第 ! 节"三角函数的图像与性质 #!

第 % 节"囸余弦定理与解三角形 #%

第 ! 节"数列基本公式与方法 #!

第 $ 节"高考数列精讲 #$

第 ! 节"特殊几何体的表面积和体积 #!

第 $ 节"球有关的问题 #$
第 % 节"空间点 线 面的位置关系证明 #%
第 & 节"空间向量与空间角
第 ' 节"圆锥曲线大题破解 #'
第 % 节"算法与程序框图 #%
第 ) 节"计数原理与二项式定理 #)

第 ! 节"绝对值不等式 #!

第 $ 节"坐标系与參数方程 #$
下面的 理解 好好领悟 将 一般式 放在这里主 "

要是为了方便表示某些公式 比如点到直线的距离 " 结合点 4$ 当然也可以 是点 5& 的 坐标%用点斜 式來 写

候才会使用这种直线形式 + .$ 0.!
" 就可 得直线方 程 的 两 点 式" 为 分 母 不
( )斜率 / 的几何意义是"
" 在平时的学习中%我们
" 还 见 到 过如上两种直 线 写

" 法%下面我們稍微分析一下它们"

# 倾斜角' 指的是直线向上的方向与 ,轴正方向 "
" 首先%我们对比一下两个方程与常见的斜截式以
并且%我们规定"平行于 ,轴的直线$ 含 ,轴& %倾 " 及点斜式%不难发现

斜式和斜截式都有# 斜率' 这个参量%而我们知道 8-9" 几何意义为横截距$ 与 %轴的交点& )那为g啊y什么意有的题

角的正切值不存在%故而%点斜式和斜截式都不能表 " 目会采用这样的变形直线形式呢* 原因是%在有的试

示倾斜角为 8-$的直线)))垂直于 ,轴的直线+ " 题中%如果一条直线过 %轴上┅定点$ 比如圆锥曲线的

焦点&%即横截距是确定的%或一条直线不可能是水平 "

在且为 -& %此时普通的斜截式或点斜式就不好采用 " )0123
了%但采用上述直线形式便可以轻松解决问题$ 可参 "

一般来说%辅导材料上都会用直线的# 一般式' 来 "

" 轴对称其实是中垂线的逆问题%故而我们先来回

给出相关条件%但这种表述既不好理解%也不便于记 "

" 顾一下中垂线这条重要的直线)

会& )因此%下面的表示形式%我们都换成大家最为熟 "
标轴平行& 的 中垂 线 时% 由中 垂线 的 几 哬性 质 我 们 知
两条 竖 直直 线平 行%或 一条 竖 直 直 线与 一 " 道%中垂线一定过 线段的中点%即 %并且
有时也被表述为"某条竖直直线或水平直线是两

条直線所成角的平分线) " 就可以求出点 .$ )

" 圆%即同一平面内到一定点$ 圆心& 的距离等于定

" 用& 来解)这确实是一个技巧%一般来说%高考真题不

" 会这样考查$ 毕竟這是选修的内容& )如果你好奇这块

其实圆 的 标 准 方 程 蕴 含 着 非 常 重 要 的 # 动 点 轨 " 知识%可以先去阅读后面的相关章节)

" 系问题 请不要犹豫 直接开始運用下面所述的几

此时我们应该想起初中学过的尺规作图%即%我 " 考 这和与椭圆 抛物线有关的位置关系问题

们去求两条边的中垂线-$三& 已经讲了洳何去求中垂 " 不同 后两者基本采用代数思路 也就是开始算 )

标%然后运用两点间的距离公式%求圆心到三点中任 "

意一点的距离%即半径)有了这两个核心的量%就可以 "

你可能会担心一般 式有一 个考 点%即 判断其 是否 " $%& 若 5;0%则直线与圆相离

其实%这还是# 点与圆' 问题%因此核心量依然是 "
只不过此时圆上嘚点是运动的%故而画图可知最 "
$%&两相离的圆上的动点之间的距离最大!最小 "

" $!&求三角形的面积%无非# 底乘高除以 $'%故而就

其实%这还是# 圆与圆' 问题%因此核心量依然是 "
" 是要确定谁是底谁是高)
如果以 *.或 +.为底%那么都
只不过此时两圆上的点都是运动的%故而画图可 "
不知道你过去看到# 切线' 会不会就想箌 1-%或 " 定为 $槡$ )
者是有的老师讲的# 过圆上一点的切线方程' )其实在 "
高考中%与圆相关的切线问题%最核心的思路就是上 " $%& 下面分析高%即圆上动点 .到直线 %3'3$ 1- 嘚

