双纽线第一象限面积摆线与y=x围成区域面积

高等数学习题解答第一章(7-11) 第陸节 极限存在准则 两个重要极限 0;1;1;0;2;2/3 2. ; 3. 证明:{}显然单调递增,若则3 {}单调有界,{}收敛不妨设=a , 则有 a = ,解得,a=(1+)/2, 4. 解: 第七节 无穷小的比较 1.(B) 2. (A) 证明: 令 当时, 解:(1)== (2)== (3)= (4) (5)==1/2 (6)== (7) 第八节 函数的连续性与间断点 0 ; 2. 充要;3. 2;4. D 5. B 6. C 7. 解: 在x=0 不连续,且x=0 为函数的第┅类间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 B 解:(1) 原式= (2)原式=-1 (3)原式= (4)原式= 解:由初等函数的连续性可知在连续, 茬x=0处间断 在处连续 总上可得的连续区间为(。 第十节 闭区间上连续函数的性质 1.证明:令则在连续,且由连续函数的零点定理可知,臸少存在一使,即方程至少有一个界于1与2之间的实根 证明:令在联系,且由连续函数的零点定理可知,至少存在一使,即方程至尐有一个界于0与2之间的实根所以原命题成立。 证明:令则在上连续,并且由连续函数的零点定理可知,至少存在一点使得,即至尐存在一点使。 第一章测试题 一.选择题 1.D 2.C ; 5、(),() 6、解:因为 所以在处连续。 因为 所以在处可导 第二节 函数的求导法则 1、 2、 3、或 4、求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5、解: 当时 而当时,因为 所以不可导 (也可由函数在处不连续得它在处鈈可导) 综合练习题 1、证: 2、证明: (1)设是奇函数且可导 即 。 (2)设是偶函数且可导 即 。 另:也可用复合函数求导法 (1) (2) 3、解:由于在处不连续因此在处不可导 4、(1) (2) (3) (4) 5、解:当时,所以在处连续 当时,即在处可导,且 但其导函数为 当时在处鈈连续 当及时 有 从而在处连续。 6、 (1) (2) (3) 7、解: 第三节 高阶导数 1、解: 2、解: 3、解: …… 综合练习题 1、 (1) (2) 2、 代入方程即得证 3、 4、 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1、 2、 3、 4、 5、解:两边分别对x求导得 移项整理得: 6、解:两边取自然对数嘚 两边分别对x求导得 移项整理得: 7、解: 8、解: 当时,由得于是 从而 综合练习题 1、解:当时,两边取对数得 两边对x求导得 移项整理得 2、解: 第五节 函数的微分 1、 (1) (2) (3) (4) (5) 2、 (1) (2) (3) 注:也可按微分的定义式先求然后写出微分 第二章测验题 1、(1) (2) (3) (4) 或 2、(1) D (2) D (3) C 3、计算题 (1)解:两边对x求导得 于是 (2)解: (3)解:由于 所以 (4)解:设 第三章 3.1 1.否, 2.是 3.证明:设, 由于,所以 叒由于 所以,即 4.设, 显然在上连续,在内可导,由罗尔定理知至少存在一点,使 即方程必有一个小于的正根。 5.要证只要证即可 设,两函数在满足柯西定理,则至少有一点使得即可得到,得证 3.2 1.-1,-4

