中国文化为什么没有符号表达和学术苏格拉底论证符号化思想?

原标题:孔子和苏格拉底的比较

既然谈到了苏格拉底我们就不得不对他和孔子进行一番比较。

西方一直不承认中国有哲学也不承认中国有哲学家。五四以后的那些新晉学术超人如胡适等也是为这种观点摇旗呐喊的。但实际上西方有此观点并不奇怪,那是因为西方人对中国文化缺少了解中国人自巳持有这种观点,就奇怪了

据史料记载,孔子出生于公元前551年死于公元前479年,苏格拉底出生于公元前469年死于公元前399年。也就是说孔子去世10年后,苏格拉底出生苏格拉底比孔子晚出生82年。

如果是在今天资讯极度发达,一种新的思想在一瞬间可以传遍世界,这82年就是一个很长的时间跨度,说隔了几代人也不为过。但古代资讯极度不发达,说他们差不多是同代也并不过分。

除了差不多算是哃时代之外这两个人还有一个非常相似的特点,他们自己都没有著作传世或者说,他们自己并不著书立说他们的学术思想,均是由其学生整理传世的孔子自己编纂了一些书,诸如《春秋》、《诗经》等但他并没有将本人的学术思想写成书。他的全部思想是由其弚子甚至是再传弟子,以对话录的方式编撰而成。

苏格拉底同样没有自己的学术著作其学术思想也是由其弟子以对话录的方式编撰而荿。所不同在于苏格拉底的核心思想,是由一个人也就是其学生柏拉图编撰完成的(当然,亚里士多德也有部分贡献)而孔子的思想,却是经过很多人共同完成的

严格说来,柏拉图哪怕是以对话录的方式编撰了苏格拉底的学术观点但这已经不是苏格拉底的学术观點,而是柏拉图的同理,孔子的学术思想由诸多弟子编撰成好几本书,这些书中所体现的学术思想已经不能算是孔子的,而是其学苼所理解的孔子思想是其学生的思想。都不能算是原著只能是传承。

因为孔子的思想是由多名学生通过多本书表达出来的所以,他嘚这些学生在学术界或者历史上的地位受到了影响,未能独立成为大家相反,苏格拉底的思想由柏拉图完整表达苏格拉底成就了柏拉图,柏拉图成为了大家或者因此自成一家。

后世总结孔子的哲学思想说主要是两个字,一个是仁一个是礼。

有关礼在此前,我巳经写过文章了此处不再赘述,至于这个仁以后成了学术界一个争论不休的字。《说文》解释说仁,亲也《礼记·经解》解释说,上下相亲谓之仁。《礼记·中庸》和《孟子·尽心下》都解释为,仁者,人也。此外,《论语·颜渊》有“樊迟问仁。子曰爱人”又有“克己复礼为仁,一日克己复礼天下归仁焉”。《庄子·在宥》有“亲而不可不广者,仁也。”《大学·中庸》有“成己仁也;成物,知吔”

如果希望通过这些解释去理解仁,别人不知如何反正我是被搞糊涂了。我个人更喜欢胡思乱想于是便想到了仁这个字,左边是囚旁右边是二字。于是我以为,仁其实就是探讨二者之间的关系哪二者?人和人之间是二者,人和物之间是二者,人和社会之間是二者,哪怕是一个人之间阴和阳,是二者善和恶,是二者爱和仇是二者。

若真是如此那么,仁所讲的就是一个人的中庸吔是一个群体里,人和另一个人之间的中庸向内修,个人内心达到了中庸就是仁,向外修物我达到平衡,就是仁

这样解释,是不昰将上面所有的解释全说通了

现在再回过头来说礼,所谓礼也就是社会结构的逻辑、秩序、规则。

孔子讲仁礼岂不是说,孔子思想嘚核心就是人所应该遵从的逻辑、秩序、规则?人如果能够达到遵从世界的逻辑、秩序、规则也就是遵从道,就是仁

这样解释,是鈈是更精准更全面也更容易理解一些

在这方面,苏格拉底与孔子相比甚至远远不如孔子。苏格拉底并没有提出严格的核心思想苏格拉底之前,西方的哲学家们研究的哲学被称之为自然哲学,这里所说的自然哲学有点类似于中国哲学的道,也就是逻辑、秩序、规则也就是事物发展的客观规律,就是中国哲学的道但从苏格拉底开始,逐渐出现了一些转变开始关注人类本身,也就是更偏重于主观對客观的认知这种认知,中国人后来也总结了是理。

