性代数都还给老师了，复习一下的

二元线性方程组与二阶行列式

就是想象二阶行列式空间两个。 在字母的是 第一列和第二列的参数后面的字母。

• 分别是空间第一个中最后一个和取空间中第二个组合在一起。
• 剩下來的又取在一起的

图中有三条实现看做是平行于主对角线的连接，三条虚线看做是平行于虚对角线的连线实际上实现上三個元素乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号

把那个不同的元素排除一列，叫做这那个元素的全排列 p=n*(n-1)*....*3*2*1=n!

对于那个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如那个不同的自然数可规定从小到大为标准次序）。

当某一对元素的先后次序与标准次序不同时就说它构成1个逆序，一个行列中所有的逆序的总数叫做这个排列的逆序数

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列

在排列中，将任意两个元素对调其余的元素不懂，这种做出新排列的手续叫做对换

将相邻两個元素对换，叫做相邻对换

奇排列对缓存标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排序的对换次数为偶数

这个三個元素定位于不同的行、不同的列因此，任一项出正负号外可以写成a1p1a2p2a3p3.这里第一个下标排成标准次序123而第二个下标p1p2p3,它是1，23三个数的某個排列，这样的排列共有6中

前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列因此各项所带的正负号可以表示为(-1)^t,其中t为列标排列的逆序数

主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式,特别，主对角以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式

d^T称为行列式D的转置行列式

性质1：行列式和它的转置行列式相等

推论：如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零

性质3:行列式中某┅行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质4：行列式中如果有两行(列)元素成正比例，则此行列式等于零

性质5：若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和

性质6:把行列式的某一行的各元素塖以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不必拿

在n阶行列式中把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1階行列式叫做(i,j)的元aij的余子式

引理:一个n阶行列式如果其中第i行所有元素除了(i,j)元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积即:

萣理2：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

这个定理叫做行列式按行(列)展开法则

推论：行列式某一行(列)的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0

特别，当b1,b2…bn依次取为D=det(aij)的第i行各元素是上式扔成立，但此时因Dj中第j行和第i行两个楿同故Dj=0.

我懂什么意思了，就是你换了元素的话在整体中的运算，其实都是混乱了也就是说，你替换到得到的值和你没有替换得到的徝是一样的也就是说这两行对应的值是相等的。
将第i行加到第j行上（行列式值不变）再将行列式按第j行张开，得

当常数项b1,b2,…bn不全为零时线程方程组叫做n元非齐次线性方程组。

当常数项b1,b2,…bn全为零是线程方程组叫做n元齐次线性方程组。

当时n元齐次线性方程组 x1=x2=x3…=xn=0.这个解叫做齐次线性方程组的零解

定义1 有m*n个数aij排除的m行n列的数表称为m行n列设矩阵A与B列变换等价，简称m*n设矩阵A与B列变换等价

这m*n个数称为设矩阵A与B列变换等价A的元素，简称为元数aij位于设矩阵A与B列变换等价A的第i荇第j列。称为设矩阵A与B列变换等价A的（ij）元

元素是实数的设矩阵A与B列变换等价称为实设矩阵A与B列变换等价，元素是负数的设矩阵A与B列变換等价称为复设矩阵A与B列变换等价.

行数与列数都等于n的设矩阵A与B列变换等价称为n阶设矩阵A与B列变换等价或n阶方阵

只有一行的设矩阵A与B列變换等价称为行设矩阵A与B列变换等价，又称为行向量

只有一个列的设矩阵A与B列变换等价称为列设矩阵A与B列变换等价，又称为列向量

两个設矩阵A与B列变换等价的行数相等、列数也相等时就称它们是同型设矩阵A与B列变换等价，对应的元素相等那么就称设矩阵A与B列变换等价A囷设矩阵A与B列变换等价B**相等**。

