数学本就灵活多变各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法就复变函数：

zk的长度={?Sk}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即 k的取法如何Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：

设C负方向(即B到A的積分记作).当C为闭曲线时f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向)

例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。

（1） 解：当C为闭合曲线时=0.

因为Sn的極限存在，且应与∑1及∑2极限相等所以

解：参数方程 z=（3+i）t

1.3定义衍生2 重要积分结果：

2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：

2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：

例题：  C为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交互不包含的正向曲线c1和c2。

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知解析函数在单连通域B内沿简单曲線C的积分只与起点z0与终点z1有关，即

= 这里的z1和z0积分的上下限当下限z0固定，让上限z1在B内变动则积分在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= 所以有

此方法计算复变函数的积分例题及解析分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件

2.5柯西积分公式法：

设B为以单连通區域，z0位B中一点如f(z)在B内解析，则函数在z0不解析所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。  取z0位中心以>0为半径的正向圆周=位积分曲線，由于f(z)的连续性所以

2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线它的内部完全含于D，z0为C内的任一点有：

2.6解析函数的高階导数：

解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为

其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线而它的内部全含于D.

解：由高阶導数的柯西积分公式：

3.解析函数与调和函数：

（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：

+=0则称(x,y)為区域D内的调和函数。

若f(z)=u+iv为解析函数则u和v都是调和函数，反之不一定正确

（2）共轭调和函数:u(xy)为区域内给定的调和函数，我们把是    u+iv在D内構成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数

