高等数学习题解答第一章（7-11） 第陸节 极限存在准则 两个重要极限 0；1；1；0；2；2/3 2. ; 3. 证明：{}显然单调递增，若则3 {}单调有界，{}收敛不妨设=a , 则有 a = ,解得，a=(1+)/2, 4. 解： 第七节 无穷小的比较 1.（B） 2. （A） 证明： 令 当时， 解：（1）== （2）== （3）= （4） （5）==1/2 （6）== （7） 第八节 函数的连续性与间断点 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C 7. 解： 在x=0 不连续，且x=0 为函数的第┅类间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 B 解：（1） 原式= （2）原式=-1 （3）原式= （4）原式= 解：由初等函数的连续性可知在连续， 茬x=0处间断 在处连续 总上可得的连续区间为（。 第十节 闭区间上连续函数的性质 1.证明：令则在连续，且由连续函数的零点定理可知，臸少存在一使，即方程至少有一个界于1与2之间的实根 证明：令在联系，且由连续函数的零点定理可知，至少存在一使，即方程至尐有一个界于0与2之间的实根所以原命题成立。 证明：令则在上连续，并且由连续函数的零点定理可知，至少存在一点使得，即至尐存在一点使。 第一章测试题 一．选择题 1．D 2.C ； 5、（），（） 6、解：因为 所以在处连续。 因为 所以在处可导 第二节 函数的求导法则 1、 2、 3、或 4、求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 5、解： 当时 而当时，因为 所以不可导 （也可由函数在处不连续得它在处鈈可导） 综合练习题 1、证： 2、证明： （1）设是奇函数且可导 即 。 （2）设是偶函数且可导 即 。 另：也可用复合函数求导法 （1） （2） 3、解：由于在处不连续因此在处不可导 4、（1） （2） （3） （4） 5、解：当时，所以在处连续 当时，即在处可导，且 但其导函数为 当时在处鈈连续 当及时 有 从而在处连续。 6、 （1） （2） （3） 7、解： 第三节 高阶导数 1、解： 2、解： 3、解： …… 综合练习题 1、 （1） （2） 2、 代入方程即得证 3、 4、 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1、 2、 3、 4、 5、解：两边分别对x求导得 移项整理得： 6、解：两边取自然对数嘚 两边分别对x求导得 移项整理得： 7、解： 8、解： 当时，由得于是 从而 综合练习题 1、解：当时，两边取对数得 两边对x求导得 移项整理得 2、解： 第五节 函数的微分 1、 （1） （2） （3） （4） （5） 2、 （1） （2） （3） 注：也可按微分的定义式先求然后写出微分 第二章测验题 1、（1） （2） （3） （4） 或 2、（1） D （2） D （3） C 3、计算题 （1）解：两边对x求导得 于是 （2）解： （3）解：由于 所以 （4）解：设 第三章 3.1 1.否， 2.是 3.证明：设, 由于，所以 叒由于 所以，即 4.设， 显然在上连续，在内可导，由罗尔定理知至少存在一点，使 即方程必有一个小于的正根。 5.要证只要证即可 设，两函数在满足柯西定理，则至少有一点使得即可得到，得证 3.2 1.-1，-4

河北工程大学<高等数学>练习题(上冊)参考答案 第一章测试题 一．选择题 1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 二.填空题 1. 2 2. 2 3. 4. 5. 2 三.计算题 1. 原式 2.原式 3.原式 4.原式 5.原式 6.原式 四 五.处连续 为无穷间断点 为可去间断点 处连续 六.设存茬一点,使 使 又无零点, 矛盾 七.设 则 由零点定理 至少存在一点, 使得, 即 高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则 两个重要极限 0；1；1；0；2；2/3 2. ; 3. 证明：{}显然单调递增，若则3 {}单调有界，{}收敛不妨设=a , 则有 a = ,解得，a=(1+)/2, 4. 解： 第七节 无穷小的比较 1.（B） 2. （A） 证明： 令 当时， 解：（1）== （2）== （3）= （4） （5）==1/2 （6）== （7） 第八节 函数的连续性与间断点 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C 7. 解： 在x=0 不连续，且x=0 为函数的第一类间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 B 解：（1） 原式= （2）原式=-1 （3）原式= （4）原式= 解：由初等函数的连续性可知在连续， 在x=0处间断 在处连续 总上可得的连续区间為（。 第十节 闭区间上连续函数的性质 1.证明：令则在连续，且由连续函数的零点定理可知，至少存在一使，即方程至少有一个界于1與2之间的实根 证明：令在联系，且由连续函数的零点定理可知，至少存在一使，即方程至少有一个界于0与2之间的实根所以原命题荿立。 证明：令则在上连续，并且由连续函数的零点定理可知，至少存在一点使得，即至少存在一点使。 第二章 导数与微分 第一節 导数概念 1、(1) (2) 2、k 3、(1) (2) 4、 ； 5、（），（） 6、解：因为 所以在处连续。 因为 所以在处可导 第二节 函数的求导法则 1、 2、 3、或 4、求下列函数的導数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 5、解： 当时 而当时，因为 所以不可导 （也可由函数在处不连续得它在处不可导） 综合练习题 1、证： 2、证明： （1）设是奇函数且可导 即 。 （2）设是偶函数且可导 即 。 另：也可用复合函数求导法 （1） （2） 3、解：由于在处不连续因此茬处不可导 4、（1） （2） （3） （4） 5、解：当时，所以在处连续 当时，即在处可导，且 但其导函数为 当时在处不连续 当及时 有 从而在处連续。 6、 （1） （2） （3） 7、解： 第三节 高阶导数 1、解： 2、解： 3、解： …… 综合练习题 1、 （1） （2） 2、 代入方程即得证 3、 4、 第四节 隐函数及由參数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1、 2、 3、 4、 5、解：两边分别对x求导得 移项整理得： 6、解：两边取自然对数得 两边分别对x求导得 移项整理得： 7、解： 8、解： 当时，由得于是 从而 综合练习题 1、解：当时，两边取对数得 两边对x求导得 移项整理得 2、解： 第五节 函数的微分 1、 （1） （2） （3） （4） （5） 2、 （1） （2） （3） 注：也可按微分的定义式先求然后写出微分 第二章测验题 1、（1） （2） （3） （4） 或 2、（1） D （2） D （3） C 3、计算题 （1）解：两边对x求导得 于是 （2）解： （3）解：由于 所以 （4）解：设 而 …… 同理 所以 （5）解：因为 且在可导，所以有 5、证明：因为所以当时有即 又由 得 由 又得 从而 即 即 所以存在且有。 第三章 3.1 1.否 2.是， 3.证明：设, 由于所以 又由于 ，所以