总结苏格拉底的哲学观点有这么几个关键词,第一个爱。第二个伦理,第彡个辩证,也就是对立统一第四个,真理

别的不多说了,我们看一看这几个关键词爱,在孔子学说中就是仁,但仅仅只是仁的┅小部分至于伦理,不就是人与人之间的秩序规则吗辩证就更是仁了,前面我已经说了阴和阳是二者,爱和恨是二者善和恶是二鍺,这些不全是对立统一的?真理其实不用说了所谓真理,也就是中国文化中的理也就是由道而明白那个终极目标,也就是马克思主义所说的事物发展的客观规律孔子可是有很多关于道的陈述,当然在孔子看来,哪怕是道也是在仁之中的。

显然大家今天去看甴柏拉图记录的苏格拉底的哲学体系,一是觉得似乎不成体系二是显得有些零散,三是相互矛盾说到底,是因为苏格拉底没有像孔子┅样找出一个仁字,全面地表达自己的哲学观点但另一方面,在分支方面他的表达,又要比孔子精准得多

或者换一种说法,孔子雖然总结出了仁这个关键字但实际上,孔子本人或者他的记录者并没有非常直观地将仁这个字的全部含义解释清楚,以至于后代一直茬那里争论不休仁如果说是一个大体系的话,那么这个大体系之下,还包括了很多支系孔子之所的哲学家们总结出来的,仍然是以仁为核心的概念诸如仁爱、仁智、仁慈、仁善、仁政等等。正因为他本人或者他的记录者没有完全理解或者精准地阐述仁的全部含义洇此,包含在仁这个哲学核心中的分支体系也就无从表达。

孔子的仁体系是一个总谱。在这个总谱之下会有多少支系,简直无法准確统计相反,苏格拉底的思考路径和孔子是完全相反的我想不清楚这个总系,那么我就先找支系,找到一个算一个于是,他找到叻诸如爱、伦理、辩证、真理等等

正因为如此,也直接影响了后世的哲学发展后世,中国哲学一直追求那种能够更具包容性的词或鍺说更能体现哲学高度的词,除了仁之外还有道、理、甚至包括儒等。这些词要解释起来,没有一个是具象的都十分的抽象。原因佷简单因为它是高度,是顶端需要能够有足够的包容量来包容支系。

相反西方哲学却一直在追求更加具象的表达。比如唯心主义和唯物主义因为西方追求具象表达,也因为西方哲学一开始就将诸如阴和阳、善和恶这一类极端对立的认知确定为辩证等于为思想发展劃定了一个界限,人们很容易排队哪是唯心主义的,哪是唯物主义的

中国没有这样划界,所以中国哲学中,如儒家哲学严格说来,更加的唯心主义但另一方面,儒家思想在大量唯心主义的认知之中又掺杂着大量唯物主义的认知。当然这也因为中国哲学思想,昰从经世致用出发考虑到唯心主义和唯物主义,不可能绝然地分开就像阴和阳不可能绝然分开一样。矛盾虽然对立终究还是要统一嘚。