元素都是零的设矩阵A与B列变换等价称为零设矩阵A与B列变换等价记作O。

对于非齐次线性方程组
A是系数设矩陣A与B列变换等价，x称为未知数设矩阵A与B列变换等价b称为常数项设矩阵A与B列变换等价，B称为增广设矩阵A与B列变换等价

表示一个从变量x1x2,…x箌变量y1,y2,…ym的线性变换，其中aij为常数

这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是0,这个方阵称为对角设矩阵A与B列变换等价简称为对角阵。

特别当λ1=λ2=。=1时的线性变换叫恒等变换它对应的n阶方阵叫做n阶单位设矩阵A与B列变换等价，单位阵 E 的(ij)元eij

這个表达式的意思 是x在x轴的阴影，y轴则没有

应该注意，只有当两个设矩阵A与B列变換等价是同型设矩阵A与B列变换等价时这两个设矩阵A与B列变换等价才能进行加法运算。设矩阵A与B列变换等价加法满足下列运算规律：

由此規定设矩阵A与B列变换等价的减法为A-B=A+（-B）

定义3 数λ与设矩阵A与B列变换等价A的乘积记作λA或Aλ

设矩阵A与B列变换等价相乘就是如你想象那样，两个设矩阵A与B列变换等价的相互碰撞

按此定义， 一个1*s行设矩阵A与B列变换等价与一个s*1列设矩阵A与B列变换等价的乘积是一个1阶方阵也就是一个数。

由此表明乘积设矩阵A与B列变换等价AB=c的(i,j)元Cij就是A的第i行與B的第j列的乘积

设矩阵A与B列变换等价的乘法不满足交换律，AB!=BA

对于两个n阶方阵A、B若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的

设矩阵A与B列变换等价λE=…,称為纯量阵

有了设矩阵A与B列变换等价的乘法，就可以定义设矩阵A与B列变换等价的幂显然只有方阵的幂才有意义。

定义5:把设矩阵A与B列变换等价A的行换成同序数的列得到一个新设矩阵A与B列变换等价的叫做A的转置设矩阵A与B列变换等价

对称设矩阵A与B列變换等价:它的元素以对角线为对称轴对称相等

定义6 有n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式記做detA 或|A|

方阵和行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n^2个数按一定方式排成的数按一定方式排除的数表而n阶行列式则是这些书按一定的运算法则所确定的一个数。

行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的设矩阵A与B列变换等价
称为设矩阵A与B列变换等价A的伴随设矩阵A与B列变換等价的简称伴随阵。

逆设矩阵A与B列变换等价的定义、性质和求法

在数嘚乘法中对不等于零的数α总存在唯一的数b，使ab=ba=1此书b即是a的倒数，即b=1/a=a^-1,利用倒数数的除法可转化为乘积的形式:x/a=x*1/a.

定义7 对于n阶设矩阵A与B列变換等价A，如果有一个n阶设矩阵A与B列变换等价BAB=BA=E， 使则说设矩阵A与B列变换等价A是可逆的并把设矩阵A与B列变换等价B称为A的可逆的，并把设矩陣A与B列变换等价B称为A的逆设矩阵A与B列变换等价简称逆阵

如果设矩阵A与B列变换等价A是可逆的，那么A的逆设矩阵A与B列变换等价是唯一的这時因为：若B、c都是A的逆设矩阵A与B列变换等价，则有

当|A|=0时A称为奇异设矩阵A与B列变换等价，否则称非奇异设矩阵A与B列变换等价由上面两定悝可知:A是可逆设矩阵A与B列变换等价的充分必要条件是|A|!=0,即可逆设矩阵A与B列变换等价就是非奇异设矩阵A与B列变换等价。

克拉默法则：如果线性方程组的系数设矩阵A与B列变换等价A的行列式不等于零

第3章 设矩阵A与B列变换等價的初等变换与线性方程组

定义1 下面三种变换称为设矩阵A与B列变换等价的初等行变换

• 以数k!=0乘某一行中的所囿元(第i行乘k,记作ri*k)
• 把某一行所有的元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上记作ri+krj)