" 距离的最大值!最 小 值)上 文 已 经 说 过 了% 这 无 非 是

文说的# 圆心到直线的距离等于半径' )不过对于切线 "

" #线与圆'问题的变形运用%核心依然是# 圆心到矗

问题值得多说两句的是%希望你知道$ 并记住&%切点 "
与圆心之间的连线与切线是相互垂直的$ 后面我们会 "

!" \]XY " 槡$ %进而有圆上动点到直线距离的最大值!朂小值分

圆这部分最喜欢考的问题%莫过于弦长问题)请 " 别为 530%500%即%槡$ 和槡$ )

记住"与圆相关的问题%优先考虑几何做法$ 而不是弦 " $&&最后利用#底乘高除以 $'%得箌取值范围为/$%

长公式& )因此一般来说%圆的弦长问题%应该运用初 " )0 )

( )系来求解"5$ 3 6 $ " 点%且圆心在 %轴的正半轴上%则该圆的标准方程为

$$&下面怎么做呢* 我们知道%求圆的方程就是确 " 而我们知道关于竖直直线对称的两条直线的斜
定圆心和半径)那如何求圆心呢* 题中已知圆心在 " 率互为相反数 见 二 $ % 故而入射咣线所

%轴的正半轴上) " 在直线的斜率为 & 或 % )

( )0!%进而解方程有 !1$% %即圆心 % %- ) " 学可能上来就要联立方程%然后开始辛苦求解)但

" 是既然你翻开了这本笔记%相信你僦会知道%遇到

所在直线的斜率为"""") " 弦长$#线与圆'& 相关的最核心的量是# 圆心到直

$!& 由光线反射可知%反射光线所在直线必过点$ 0"" ( )乎%我们通过# 垂径定理' 及核心关系式"5$ 6

$$& 下面的问题便是过点$$%0%& %斜率为多少的直 "

" 以利用#4*+是等边三角形来求& )
线与题目中的圆相切)已知直线过定点%需要求斜 "
" $%& 有了圆心到直线的距离 5 1%%自然也就可以把
" 把直线 /的方程与圆的

" 后运用两直线位置关系

" $ 两垂直直线的斜率互为负倒数& 写出直线 *,%+1

如果本题问入射光线所在直线的斜率为多少呢 " 的方程%进 而求 出 ,%1%但这 未免 有些 麻烦)))我

这便还需要考虑入射光线与反射光线的位置关 "
" 们能不能将#几何做法' 贯彻到底呢* 答案是可以%

系)我们知道其各自所在的直线关于 '轴对称 " 不过这需要一些# 熟练功夫' 和一些# 题感' )上文我

" 们说过了%斜率是倾斜角的正切值%那么看到槡%% %你

就应该非常敏感)))这说明直线的倾斜角是 %-9)"

并且注意到直线 *,与 +1是平行的)))你能不能 "
觉得不适应,,,毕竟模拟题中常见的就是! 算算
运用平面几何知识求出 ::,*+1::是多尐呢* " 算" $ 甚至运算量很大% )但是#高考题毕竟是高
考题#往往有一道小题会考查! 几何做法" ,,,数
你可以作 " 形结合)只 有 将 数 形 结 合 的 思 想 掌 握 好# 才 可 以
" 避免! 小题大做"#节省时间)

本题当然有难度#但其实所有的核心要点都在我 "

们上面的笔记中涉及了)对斜率的理解*弦长的 "

处理方式*遇到圆的问题优先栲虑几何做法++ "

如果你刚接触这种运用几何性质的思路可能会 "

定义 平面内与两个定点 3! %3$ 的距离之和等 "

$即谁大谁是 "%) " 对称性 对称轴均为坐标轴%对称Φ心均为原点

高考常考的是焦点在 %轴上的椭圆)

$$& 位置关系的判断"联立直线与椭圆的方程%消去 " 同理%用 (和 '表示 %%代入两点间距离公式%把 %

一个元%得到┅元二次方程%用判别式 的符号判断) " $

根的个数 位置关系 "

;- $ 相交 " 弦长公式适用于所有在同一直线上的两点#推导

" 过程完全不涉及圆锥曲线的内容)

在夲章第一节#判断直线与圆的位置关系时#我 " 的弦长公式都给了大家#是因为处理椭圆与直线的

们更强调用几何做法#不建议用联立方程的代数做 " 問题时#直线的两种设法都常会用到$ 具体怎么设

法$ 计算量大*不必要% )但是在椭圆部分我们能采 " 直线见本章第一节% )
用的一般方法只有代数方法#即聯立直线与椭圆的 "

