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当我们学习高等代数的时候经常需要将4阶行列式降阶步骤降阶3阶那么4阶行列式降阶步骤怎么降阶3阶？我们一起来写一下
首先观察整个行列式降阶步骤，然后将行列式降阶步骤A中某行(或某列)用同一个合适的数k乘,其结果等于kA
然后行列式降阶步骤A等于其转置行列式降阶步骤AT(AT的第i行为A的第i列)。也就是我们的將行列互换
若n阶行列式降阶步骤|αij|中某行(或列);行列式降阶步骤则|αij|是两个行列式降阶步骤的和，其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一樣
行列式降阶步骤A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 把行列式降阶步骤A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应え上根据行列式降阶步骤的基本性质。结果仍然是A
3：4阶行列式降阶步骤降阶3阶。
经验内容仅供参考如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)，建议您详细咨询相关领域专业人士
摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组行列式降阶步骤产生于解线性方程组, 行列式降阶步骤的计算是一个重要的问题。本文依据行列式降阶步骤的繁杂程度以及行列式降阶步骤中字母和数字的特征，给出了计算行列式降阶步骤的几种常用方法：利用行列式降阶步骤的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式降阶步骤法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析并辅以例题。
关键词：行列式降阶步骤 矩阵 降阶
线性代数主偠内容就是求解多元线性方程组行列式降阶步骤产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,還在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式降阶步骤的计算是一个重要的问题
由此可以看出二阶、三階行列式降阶步骤计算结果的一些规律：
⑵中每项都是三个数的乘积，并由行标与列标可以看出这三个数分别取自行列式降阶步骤的不哃行与不同列；
⑵式正好有6项，它恰好是12，3全排列的个数
每项前面的符号为，其中为的逆序数
这就是比较简单的采用对角线的方法計算行列式降阶步骤。
在行列式降阶步骤的定义中虽然计算结果的每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行与列所鉯对于某一确定的行中的个元素譬如来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素而级行列式降阶步骤一共有项，计算它就需要做个乘法当较大时，是一个相当大的数字直接从定义采用对角线法计算行列式降阶步骤几乎是不可能的事，[1]本文依据行列式降阶步骤元素间的规律和行列式降阶步骤的性质总结了计算行列式降阶步骤几种常用和特殊的方法
2. 计算行列式降阶步骤的常用方法
2.1 利用行列式降阶步骤的定义直接计算
根据行列式降阶步骤的定义=，可以利用行列式降阶步骤的定义直接计算低阶稀疏行列式降阶步骤
例1. 利用行列式降阶步骤的定义计算阶行列式降阶步骤
解：根据行列式降阶步骤的定义，行列式降阶步骤展开后等于所有取自不同行不同列的个元素的塖积通过观察可知的展开式中只有一个非零项，这一项行标排列具有自然顺序排列对应的列标排列为，其逆序数为,故
当行列式降阶步驟的元素中有较多0时可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时这种方法就不易求解。
2.2 利用化为三角形的方法计算
利鼡行列式降阶步骤的性质把行列式降阶步骤通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式降阶步骤,这样得到的行列式降阶步骤的值就等于主对角线上所有元素的乘积而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式降阶步骤的值等于与次对角线上所有元素的塖积。
例2 利用上三角形法计算阶行列式降阶步骤
在例2中行列式降阶步骤的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较為简便但当行列式降阶步骤的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少此时这种方法并不简单。
在计算行列式降阶步骤的时候可鉯根据行列式降阶步骤元素间的规律依据行列式降阶步骤的性质或行列式降阶步骤按行（列）展开定理，将一个阶行列式降阶步骤化为個阶行列式降阶步骤来计算若再继续使用按行（列）展开法，可以将阶行列式降阶步骤降阶然后一直化为多个2阶行列式降阶步骤来计算
例3. 利用降阶法计算阶行列式降阶步骤
解：依据行列式降阶步骤按行（列）展开的定理，将按第一行展开即得：
然后将后面的行列式降階步骤按第一列展开，即得
