定积分的应用求面积几何应用问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-02 07:45 标签： 定积分的应用求面积

　　解微分方程 L’(x) = 1/x直接用积分法求解，得到L(x) = lnx；用微积分第二基本定理可直接写作：

　　如果我们把这个函数作为对数的定义，就可以很容易地解释对数的性质

　　夲例可以得到几个性质：

　　这是对数的基本运算公式之一，ln(ab) = ln(a) + ln(b)如果用微积分作为对数的定义，则：

　　结合定积分的应用求面积性质：

　　这样问题就转换成了如何证明  

　　这个证明需要一个称为变量替换法的技巧通过该方法巧妙地给出证明。

　　可以将积分的上下限看成b和1放缩了a倍：

　　由此知道了转换后的积分上下限：

　　这是对数的另一个基本运算公式ln(1/a) = -ln(a)

　　由此知道了转换后的积分上下限：

　　定积分可用来求得两条曲线间的面积，如下图所示求g(x)和f(x)在a，b之间围成的面积：

　　我们将待求面积切割成小矩形矩形的宽度是dx，高喥≈f(x) – g(x)所以所求面积：

　　a,b,f(x),g(x)代表了图形的四个边界，知道这些边界就可以确定面积也就是求得定积分的应用求面积值。这些条件都是必须的如果漏掉上限或下限，就不知道左右边界如果连边界都不知道，如何求出面积同理不能漏掉f(x)和g(x)，它们代表了上下边界

　　佷容易求得两条曲线的交点是(4, 2)和(1, -1)，图形如下：

　　首先想到利用前面的公式计算面积但问题在这里似乎没那么简单。当我们纵向切割矩形时发现矩形并不总是由x = y2和y = x – 2围成；在x < 1时，仅由x = y2围成如下图所示：

　　上图的绿色虚线将面积分为左右两块。

　　首先将x = y2转换为x的函數：

　　现在换一种更简单的解法我们尝试横向切割矩形：

　　这需要将原函数变为x关于y的函数，相当于将图像逆时针旋转90度：

　　计算下图sinx和cosx前两次相交所围成的面积

　　由此可见定积分可以计算我们过去无法计算的面积。 

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