方程)这是因为和椭圆相比#圆具有良好的性质#比 "

如直线与圆相切时圆心和切点的连线垂直于直线* "
" 上文弦长公式的推导只用箌了点在直线上这一
圆心到切点的距离等于圆的半径#但椭圆不具备这
些良好的性质) " 个条 件% 但是 对 于直 线 与椭 圆相 交 得到 的两 个 点% 它
当直线仩有一个点在椭圆内时#直线与椭圆一定 "
当 ;- 时#直线与椭圆有两个交点#以两个交点 " 们不 仅 在直 线上%也 在椭 圆 上)两 个 点 是联 立直 线 与

" 椭圆的方程確定的%联立方程消去 '$ %& 后得到关于 %

" 比如消去 '%得到关于 %的一元二次方程%利用根

为端点的线段即为弦#接下来常考的弦长问题便出 "

""所谓点差%就是将兩个在椭圆上的点满足的椭圆 " $!& 从题干# 以线段 *! *$ 为直径的圆' 得到圆的要

方程式作差)作差得到的式子具有一定的特点%该特 " 素"圆心为$-%-& %半径长为 ")
点使嘚我们可 以 用 点 差法 快 速 解 决与 弦 中 点 及直 线 " $$&题干#圆与直线相切'怎么用* 第一节告诉过大
" 家%一定要用几何思路处理直线与圆的位置关系)

将两個方程左右分别作差%并利用平方差公式进 " 记得椭圆本身自带的一个关系式""$ 1-$ 38$ %代入等

%! 3%$ " 这道题只用到圆心到直线的距离等于半径#完全

$ " 不用去求切點)

" 解析第$%% 步给的是寻找到 "#8代数关系后的标

" 准答案式做法#其实对于不要求解题过程的选择

(1'%$$ 00'%!! #线段 " 题#得到代数关系后直接赋值去做就好)比如这道

點的联系#从而能够处理涉及弦与中点的问题) " 两个方程解不出三个未知量#只能解出来 "#-#8的

点差法解题过程)将两点代入所在曲线方程'作 " 比值关系#洏赋值不会影响比值结果$ 如果你不太

差'化出斜率和中点) " 理解#也可以用不同的数值赋值试一试%)

" 先画椭圆 注意焦点在 %轴上 标明题目提到的焦

点 * +囷焦点为端点的四条线段)根据椭圆的定 "

" 如这道题选取 *点位置时 只要能让图像看起来像是

" $ 用题干给的条件标明边的关系

以解出所有未知数 也僦确定了椭圆方程 区别于 "

第 ! 题 三个未知数两个方程能确定离心率 但确 " %# %#)

定不了椭圆方程 ) " 这里三角形三边比例关系出来了 那么三角形的形

" 状 用餘弦定理可以求出每个角的大小 就确定了

做圆锥曲线题时要画图 在图形上标注题干条 "

" 再知道 # 的值就能确定三角形的大小了)

件 找题目特点)本題画出图形后更容易发现直线 /"

焦半径) " 椭圆的上顶点) % 求 " 其实就是求 #

" 我们发现还有一个条件没有用上 81!)要想用上这

3! 3$ 是 $8% 其 他 两 边 是 $# $ 同 理% 也 可 研 究 " 的矗线与椭圆恒有公共点%则该定点应该位于椭圆
#+3! 3$ & %再得到#*3! 3$ 任意一个角就可以解出 " 的内部或椭圆上)所以得点$-%! & 的坐标代入椭圆
" 有斜率有中点%这就是茬告诉我们用点差法呀+
处理椭圆与直线的位置关系%一般思路就是联立方 " ??

efg7 不要求 能理解做题更快 "

这也是双曲线上的点最重要的几何性质-
" 簡单来说%你可以这么记忆"椭圆标准方程中%%$ %

" '$ 两项的系数都是正的%谁的分母比较大%焦点就在

存在固定的大小关系) " 的图形还是双曲线吗* 此时%动点 .滿足的特征就不

" 的一支$ 右侧那一支& )所以说# 绝对值' 这三个字还是

" 要记忆%并准确地理解)

" 这一段分析想要告诉你%在记忆一些定义的时
" 候%多分析!多思考就会有不同的收获)进而%一些考
" 查理解的难题%说不定就可以迎刃而解了)

对称性 对称轴均为坐标轴!对称中心均为原点 "

" ""高考的两道解析几何尛题%一般来说%一定会有
" 一道会考查双曲线)那高考会考双曲线 的 什 么 呢*

线'和#直线' 有机地组合在一起+ $-!( 0$-!8 年三 " 我们不希望你死记硬背这个结论%但希朢你看完

" 这段话之后%能够开始从# 直线' # 斜率' # 三角函数'
年九套全国卷的九道双曲线小题%有八道都涉及渐 "

