高数高数经典不定积分例题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-02-26 22:25 标签： 高数经典不定积分例题

下文将从一个简单的对数函数的求导开始再求它的原函数，并简单演示一下凑微分法

考虑这个函数 ，令 ,则它可看作由 和 复合而成其中 可看作 的函数。

现在对 求导根据复合函数求导法，有

现在求这个导数的原函数也就是对它积分，如果直接套用公式 并希望得到正确的结果那么会发现希望落空——

算出来的答案与真正的原函数不太一样。

实际上 中的 叫作“积分变量”意味着正在进行的求原函数的操作是针对 这个变量来进行的。洏同时我们的被积函数却是 ，它是以 这个函数为中间变量的这便是问题所在，并意味着当写作如下形式时—— ——才可对它套用公式其中 。

为了能得到上述形式就要用到凑微分法。

既然这个问题跟 有关我们于是从它入手。

是一个关于 的函数它的导数是 ，即

将 挪箌等式的右边于是发现已经得到了 与 的关系，即 或 。

将这样的 代入 并得到 ，其中

套用公式，我们有 即正确的结果。在本例中任意常数

上述那个“将 挪到等式的右边”的做法，准确来说叫作“分离变量”，是解微分方程的一个基本步骤

叫作 的微分，凑微分顧名思义，就是凑出我们想要的微分

其中 ，否则分式无意义

令 ，则 即 ，带入得

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