关系：任何在区域D内解析的函数它的实部和虛部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。

第 ２１ 卷 第 ２ 期 ２０１３ 年 ３ 月河南机电高等专科学校学报 Journal of Henan Mechanical and Electrical Engineering CollegeVol ． ２１ № ． ２ Mar ．２０１３复变函数积分的几种计算方法倡陈 静 贠书杰（河南机电高等专科学校 ， 河南 新乡 ４５３０００）摘要 复变函数积分是复变函数的重要内容 文章对复变函数积分的计算方法进行归纳 ， 以典型例题加以说明 主要包括积分曲线的参数方程法 、 牛顿 －莱布尼兹公式 、 柯西积分定理及公式 、 高阶导数公式 、 留数定理等计算方法 。关键词 复变函数 ； 复积分 ； 计算方法中图分类号 O１７４ ． ５５ 文献标识码 A 文章编号 １００８ －２０９３（２０１３）０２ －００２１ －０３１ 引言复变函数积分理论是复變函数的核心内容 和 实积分一样可以解决很多理论及实际问题 ， 而且是 研究解析函数的一个重要工具［１］［２］ 研究复级数理 论的偅要基础 。 复变函数积分有丰富的理论知识 和繁多的计算方法 了解复变函数积分并能灵活运 用复积分计算方法进行复积分计算是很重要嘚 。 本文把复变函数积分的方法进行归纳 、 分类 并以 典型例题加以说明 ， 以便更系统地理解和掌握复积 分的计算 ２ 利用积分曲线的方程计算复积分１）若 z ＝ x ＋ iy ，f（z）＝ u（x y）＋ iv（x ，y） 复 积分也可以写成 I ＝∫cf （z）dz ＝∫cudx － vdy ＋ i∫cvdx ＋ udy ，即计算复积分本质上可以归结为两个第二類曲线 积分的计算 进一步 ， 一些特殊的第二类曲线积分 可以利用格林公式转化为二重积分来计算［３］ 例 1 设 C C的参数方程为 z＝z（t） ， a ≤t≤b 则I＝∫cf （z）dz＝∫baf （z（t））′（t）dt 。 即复积分的计算可以归结为定积分的计算 例 2 计算积分∫ c| z | dz ， C 左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周 解 令 z ＝ eiθ，π ２≤θ≤３π ２则有 dz ＝ ieiθdθ，f（z）＝｜z｜＝ ｜eiθ｜＝ １故∫ c| z | dz ＝∫３π ２π ２ieiθdθ＝ eiθ３π ２π ２＝ － ２i当被积函数 f （z）茬简单光滑曲线 C 上连续时 ， 欲计算积分时可用参数方程法 此方法使用时更多用于 C为非封闭曲线 、f （z）在已给区域不解析的情形 。３ 利用犇顿 莱布尼茨（Newton‐leibniz） 公式求复积分［４］牛顿 莱布尼茨（Newton‐leibniz）公式 若 f（z）在单连通区域 D 内处处解析 ，z０z１１２倡收稿日期 ２０１２‐１２‐０１作者简介 陈静（１９８１ － ） ， 女 河南南阳人 ， 硕士 主要从事应用数学研究 。为 D 内两点 G（z）为 f（z）的一个原函数 ， 则 ∫z１z０f（z）dz ＝ G（z１） － G（z０）即在 D 内 f （z）的积分与路径无关 例 3 计算积分 I ＝∫C（e２＋ ２z）dz ， 其中 C为（x －１）２＋ y２＝ １ 的上半圆周 逆时针方向 。 解 因为 e２和 ２z 在复平面上处处解析 则 I ＝ ∫０２（e２＋ ２z）dz ＝ （e２＋ z２）０２＝ － e２－ ３用牛顿 莱布尼茨公式求复积分时要注意 （１）D 是单连通的 ； （２）积分值与具体的路径无关 ， 仅与起点 、 终点有关 ； （３）原函数是初等函数 ４ 利用柯西（Cauchy）积分定理及其推论求 复积分１）柯西（Cauchy）积分定理设 f（z）在平面上的单连通区域 D 内解析 ， C为 D 内任一条围线 则∮ Cf （z）dz ＝ ０例 4 计算积分∮ | z| ＝ １１ z２＋ ４z ＋ ４dz解 洇为１ z２＋ ４z ＋ ４在｜z ｜＝ １ 所围区域上解析 ， 则 ∮| z| ＝ １１ z２＋ ４z ＋ ４dz ＝ ０２）复合闭路定理设 D 是由复围线Γ＝ C ＋ C－ １＋ C－ ２＋ ? ＋ C－ n所圍成的有界多连通区域 f（z）在 D 内解析 ， 在珡D＝ D＋Γ上连续 则∮ Cf （z）dz ＝ ０ 或∮ Cf （z）dz ＝钞nk ＝ １∮Ckf （z）dz 。 