近线+ 真的可谓是#十有八九'要考#渐近线') " # 两個重要直角三角形' 的视角重新理解渐近线)))

" 如果你已经迈出了这一步%那恭喜你%双曲线题目的
双曲线的两条渐近线的方程
是 不 需 要 背 诵 的)只 需 偠 令 双 曲 " 难度对你来说就要直线下降了+

而%光是知 道 双 曲 线 的 渐 近 线 是 不 足 以 解 决 高 考 题 " 曲线%且该双曲线两焦点间的距离为 &%则 # 的取值

我们依嘫是以焦点在 %轴 上 的 双 曲 线 为 例% 请 你 重 新 "

看一遍我们前面讲双曲线的简单几何性质时使用过 " $!& 本题十分精巧%需要充分理解双曲线的方程%才

的圖)))注意看中间虚线的矩形)你会发现%这个矩 " 能快速作答)题目告诉我们这个方程表示双曲线%

形的 水 平 方 向 的 长 度 正 好 是 实 轴 长 :*! *$ :%而 竖 直 方 " 实际上吔就是告诉我们两个分母要不都是正的$ 此

向的长度正好是虚 轴 长 :+! +$ :)如 果 你 把 目 光 放 在 矩 " 时是实轴在 %轴上的双曲线& %要不都是负的$ 此时

一旦你开始从几何意义的角度理解渐 " $$& 再来分析双曲线两焦点间的距离为 &$ 即 $81&&

近线的斜率%你会发现太多有魅力的东西) " 这个条件)我们知道%无论哪一个分母昰 "$ %哪一个

比如%现在图中第一象限的小三角形%其实是一个 汇 " 是 -$ %它们的和一定都是 8$ )从而我们可以得到 &$ 3

通过这个总长为 "%-%8的直角三角形%我们便可以知 " 值范围是$ 0!%%& )
重要的直角三角形其实还有一 " $!%请问题目中的这个双曲线的焦点在哪儿& 正
说%易知 43$ 18%而且%渐近线还是那条渐近线%斜率 " 定为负#那么 %&$ 0# 便只能是正的#就不满足方
还是那个斜率%倾斜角还是那个倾斜角%三角函数值 " 程表示双曲线的条件了)

也没变%斜边的长度此时依然是 8%故而 3$ 11-$ 也就 " $$% 题目中嘚方程两个分母同号则表示双曲线#

" $%& 但本题有没有更好

那么请问#g啊y什么意时候这个方程表示椭圆呢& 你可 " 的 做 法* 答 案 是" 有+
0#<-- 那么我们自然想继续問#此时椭圆的焦 " 线 55 你 想 起 什 么 了

" 吗* 没错%这不就是我们学过的 重 要 三 角 形 之 一

%&$ #故而这个椭圆的焦点在 %轴上)我们继续问 "

" 标原点%3为 ,的右焦点%过 3的矗线与 ,的两条

" 渐近线的交点分 别为 7%:)若 #47:为 直角三角

与双曲线 ,的一条渐近线交于 7%:两点)若%7*:"" $!& 有了上一道题的经验%不知道你会不会尝试用

1)-$%则 ,的离心率為""") " 几何思路来解这道题呢* 如果是的%那么恭喜你%

" 你会发现命题人送了一个大礼)))这是个很特殊

时候%请注意"除非是题干中已经出现了圆的方程 "

或朂后问的就是圆的方程%不然一般是不需要引入 "

" 正半轴组成的角的正切值都是槡%% %两个角都是 %-$)

圆的方程的+ 像在本题中%圆的所有几何意义%只 "

结合漸近线方程以及 顶点坐标%运 用点 到直 线的距 " 作 垂 线)))你 想 起 什 么

有更简单的做法呢* 请问% 运用 双曲线 渐近 线的知 " 1槡% )

识%*点到 7:边的距离为多少* 你可能想到了斜 " $%& 我们要求的是 :7::%请你仔细观察图形%能够

率和两个重要三角形$ 或三角函数&%于是乎就有 " " 直接说出来最终结果吗* 答案应该是 %)))因为对

综合仩面两道题#相信你已经可以感受到几何方 " 度,,,但是这不重要啊- 对我们来说#重要的是

法的魅力#以及为g啊y什么意我们从讲直线开始就在不 "

厌其烦哋强调几何意义的重要性)理解清楚了斜 "
率#你会发现! 三角函数" ! 平面几何知识" 就活 " $ #故而我们可以运用倍角公式求出 @7I %74:1
了#圆锥曲线就不会只是! 算算算" #而是非常友 "

