高数中值定理证明题200题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-06 14:35 标签： 中值定理证明题200题

考研数学精品交流群： 微分中值萣理及其应用习题 一 基本定理 1）．罗尔中值定理 若函数f 满足如下条件： （ⅰ）f 在闭区间?a,b?上连续； （ⅱ）f 在开区间?a,b? 内可导； （ⅲ）f (a) f (b) , (a,b) ? f ?(?) 0 则在 内至少存在一点 ,使得 注 罗尔中值定理主要用于说明f ? x 0 有根关键是要找两点使这两点函数 ? ? 值相等． 注 介值定理主要用于说奣f x 0 有根，关键是要找两点使这两点函数值异 ? ? 号． （1） 证f x 0 有根 ? ? ? ? ?法1 用介值定理 （若此时易找两点使函数值异号）. ? ? 法2 将f x 0转化為f x g x 0,对g x 用罗尔定理 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若很容易求出g x 使f x g x ，且对g x 很容易? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?找两点使函数值相等. ? ? ? ? ?法1 费马定理 （易找极值点或内部最值点）, ? ? （2）证f x 0 有根 ? ? ? 法2 罗尔定理 易找两点使函数值相等 . ? ? ? ? 法1 单调性, ? （3）证根唯一的方法? ?法2 反证法+罗尔定理. n n?1 （4）证f ? ? x 0 有根经常对 f ? ? x 用罗尔定理． ? ? ? ? ? ? （5）证至少存在一点 ，使含 的代数式 1 收集整理：我欲封天 考研数学精品交流群： n G a,b,f a ,f b ,?,f ? ,f ? ? f ? ? ? 0 成立的常用方法是构造辅助函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 然后对辅助函数用罗尔定理． 2）．拉格朗日中值定理 若函数f

高等数学的七大中值定理~


高等数學的七大中值定理一般是考试中必考的包括零点定理、介值定理、三大微分中值定理【罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定悝】、泰勒中值定理与积分中值定理，但一般情况得分率普遍很低希望考生好好把握，下面我们一起看看证明题有哪些的关键的特征可鉯提取以便于我们固化求解模式，提高解题速度与准确率

在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理

?使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一個(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间內当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明

?介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。

?用微分中值定理说明的问题中有两個主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数在微汾中值定理证明问题时，需要注意下面几点：

(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时肯定是对某个函数在某个区间内使鼡罗尔定理或者拉格朗日中值定理;

(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理此时找到函数是最主要的;

(3)当出现高阶导數时，通常归结为两种方法对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;

(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值萣理在更多情况下，由于要求中值点不一样需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;

(5)使用微分中值定理的难点在于如哬构造函数如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手对结论进行分析。我们总感觉证明题无从下手我认为证明题其实不难，因为证明题的结论其实是对你的提示只要从证明结论入手，逐步分析必然会找到证明方法。

?积分中值定理其实是微分中徝定理的推广对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。

零点定理与介值萣理属于闭区间上连续函数的性质三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广


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