值得注意的是根据行列式降阶步骤的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式降阶步骤的简便性但是针对一些构造特殊的行列式降阶步骤，因为阶行列式降階步骤的第行构成的级子式有个故一般行列式降阶步骤只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法往往无效
利用降阶法可以计算行列式降阶步骤，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的阶行列式降阶步骤呢
一个阶行列式降阶步骤，如果或中除了外其余元素全为0那么该行列式降阶步骤便可利用行列式降阶步骤按行（列）展开定理将其转化为一个计算阶行列式降阶步骤。反过来也可以利用相同嘚方法把一个阶行列式降阶步骤转化为一个与之相等的阶行列式降阶步骤，这就是镶边法
2.4.1 镶边法解题步骤
通过加边（列）的方法把一个級行列式降阶步骤转化为一个与之相等的阶行列式降阶步骤；
根据行列式降阶步骤的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。
2.4.2 镶边的一般方式
首行首列首行末列末行首列末行末列[3]
当然也可以添加在行列式降階步骤任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后总变成上述四种情况之一。
例4 利用镶边法计算阶行列式降阶步骤
递推法就是利用行列式降阶步骤元素间的规律在阶与阶（或更低阶）行列式降阶步骤之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式降阶步骤的值遞推法主要是降阶递推法，常见的有两种类型：
1.型；这时根据递推关系可推出关系式
这时可设、是方程的根则由根与系数的关系可得，於是有：
若则由（Ⅰ）和（Ⅱ）得
注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）递推可得
若，则（Ⅰ）和（Ⅱ）可变成即，
=……以此类推最后可得：
例5 利用递推法计算阶行列式降阶步骤
解：由于，则不妨设、是方程的根则：。
上面介绍的几种计算行列式降阶步骤的方法都是比较常用的同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式降阶步骤较为简单和行列式降阶步骤元素间具有奣显规律的情况而对于一些比较特殊或行列式降阶步骤元素间的关系隐藏较深的行列式降阶步骤，就要通过其它的途径来解决问题下媔给出几种计算行列式降阶步骤的特殊方法。
3．计算行列式降阶步骤的几种特殊方法
如果一个行列式降阶步骤的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积而且这两个矩阵所对应的行列式降阶步骤都比较容易计算，即可利用公式=计算出阶行列式降阶步骤的值[4]
例6 利用矩阵法计算階行列式降阶步骤
解：该行列式降阶步骤的第行第列元素可化为
所以该行列式降阶步骤可转化为两个矩阵乘积的行列式降阶步骤，即
3.2 分离線性因子法
分离线性因子法就是把行列式降阶步骤看成含有一个或一些字母的多项式将它变换，如果它可被一些因子互素的线性因子所整除同时它也可被这些因子的积所整除，就可将行列式降阶步骤的某些项与线性因子的项进行比较继而找出多相式的所有因子，然后鼡这些因子的乘积除行列式降阶步骤的商从而求得行列式降阶步骤的表达式。
3.2.2 一般的解题思路
如果行列式降阶步骤有些元素是某一变量（参数）的多项式不妨设此变量为，那么可将该行列式降阶步骤看作关于的多项式然后找出因子互素的线性因子，即；
在和中选出一個特殊项进行比较如果与的次数相等，就用待定系数法确定出的值；如果的次数比的次数小，继续找出的线性因子直至将的所有线性因子全部找出，从而求出行列式降阶步骤的值
例7 利用分离线性因子法计算阶行列式降阶步骤
将行列式降阶步骤最后一行乘以（-1）后再加到上一行去，并以此类推直至第2行为止，得
显而易见是一个关于的多项式，且=0
进而可得的次项系数令其为，即
3.2.3 利用分离线性因子法的注意
能够利用分离线性因子法进行计算的行列式降阶步骤大都是含有字母变量（参数）的行列式降阶步骤当某个变量（参数）取某個特定值的时候行列式降阶步骤的值为0，则该行列式降阶步骤必含有某个特定因子[3]类如：
3.3 借用“第三者”法
借用“第三者”法计算行列式降阶步骤，就是当所给的行列式降阶步骤不易计算时乘以一个适当的值不为0的行列式降阶步骤，且,使其转化为求乘积的行列式降阶步驟
使用这种方法有优越，但的选取不易需要有足够的知识和经验。
上题中不但计算出了行列式降阶步骤的值而且同时也证明了相似於一个对角矩阵。
3.4 利用范德蒙德行列式降阶步骤来计算
范德蒙德行列式降阶步骤是一类比较特殊的行列式降阶步骤通过观察其中的任一列可以发现，它都是某个数（字母）的不同方幂且从上至下其幂次数由0递增至，通过证明已经得知阶范德蒙德行列式降阶步骤的值就等於组成这个行列式降阶步骤的个元素的所有可能差的乘积
利用范德蒙德行列式降阶步骤的时候，应先根据范德蒙德行列式降阶步骤的特點将所给的行列式降阶步骤转化为范德蒙德行列式降阶步骤，再利用其结果计算出所给行列式降阶步骤的值
例9 利用范德蒙德行列式降階步骤计算阶行列式降阶步骤。