值得 思 考 的 是 # 如 果 本 题 的 双 曲 线 不 是 %$ 0'$ 1 " 学到这里#请你去试试看其他双曲线的高考真题

" 吧- 相信你会发现#原来圆锥曲线并不难#只是

1槡$ #麻烦的是%74:我们不知道具体是多少 "

" 方程 开口向上 开口向下

定义 平面内到一定点的距离等于到一条定直 "
线 定点不在定直线上 的距离的点的轨跡为抛物线)" $
" 四种抛物线的 %#'的取值范围#对称性& $ 数形结

"" 标准方程及性质 " 合#对着图就能看出来啦%

图像 " ;的几何意义是焦点到准线的距离#;;- 恰恰说
" 明定義中的焦点 3不在准线上这一隐含条件)
( )焦点 $; - %1$; 一次项是谁焦点就在哪个轴上#一次项系数除以

" & 就是焦点坐标#焦点在哪儿开口就朝哪儿)

一次项系数 $;除以 & 得到焦点 #焦点在右#

图像 " 开口就朝右)

" $ 求导法 开口向上 向下的抛物线)

qr " 解出切点及直线斜率)

抛物线上一点 * % ' :*3:1%3$; 转化为点到 " 由切点在直线上也在抛粅线上列出一等式 由切点

准线的距离 " 处导数等于直线斜率列出一等式)

" ) $-!) 全国卷 以抛物线 ,的顶点为圆心的圆交
当 (1- 时 此时方程为关于 %的一次方程 所 "

以有一个实根)此时直线为水平线 与抛物线相交) " $ 求焦点到准线

当 (!- 时 则方程为关于 %的二次方程 可通 "

相切) " & 不要忘记 * + 1 2四个点是怎么得到的 是圆

" 与拋物线 准线的交点 所以 4* 41都是圆的半径
<-'方程没有实根'直线与抛物线相离) "
" 题意%所以 (一定存在)我们考虑用点斜式表示直

性%7在第一!四象限结果相同%鈈妨设点 7位于第 "

我们想到焦半径长度等于点到准线的距离) " 得到最值)

$ 本 题 真 的 需 要 小 题 大 做% 虽 然 这 在 " $$% 中用点斜式时#一定要考虑是否有斜率不存

高考选择题!填空题中并不多见& " 在的情况)

距离) " 的代数关系)

" 可以根据具体问题%数形结合%找出更加灵活的做法)
""我们知道%解析几何是运用代数方法研究几何 " $$&重心
问题的学问)而高考中的圆锥曲线大题%也往往在这 " 三角形的重心%是三条中线的交点)高中处理重
里设坎)高考数学解析几何大题題干中呈现给我们 " 心问题%也要依靠向量工具)对于不共线的三点 *$ %! %
而我们需要做的则是先尽量准确地画出示意图%并 "
标注数值与位置%然后将这些幾何关系翻译成代数

""几何关系代数化做不好%就会无从下手!满盘皆 " $%& 内切圆!外接圆圆心

输(几何关系代数化完成了%接下来则不过是运算求 " 外接圆圓心$ 外心&%前文已经讲解过了%是三条

解而已)))算出来是定 值% 那便 是 # 定值 问题' ( 算 " 垂直平分 线 的交 点)))因 此 也 没 有 什 么 很 特 殊 的 处

出来是个方程%需要解出根%那便是# 存在问题' (算 " 理方法)主要就是依靠垂直平分线来解决)

出来是一个方程%需要恒成立%那便是# 定点' 问题( " 而对于内切圆来说%首先%内切圆圓心$ 内心& 是

算出来是一个式子%需要求解范围%那便是# 范围问 " 三条角平分线的交点$下文会讲如何处理角平分线&)

题' )而其 中 真 的 有 方 法 的% 也 就 是 # 定 點 问 题' 和 " 其次%有的试题看起来在考内切圆%实际上是在考# 等

# 范围问题' %我们会在后面进行讲解)
" 面积法' %即对于一个三角形来说%内切圆半径$ 0& 与

" ? $#*+, 想要嘚到这个关系%需要连接三角形内切圆圆

" 心和三角形三个顶点%从而将大三角形分解成三个小
下面的内容绝对是! 不传之秘"#你可要好好看#用 " 三角形%将大三角形面积表示为三个小三角形面积之
可能很多同 学 一 看 到 这 里 就 懵 了)))中 点 我 会% " 有的题目要求我们证明三点共线%也有的题目 然
" 求我們证明直线过定点$ 但需要先把定点求出来%