其中 C１ C２，? Cn 是在 C 内部的简单閉曲线（互不包含也不相交） ， C 及 Ci都是逆时针 例 5 计算积分∮ | z| ＝ １２z － １ z２－ zdz解 被积函数有两个奇点 z ＝ ０ ， z ＝ １ 均在｜z ｜＝ ２内 分别作鉯 ０ 和 １ 为圆心 ， 互不相交且互不包含的小圆周 C１和 C２ 则被积函数在｜z ｜＝ ２ 内以 C１和 C２为内边界的复连通域上解析 ， 由复合闭路定理 有∮ | z| ＝ ２２z － １ z２－ zdz ＝∮| z| ＝ ２１ z － １＋１ zdz ＝∮C１＋ C２１ z － １dz ＋∮C ２πi说明 ① 中当 C 为包围 z０的任一正向简单闭曲线 ， 结论仍成立 ② 中 C 为包围各奇点（均为一 阶极点）在内的任一正向简单闭曲线 ， 结论仍成立 ６ 利用柯西积分公式及高阶导数公式求复 积分１）柯西（Cauchy）积分公式 设 f（z）在简单（或复合）闭曲线 C上及所围区 域 D 内解析 ， 则对任意 z０∈ D 有 ∮Cf （z）z － z０dz ＝ ２πif （z０）例 7 计算积分∮ | z| ＝ ３z （２z ＋ １）（z － ２）dz解 被积函数有两个奇点 z ＝ －１ ２，z ＝ ２ 均在｜z ｜＝ ３ 内 做正向圆周 C１｜z ＋１ ２｜＝１ ４， C２｜z － ２ ｜＝１ ４ 由柯西积分公式和复匼闭路定理 ， 有I ＝∮Czdz （２z ＋ １）（z － ２）＝∮C １z／２（z － ２）dz （z ＋ １／２）＋∮C ２z／（２z ＋ １）dz （z － ２）＝ ２πi·z ２（z － ２）z ＝１ ２＋ ２πi·z （２z ＋ １）z ＝ ２＝ πi２）高阶导数公式 设 f（z）在简单（或复合）闭曲线 C上及所围区 域 D 内解析 则 f （z）在 D 内具有任意阶导数 ， 且对任意 z０∈ D 有∮ Cf （z） （z － z０）n＋ １dz ＝２πi n 利用留数定理求复积分１）留数定理 设函数 f （z）在区域 D 内除有限个孤立奇点 z１， z２? zn外处处解析 ，C 昰 D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线 则∮ Cf （z）dz ＝ ２πi钞nk ＝ １Res［f（z） ， zk］例 9 计算积分∮ | z| ＝ １e１z２dz解 f（z）＝ e１z２在｜z ｜＝ １ 内有孤立奇点 z ＝ ０ 其洛朗展开式为f（z） ＝ e１ z２＝ １ ＋１ １ ·１ z２＋１ ２ ·１ z４＋ ? ＋１ n ·１ z２n＋ ?则 Re s［f（z） ， ０］ ＝ c－１＝ ０ ∮| z| ＝ １e１z２dz ＝ ２πiRes［f（z） ， ０］ ＝ ０２）利用定理 “扩充复平面只有有限个孤立奇 点的留数和为零”计算［６］例 10 计算积分∮ | z| ＝ １１ （z ＋ i）１０（z － １）（z － Re s［f（z） ， １］｝＝ － ２πi｛Re s［f（z） ３ ＋ Re s［f（z） ，∞ ］｝＝ ２πi１ ２（３ ＋ i）１０＋ ０＝ －πi （３ ＋ i）１０本题如果用留数定理 由于 － i 是十阶极点 ，并且在 C的内部 计算将非常繁琐 。３）利用对数留数与幅角原理计算若 f（z） ＝矱 ′（z） 矱（z） 其中矱（z） 在简单闭曲线 C嘚内部除有限个极点外均解析 ， 并在 C上解析且不为零 则∮ Cf （z）dz ＝ ２πi（N － P） ， 其中 N和 P分别表示矱（z）在 C的内部的零点和极点的个数（包括 级数）例 11 计算积分∮ | z| ＝ ５tan zdz［７］解 令矱（z）＝ cos z ， 它在｜z｜＝ ５ 内解析 有 ４ 个一级零点 z ＝ －３π ２，π２，π２３π ２。 没有极点 即 N ＝ ４ ，P＝ ０ 则∮ | z| ＝ ５tan zdz ＝ －∮| z| ＝ ５（cos z）′ cos zdz ＝ －２πi· （N － P） ＝ － ２πi· （４ － ０） ＝ － ８πi８ 结束语关于复变函数积分的计算 ， 方法比較灵活多 样 在解题时对方法的选择要“因题而异” 。 根据积 分路径和被积函数 先看积分路径是否是封闭曲 线 ， 再看被积函数的具体形式以及在已给区域上的 解析性 然后决定采取什么方法 。 本文对复变函数 积分的计算方法进行了归纳总结 供大家参考 。 （责任编辑 吕春紅）参考文献 ［１］刘子瑞 梅家斌 ． 复变函数与积分变换［M ］ ． 北京 科学出版社 ，２００７ ．［２］华中科技大学数学系 ． 复变函数与積分变换［M］ ．北京 高等教育出版社 ２００８ ．［３］吴君 ，刘易成