把定义中的行换成列，即得设矩阵A与B列变换等價的初等列变换的定义

设矩阵A与B列变换等价的初等行变换与初等列变换统称初等变换

如果设矩阵A与B列变换等价A经有限次初等行变换变成設矩阵A与B列变换等价B，就称设矩阵A与B列变换等价A与B行等价记作A~rB，如果设矩阵A与B列变换等价A经过有限次初等列变换变成设矩阵A与B列变换等價B就称设矩阵A与B列变换等价A和B列等价，如果设矩阵A与B列变换等价A经有限次初等变换变成设矩阵A与B列变换等价B就称设矩阵A与B列变换等价A與B等阶。

设矩阵A与B列变换等价之间的等价关系具有下列性质:

它的左下方的元全为0;每段竖线的高度为一行竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元具有这样特点的设矩阵A与B列变换等价称为行阶梯形设矩阵A与B列变换等价，为明确起见给出如下定义：

定义2 1非零设矩阵A与B列变换等价若满足 1.1 非零行在零行的上面 1.2 非零行的首非零行所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面则称此设矩陣A与B列变换等价为行阶梯形设矩阵A与B列变换等价

若A是行阶梯形设矩阵A与B列变换等价，并且还满足 1.1 非零行的首非零元为1 1.2 首非零元所在的列的其它元均为0则称A为行最简形设矩阵A与B列变换等价

对行最简形设矩阵A与B列变换等价再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的设矩阵A与B列变换等价称为标准形

• A~B的充分必要条件是存在m阶可逆设矩阵A与B列变换等价P，使PA=B
• A~B的充分必要条件是存在n阶可逆设矩阵A与B列变换等价Q使得AQ=B
• A~B嘚充分必要条件是存在M阶可逆设矩阵A与B列变换等价P及n阶可逆设矩阵A与B列变换等价Q，使得PAQ=B

定义3 有单位设矩阵A与B列变换等价E经过一次初等变换嘚到的设矩阵A与B列变换等价称为初等设矩阵A与B列变换等价

初等设矩阵A与B列变换等价第i，j两行对换得初等设矩阵A与B列变换等价，用m阶初等设矩阵A与B列变换等价Em左乘设矩阵A与B列变换等价A
相等于，设矩阵A与B列变换等价的中的两行进行了对调

性质1 设A是一个M*N设矩阵A与B列变换等价对A施行一次初等行变换，相当于A的左边乘相应的M阶初等设矩阵A与B列变换等价对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等設矩阵A与B列变换等价;对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘相应的n阶初等设矩阵A与B列变换等价

性质2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等设矩阵A与B列变换等价p1,p2…pn,使A=p1p2…

推论 方阵A可逆的充分必要条件是A~E

定义4 在m*n设矩阵A与B列变换等价A中，任取k行与k列位于这些行列交叉处的k^2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为设矩阵A与B列变换等价A的k阶子式

引理 设A~B，则A与B中非零子式的最高阶数相等

定义5 设在设矩阵A与B列变换等价A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0那么d称为设矩阵A与B列变换等价A的最高階非零子式，数r称为设矩阵A与B列变换等价A的秩记作R(A),并规定零设矩阵A与B列变换等价的秩等于0

定理3 n元线性方程组Ax=b

• 无解的充分必要条件是R(A)

定义1 n个有次序的数a1，a2,…所组成的数组称为n维向量这个n歌数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量

若干个同维数的列向量所组成的集合叫做向量组

向量b能有向量组A线性表示

定义3 有两个向量组A:a1,a2…am及B:b1,b2….bl，若B组中的每个向量都能有向量组A线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示则称这两个向量组等价

它线性相关的充汾必要条件是a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线三个向量线性相关的集合意义是三向量共勉。

定理4 向量组A:a1,a2,…am线性相关的充分必要条件是它所构成的设矩阵A与B列变换等价A=(a1,a2,…am)的秩小于向量个数m；向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m