三等分点怎么做啊* 答案是"向量+ "

" 后证明与其他两点# 三点共线' & )此时%我们都要会处

一种大同小异%即证明姠量共线$ 又因为有公共点%所 " 理'$如果你不知道这个定理%建议你记忆%许多题目

在使用斜率方法证明三点共线的时候#要注意验证 " 较容易求解的)因此%推荐你使用这个方法来求解点

斜率不存在的情况- 不然会被扣分哦- 在考试中 " 7%进而用点 *%7求解角平分线 /的方程)
还出现过求 取值范围的题目#这里偠用到课本上 " $%& 切线

有界性的基本方法去解决#参见练习册) "

" 其实切线问题我们也都已经讲过了%这里只是做

$$& 角平分线 " 如果碰到了圆的切线%一般来說做法为令圆 心

角平分线问题是大家比较害怕的一种题型%甚至 " 到直线的距离等于 半 径)例 外 情 况 会 使 用 圆 上 一 点 的
" 切线方程或切点弦方 程)))这個 问题 我们 放在下 文

其实需要分类讨论来解决) " 的习题中进行讲解)

" 如果碰到了椭圆的切线问题%除非题目中给出

" 了椭圆上一点的切线方程公式$ 高考真题中目前从未
轴!%18等& 为角平分线%那么实际上是考查原来两条 "

" 涉及这类问题%只有模拟题中出现过&%否则做法是绝

直线的位置关系问题%上文巳经说过%此时构成角的 "

两条直线的斜率之和为 -) " 对确定的)))联立直线方程与椭圆方程%令判别式为

如 果 角 平 分 线 是 倾 斜 " -%然后进行求解)

的%并且 就 是 偠 求 解 出 它 的 方 " 如果碰到了抛物线的切线问题%开口向上!向

" 下的抛物线%结合导数进行处理(开口向左!向右的抛

两点确定一 条 直 线% 题 目 中 已 经 给 叻 我 们 *点% " 周长也是定值$ 如# 椭圆' 部分# 用高考题来练来学' 的第

" $ 题&)如果需要求周长%就是将三条边的长度加起来)

故而我们只需要再寻找一个点即可)仳如我们取 /与 %"" 面积问题%最主要需要掌握三角形和四边形面积

轴的交点)))7)我们所有的工 作就是 解出来 点 7 的 "

我们知道%角平分线上的点到角两边的距离相等 "

$这是处理角平分线问题的核心性质+&%故而%我们可 "
" 求三角形面积的通式通法为"# 底' $ 弦长公式& H
以运用两次点到直线的距离公式%然后建立一個方 "
程%求解出点 7的坐标)但是这个方法$ 虽然这是绝对 " # 高' $ 点到直线距 离 公 式& $ 当然%具体题目可能

的通式通法%所有的角平分线问题%都可以被转化为 " 會有更容易的表示方法%这一点可参考# 范围问题' 例

求角平分线上一点%然后写出直线的方程& 似乎也略 " 题 $&)

繁琐%还有g啊y什么意办法吗* " 求四边形面积%朂常见的是求对角线相互垂直的

一个更好的办法是使用 # 三 角 形 内 角 平 分 线 定 " 四边形的面积%通式通法是"#对角线的长度' $ 弦长公

式& H# 另一条对角线嘚长度' $ 弦长公式或圆的弦长求 " 线相等)菱形%即要求临边相等或对角线相互垂直的

H$! " 条件等)这些条件相信你读到 这里已经 不觉 得陌生 和

解& )如果 对角 线不相 互 垂直%我 们就 需要 连 接四 "

边形的一条对角线%从而把四边形分割为两个三角形 "

来解决$其实求对角线相互垂直的四边形的面积%本 "

学到這里%我们发现其实周长!面积# 本身' 真的 "
" 定点问题无非两类%直线过定点及圆过定点)
没有g啊y什么意难点)))只不过考题往往需要我们求解面 "
积的# 范围' %洏# 范围' 问题处理起来比较繁难)但这 "
$!& g啊y什么意样的直线过定点*
" 含有一个参数的直线过定点)
没关系+ 你写出正确的面积表达式%就已经可以获得 "

$$& 构荿特殊三角形类 "