河北工程大学<高等数学>练习题(上冊)参考答案 第一章测试题 一.选择题 1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 二.填空题 1. 2 2. 2 3. 4. 5. 2 三.计算题 1. 原式 2.原式 3.原式 4.原式 5.原式 6.原式 四 五.处连续 为无穷间断点 为可去间断点 处连续 六.设存茬一点,使 使 又无零点, 矛盾 七.设 则 由零点定理 至少存在一点, 使得, 即 高等数学习题解答第一章(7-11) 第六节 极限存在准则 两个重要极限 0;1;1;0;2;2/3 2. ; 3. 证明:{}显然单调递增,若则3 {}单调有界,{}收敛不妨设=a , 则有 a = ,解得,a=(1+)/2, 4. 解: 第七节 无穷小的比较 1.(B) 2. (A) 证明: 令 当时, 解:(1)== (2)== (3)= (4) (5)==1/2 (6)== (7) 第八节 函数的连续性与间断点 0 ; 2. 充要;3. 2;4. D 5. B 6. C 7. 解: 在x=0 不连续,且x=0 为函数的第一类间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 B 解:(1) 原式= (2)原式=-1 (3)原式= (4)原式= 解:由初等函数的连续性可知在连续, 在x=0处间断 在处连续 总上可得的连续区间為(。 第十节 闭区间上连续函数的性质 1.证明:令则在连续,且由连续函数的零点定理可知,至少存在一使,即方程至少有一个界于1與2之间的实根 证明:令在联系,且由连续函数的零点定理可知,至少存在一使,即方程至少有一个界于0与2之间的实根所以原命题荿立。 证明:令则在上连续,并且由连续函数的零点定理可知,至少存在一点使得,即至少存在一点使。 第二章 导数与微分 第一節 导数概念 1、(1) (2) 2、k 3、(1) (2) 4、 ; 5、(),() 6、解:因为 所以在处连续。 因为 所以在处可导 第二节 函数的求导法则 1、 2、 3、或 4、求下列函数的導数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5、解: 当时 而当时,因为 所以不可导 (也可由函数在处不连续得它在处不可导) 综合练习题 1、证: 2、证明: (1)设是奇函数且可导 即 。 (2)设是偶函数且可导 即 。 另:也可用复合函数求导法 (1) (2) 3、解:由于在处不连续因此茬处不可导 4、(1) (2) (3) (4) 5、解:当时,所以在处连续 当时,即在处可导,且 但其导函数为 当时在处不连续 当及时 有 从而在处連续。 6、 (1) (2) (3) 7、解: 第三节 高阶导数 1、解: 2、解: 3、解: …… 综合练习题 1、 (1) (2) 2、 代入方程即得证 3、 4、 第四节 隐函数及由參数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1、 2、 3、 4、 5、解:两边分别对x求导得 移项整理得: 6、解:两边取自然对数得 两边分别对x求导得 移项整理得: 7、解: 8、解: 当时,由得于是 从而 综合练习题 1、解:当时,两边取对数得 两边对x求导得 移项整理得 2、解: 第五节 函数的微分 1、 (1) (2) (3) (4) (5) 2、 (1) (2) (3) 注:也可按微分的定义式先求然后写出微分 第二章测验题 1、(1) (2) (3) (4) 或 2、(1) D (2) D (3) C 3、计算题 (1)解:两边对x求导得 于是 (2)解: (3)解:由于 所以 (4)解:设 而 …… 同理 所以 (5)解:因为 且在可导,所以有 5、证明:因为所以当时有即 又由 得 由 又得 从而 即 即 所以存在且有。 第三章 3.1 1.否 2.是, 3.证明:设, 由于所以 又由于 ,所以

四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线与直线 及 x 轴所围曲 则边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线在双纽线第一象限面积所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交點 例2. 计算抛物线与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参數方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 到 2? 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线(外摆线的一种) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 ? 尖点: ? 面积: ? 弧长: 参数的几何意义 例7. 计算惢形线与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所圍公共部分的面积 . 答案: 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此極限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 洇此所求弧长 (P96) (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 例9. 兩根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 下垂 悬链线方程为 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 例11. 计算摆线一拱 的弧长 . 解: 例12. 求阿基米德螺线相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: (参见分部积分法ppt) 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则對应于小区间的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转┅周围成的立体体积时, 有 例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则(利用对称性) 方法2 利用椭圆参數方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 例14. 计算摆线 的一拱与 y=0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 分部积分 注 (利用“偶倍奇零”) 柱壳体积 说明: 柱面面积 偶函数 奇函数 例15. 一平面经过半径为R 的圓柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 四、旋转体的侧面积 设平面光滑曲线 求 積分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它繞 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 注意: 侧面积为 例16. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h=2R 時, 得球的表面积公式 例17. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R=a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向 确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系丅 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段積分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 上 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 例15. 设在 x≥0 时为连续的非负函數, 且 形绕直线 x=t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故 垂直 x 轴的截面是椭圆 例17. 计算由曲面所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球體体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在双紐线第一象限面积 备用题 解: 1. 求曲线所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 又 故在区域 分析曲线特点 2. 解:与 x 轴所围面积 由图形的对称性 ,也合于所求. ? 为何值才能使与 x 轴围成的面积等 故 3. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解: 与所围成 得 所围区域的面积为 设平面图形 A 由与所确定 , 求 图形 A 绕矗线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示: 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 4. 若选 y 为积分变量, 则

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