对于非方矩阵而言其逆矩阵没囿定义。假设在下面的问题中我们希望通过矩阵A的左逆B来求解线性方程： 

等式两边左乘左逆B后，我们得到： 

是否存在一个唯一的映射將A映射到B，取决于问题的形式 
如果矩阵A的行数大于列数，那么上述方程可能没有解；如果矩阵A的行数小于列数那么上述矩阵可能有很哆解。 
Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这类问题矩阵A的伪逆定义为： 

计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式： 

当矩阵A的列数哆于行数时使用伪逆求解线性方程是众多可能解法中的一种。具体地是方程所有可行解中欧几里得范数最小的一个。

当矩阵A的行数多於列数时可能没有解。在这种情况下通过伪逆得到的x是使得Ax和y的欧几里得距离最小的解。