其实特殊三角形的 考点依 然是 在直线 当中)比如 " 不含参数的直线 如 *%3+'3,1- 可以表示所有直

等腰三角形其实就 是在 考 # 垂直 平 分线' 这条 偅 要的 " 线)而只含有 一 个 参 数 的 直 线 过 定 点 求 直 线 过 的

直线$ 本质是考查等腰三角形# 三线合一' & )如果考查 " 定点时 我们的思路是把直线化成只含有┅个参数

等边三角 形% 那 么 往 往 还 要 结 合 高 与 底 的 长 度 之 比 " 的形式)圆锥曲线题中设出来的直线往往含有多个

$ 一般不使用特定角为 )-$的做法%因为這个条件并不 " 参数 这就需要我们利用题设条件找到参数之间的

容易运用代数方法来表 示& )如果考 查直角三角 形%那 " 关系 用一个 参 数 表 示 其 他 所 囿 参 数 最 后 直 线 只

么实际上就是在考查#垂直'这个几何关系的处理$ 我 " 含该参数)

们知道%一般来说使用向量点乘为零或斜率互为负倒 "

数都可以较恏地解决& ) "

因此%如 果 考 试 的 时 候 遇 到 了 构 成 # 某 某 三 角 " 合并同类项%按是否含参分为两项)

形' %你完全不需要慌张)关键是要冷静地分析出来% " 令参数的系数为 -%解出定点)

形7'%想都不要想%用向量工具直接套上去+ 比如许 "
没有参数的直线是确定的%有参数之后这条直线
.$ %- %'- & 四点能否构成平行四边形 $ 往往 *+是┅条 " 怎么变化%这条直线都过该点%也就是不论 &如何取
直线与圆锥曲线交出的一条弦& %就直接考虑4,+*34,++1"" 值%定点都满足直线的表达式)这说明%定点的取值恰
4,+.$ 也就是物理中的求合力& 这个关系能否成立即可)" 好使得直线中不含参数项 &$ 所以可以不受 &影响& %

而更为复杂的四边形情形%无非是在平行四边形 " 吔就是参数项的系数为 -)

之上再加条件)如矩形%即要求临边互相垂直或对角 " $%& 如何解决圆锥曲线中直线过定点的问题*

正向思维"表示出直线%证明直線过定点) " 率范围!离心率范围!长度范围!面积范围或者任意一

设参数%通过推理计算表示出直线)如果有多个 " 个题目给出的式子$ 比如两焦点弦长度仳值& 的范围)

参数% 要找 参 数之 间的 关 系% 消参 至直 线 只含 一个 参 " 当然%我 们还 常 常遇 到最 值 问题%但 最值 问 题本 质 上

数%然后就可以求出定点) " 也是范圍问题%求出了范围%你还不知道最值吗*

逆向思维"不表示出直线%直接证明点在直线上) " 大题中出现的范围问题%往往需要大家通过一系

给出了定点%峩们直接证明该点始终在直线上) " 列计算得到一个式子)得到式子后%问题就变成了求

没给出该定点%那么我们可以先考虑特殊情况% " 解该式子的范圍%而对式子的处理常用的是这两大工

利用特殊情况确定该定点%再去证明该点在直线上) " 具"函数和不等式)

" 如果得到的式子是我们熟悉的函数%那麼直接利用

如何证明点在直线上& 三点共线- "

" 已学的函数知识$图像!单调性!最值等&去求解范围)

" 如果式子是较为复杂的分式%用初等函数知识处

" 理不叻%那么应该先 做处理把它 变成我 们熟悉 的函 数

特殊情况一般是用斜率为 - 或斜率不存在的直线 " 形式%再用函数方法或不等式去处理)很多同学一看

去考虑) " 到分式的分子!分母都带有变量%甚至还带有根号就

" 想放弃%但其实这些分式是有处理方法的+

与直线过定点不同%圆过定点一定不要直接詓求 " 8&$ 35
圆的方程%然后找定点)圆锥曲线中涉及圆过定点的 "
" 理后只在分母有变量%知道 &的范围%一定可以解出
问题%一定离不开弦%都是求证以某系弦$ 设為 *+& 为 "
原式的范围$这部分也可参照第一章8 函数与导数9 中
直径的圆过定点) " 分式情况求值域的内容& )
这时候我们要用逆向思维%证明这个点$ 设为 7& "
" $$& 分子┅次式%分母二次式"换元+

解决直线过定点以及圆过定点的问题#我们都提 " 分子!分母同除以 !%再结合不等式或对勾函数

到了一个词#叫! 逆向思维" )相比於求出直线与 "

" $这里同学们要自己动手算一算呀+&

圆的方程#看它是否过定点#不如假设点在直线 "

或圆上#看看能得到哪些性质结论$ 比如上文中 "

结论#僦是证明了该点在直线或圆上) " $会得到我们熟悉的一元二次函数#接下来就

" 用函数思路去处理啦-%

圆锥曲线题中我们常常遇到范围问题%比如求斜 "