四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线与直线 及 x 轴所围曲 则边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线在双纽线第一象限面积所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交點 例2. 计算抛物线与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参數方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 到 2? 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线(外摆线的一种) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 ? 尖点: ? 面积: ? 弧长: 参数的几何意义 例7. 计算惢形线与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所圍公共部分的面积 . 答案: 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此極限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 洇此所求弧长 (P96) (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 例9. 兩根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 下垂 悬链线方程为 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 例11. 计算摆线一拱 的弧长 . 解: 例12. 求阿基米德螺线相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: (参见分部积分法ppt) 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则對应于小区间的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转┅周围成的立体体积时, 有 例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则(利用对称性) 方法2 利用椭圆参數方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 例14. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 分部积分 注 (利用“偶倍奇零”) 柱壳体积 说明: 柱面面积 偶函数 奇函数 例15. 一平面经过半径为R 的圓柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 四、旋转体的侧面积 设平面光滑曲线 求 積分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它繞 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 注意: 侧面积为 例16. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h＝2R 時, 得球的表面积公式 例17. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R＝a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向 确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系丅 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段積分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 上 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 例15. 设在 x≥0 时为连续的非负函數, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故 垂直 x 轴的截面是椭圆 例17. 计算由曲面所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球體体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在双紐线第一象限面积 备用题 解： 1. 求曲线所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 又 故在区域 分析曲线特点 2. 解:与 x 轴所围面积 由图形的对称性 ,也合于所求. ? 为何值才能使与 x 轴围成的面积等 故 3. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与所围成 得 所围区域的面积为 设平面图形 A 由与所确定 , 求 图形 A 绕矗线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 4. 若选 y 为积分变量, 则