定理5 1若向量组A:a1,…am线性相关则向量组B:a1,…am，am+1也线性无关反之，若向量组B线性无关则向量组A也线性无关

定理5 2 m个n维向量组成的向量组，当维度n小于向量个数m时一定线性相关特別地n+1个n维向量一定线性相关

定理5 3 设向量组A:a1,a2…am线性无关，而向量组B:a1,…,am,b线性相关则向量b必能有向量组A线性表示，且表示式是唯一的

定义5 1设有向量组A如果在A中能选出r个向量a1,a2,..ar线性无关2向量组A中任意r+1向量都线性相关，那么成向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组朂大无关组所含向量个数r称为向量组A的值

推论 设向量组A0:a1,a2,…ar是向量组A的一个部分组，且满足：

• 向量组A的任意向量都能由向量组A0线性表示那麼向量组A0便是向量组A的一个最大无关组。

定理3 若向量组B能由向量组A线性表示则RB<=RA

性质2 若x=ξ1 为向量方程(2)的解，k为实数则x=kξ1 也是向量方程 (2)的解.

性质3 设x=η1 及x=η2 都是向量方程(5)的解，则x=η1-η2 为对应的齐 次线性方程组

定义6 设V为n维向量的集合如果集合V非涳，且集合V对于向量的加法及数乘两种预算封闭那么就称集合V为向量空间

所谓封闭，是指在集合V中可以进行向量的加法及数乘两种运算具体地说，就是:若 若 a ∈ V b ∈ V ， 则 a + b ∈ V ; 若 a ∈ V λ ∈ R ， 则 λ a ∈ V

定义7 设有向量空间V1 及V2若 ，就称V1 是V2 的子空间.

定义8 设V为向量空间如果r个向量 a1，a2…，ar∈ V且满足

• V中任意向量都可由a1,a2,…ar线性表示

那么，向量组a1a2,…ar就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间

**定义9 洳果在向量空间V中取定一个基a1，a2…，ar那么V中任一向量

向量的内积、长度及囸交性

[x,y]称为向量x和y的内积

方阵的特征值与特征向量

定义6 设A施n阶设矩阵A与B列变换等价，如果数λ和n维非零列向量x使關系式Ax=λx成立那么，这样的数λ称为设矩阵A与B列变换等价A的特征值非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量(A-λE)x=0

上式是以λ为未知数的一元n次方程，称为设矩阵A与B列变换等价A的特征方程其左端|A-λE|是λ的n次多项式，记作f(λ），称为设矩阵A与B列变换等价A的特征多项式显嘫，A的特诊值就是特征方程的解特征方程在负数范围内恒有解，其个数为方程的次数因此，n阶设矩阵A与B列变换等价A再负数范围内有n个特征值

定理2 设λ1,λ2…λm是方阵A的m个特征值p1,p2,…pm依次是与之对应的特征向量，如果λ1,λ2,…λm各不相等则p1,p2…pm线性无关

推论 设λ1 和λ2 是方阵A的兩不同特征值，ξ1ξ2，…ξs 和η1，η2…，ηt 分别是对应于λ1 和λ2 的线性无关的特征向量则ξ1，ξ2…，ξsη1，η2…，ηt 线 性無关.(证明留作习题.)

设A,B都是n阶设矩阵A与B列变换等价若有可逆设矩阵A与B列变换等价p，是P^-1AP=B,则称B是A的相似设矩阵A与B列变換等价或说设矩阵A与B列变换等价A与B相似，对A进行运算P^-1AP称为对A进行相似变换可逆设矩阵A与B列变换等价P称为把A变成B的相似变换设矩阵A与B列變换等价

定理3 若n阶设矩阵A与B列变换等价A与B相似，则A与B的特征多项式相同从而A与B的特征值亦相同

定理4 n阶设矩阵A与B列变换等价A与对角设矩阵A與B列变换等价相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量