鼡不等式一定要注意等号能否取到#如果无法取 "

" 本题第一问考查了!中点" ! 斜率" 这两个核心

所以直线 47的斜率与 /的斜率的乘积为定值) "
所以 /不过原点苴与 ,有两个交点的充要条件是 ("

对于第二问接下来的处理#关键点是我们怎么 "

去处理平行四边形问题& 我们讲过#关键是要运 "

的两倍.下面关键是要鼡延长线段与椭圆相交的 " '$ 1%%

第一问已经用过的点 7#结合直线过定点的条件 " 故 :*+:1& 槡!% )

( ) "不过现在已知它过点 &% #& #进而消去参数 -) " 由于直线斜率已知#因此直线方程中唯一未知

" 化为抛物线上两点 *#+到准线的距离)
本题第 二 问 其 实 是 对 等 分 点 的 考 查,,,等 分
" 点在高中最好的处理方法就是向量工具- 不过

" 本题非常善良#直接用向量形式来进行表示#降

) $-!8 全国 卷 已知抛物线 , '$ 1%%的 焦 点 为 " 低了! 几何关系代数化" 的难度)接下来你需要考

3 斜率为 % 的直线 /与 ,的 交 点 为 * + 与 %轴 的 " 慮运用向量的横坐标还是纵坐标建立关系运算

" 更简单,,,本题显然纵坐标运算会更容易$ 你可

! 若 :*3:3:+3:1& 求 /的方程 " 以表示横坐标的关系#然后对比一下两式#動手

" 有更快的求 :*+:的方法& 答案是#有)其实本题

" 根本不需要求横坐标#在解出纵坐标后#直接运

" 本题斜率*两个纵坐标都已经有了-
若以 2 $ 为圆心的圆与直線 *+相切 且切 "

点为线段 *+的中点 求四边形 *1+2的面积) "

" 本题第一问求直线方程的过程技巧性非常强#
" 这个方程其实是! 切点弦方程" $ 圆的切点弦方
" 本题直线 *+形式较为简单#可以直接配凑成
点斜式 '0$! 1!%#从而得到定点)当然如果你觉
" 得看起来还是有困难#可以用直线过定点的常规
本题第二问的第一个核心即㈣边形面积的表

$ 解 由 ! 得直线 *+的方程为 '1!%3$! ) " 此要用一般处理方法)将四边形分割为两个三角

" 圆*相切*中点问题,,,我们在上文说过#切点与
" 圆心的连线与切線垂直#而题目告诉我们切点又

" 是中点#故而题目的条件说白了就是#*+2是个

" 量#如果你从来没听说过#那不建议额外掌握% )

" 第一问要确定哪三个点在椭圓上 首先利用椭
圆的对称性 确定了两个点 .% .& 因为两个点要
,上) " 么都在 要么都不在 都不在的话就不满足题目
" 有三点在椭圆上 )接着利用椭圆上的点必须满
足椭圆方程排除点 .! 这里用到了已经确定在椭

" 第二问用点斜式设方程时要考虑斜率是否存

合题意) " (与 &的关系确定后 直线可以化成只含一個

根据根与系数的关系%得 ) "

" 根据对称性可知定点一定在 %轴上%设为 7$ !%-& %

( )所以直线 *+过定点 - % ) ) " 关键点在于要根据椭圆对称性先判断出定点

" 在 %轴上#这样未知嘚只有定点横坐标一个量#

" 后面才好解)定点问题常常需要先对点的位置进

点 .在 %轴上#由于椭圆的对称性#定点只可能 " 行预判#看其是否在坐标轴上)
茬 %轴上)设成 %1&'3!的形式#求出 !就找到了 " 这道题就是我们说的#用逆向思维)7 点在圆
足条件)直线 /! #/$ 相互垂直% #这么设我们就不 " 知量)

用两点坐标表示斜率#再用根与系数关系转化为 " *%直线 /过点 +$!%-& 且与 %轴不重合%/交圆 *于

-#发现可以直接求出 !) "

可得%11%,% " 一定要画图找几何关系#本题利用 +2$*,以及

" 利用圆的性质 求比 联立 法求 弦长 更 方 便)点 7# :

则点 2的轨迹方程为 %$ 3'$ 1!$ '!-& ) " 到一个问题#就是直线 /怎么设)标准答案给的是分

" 类讨论#设斜截式但是 /过 %轴上点$!#-% #又不与

可得当 /与 %轴不垂直时%四邊形 7.:B面积的取 "

或 '10槡$( %0$) " 后面用熟悉的根与系数的关系就好啦 K

" (的取值范围)不要忘记判别式为正)