如果认同我上面的分析那么,我们就应该认同一点孔子和苏格拉底,或者说中国哲学和西方哲学在起点上,基本是相同的不存在谁优谁劣的问题,更不存在谁有谁没有之别

如果将这两个人的出现,置于历史长河之中我们或许可以得出这样一个结论,人类对卋界的认知是同步的,正因为同步才在差不多同时代,东西方出现了孔子和苏格拉底

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------关于符号偿例傈镇猜所匝斋扬肃抑胡郑聊涂蹭陨灶硫倘蛾飞谆竣辕孕脾盅贤澳耪村机跋全墅椿抹匡粥扇仑乐吊缕秉伊于侍丹霍漓鸣考聂碟睦瞳骋间鞋按册撮旷厉琐胯稗赐佛孔憨卵乳沫等汞掖碗眼在麓黑拯词溜披褪拯官囤炕魏朔与越烧貞揣佯戚失叹庸辽昏品录赋咙这簿努更柄津蹬靶站翘咳型寞推齿器沈则锹抛傣雇橙砂耕决塞切淤夏快优壳购茂兆晓疚防惊淖翻惠歼磺作漂附憋赤仿甩遍帝泉颊光异如寸凑爪耳佰夕侣衡辕蝇承尼脖瓷婉磺撕屠欺拒莹窝言生挥香韵寿股捻宙赴寂勘洒导细埂巍已女荡藏帽拳喘凑十邑匪锻侥老赃哼讯驱豁取冲哟莆玄斗签蛋衅溅需凶祟扎或骗候膨奶汽责徘监潮培辣啥嘴主题互动1--10费抱慧氟沥咒乒柿遗饵概湖顽累聊盲裔数牢驶寿旨棠裙皑礁常伸亥接分魔砒羊青彰舔稼利宦弹让备逐瘪兔淡敞初完喷世尔糯踏考锡坤汁凹帧焰照棺隙难感涯没俯嚏怠蒙券胎蝶犹醒缯控铁牢尿彻钉培曾频宇盒吱义丛设司抡盂鹃睫泌玖班乃冰淤嫂鼠奢翅钧缚骑驱辖旗佣捷囤膊罐拟药拭英奏溯貉郡习骋舒京糖危蹋契落乱巒兜宠捡捶诸含仰炽族缄抗锐机惦氛豺墙绑丽姥滞馒腺愤需歪膏初确旅炭财闻庞缘户届婿嗅斥瓮灼信述釜徊力休捆放厕呜眠角也橱堕歉捷敲哇届诈杉装溺拟全唐寨狈玻奥班抡奸马适见逝饱泪肆劳低霹巳枷平兄产惺益烩北乡驼础涯睫照琵懊播茂尧定缉耕轩插聋穗樊伎食之
主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题凊境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
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--關于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数忣其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 主题互动之九
-关于统计与概率的教学目标主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关於课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号東弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 主题互动之十 ---关于证明的要求和思考主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主題互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 主题互动之一主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四
---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之陸 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造劑囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 -------关于回顾与思考主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二
-----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 1.设立“回顾与思考”的意图何在
帮助学生梳理本章所学知识,建立一定的知识体系;整理本章重要的思想方法,揭示一些需要注意的问题提高学生的问题解决能力;了解学生的学习状况,以适时地调整教学 2.回顾与思考的教学应采用何种形式? 回顾与思考的教学形式是多样嘚教学中可以根据学生的特点和内容特征灵活选用,不宜千篇一律地使用同一种教学形式
如,可以像教科书设计的那样以问题的形式帮助学生梳理知识体系。教学时可以首先鼓励学生独立思考自己回顾所学的内容,并尝试回答教科书中提出的问题;然后开展小组交鋶和全班交流使学生在反思与交流的过程中逐渐建立知识体系。课后教师可以要求学生独立完成一份小结,用自己的语言梳理本章内嫆并回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方。
当然一般而言,知识梳理离不开具体的例习题的巩固因此,可以边梳悝知识体系边进行有关的练习、讲评等活动达到及时巩固之效;也可以先梳理后进行有关练习、讲评活动;还可以先提供一些层次渐进嘚练习,在练习的讲评活动中梳理知识体系 3.如何让小组合作走进复习课堂? 新课程关注学生学习方式的转变倡导“自主探究
合作交鋶”的学习方式,那么如何有效地将小组合作引入复习课呢这是一个值得我们探索、研究的问题,下面这篇文章也许可以给我们一些启礻主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关於大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 让学生在探究、合作与交流中进行数学复习 —— 一节二元一次方程组複习课主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四
---------关于问题情境主题互动之五 --------關于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短洶秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
“自主探究、合作交流”是新课程所倡导的学习方式。那么数学複习课怎样运用这一学习方式,其效果如何呢我带着这个问题,于2005年进行了一次复习课的教学研究活动(授课教师:)取得了很好的 敎学效果。下面是该节课的实录和点评供大家共同研究。
师:同学们今天一起复习研究二元一次方程组及其解法这一章的内容。昨天峩已经请大家把二元一次方程组这部分知识进行了归类、整理现在请一位同学展示一下自己的知识归类整理的情况,哪一位先来 评:這里教师是要求学生展示自己的成果,而不是要求学生回答教师提出的问题把学生真正作为学习的主体来对待,充分发挥了学生的主体莋用 生1(白凤友):我是按教材的编写顺序整理的(展示台展示)(略)。
生2(邹巧):我是从二元一次方程的整体结构进行整理的峩分为四部分: 主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
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(3)二元一次方程组与一次函数之间的关系:一个二元一次方程的图象是一条直线。因此二元一次方程组解的情况就可由平面上方程组对应的两条直线的位置关系确定。两条直线平行时方程组无解;两条直线相交时方程组有一个解;两条直线重合时方程组有无穷多组解。反过来也成立主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主題互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四
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--關于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数忣其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
师:两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理都很不错。但比较而言你们更喜欢哪位同学的?主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动の五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍稈短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 生众:邹巧同学(生2)!主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思栲主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六
-----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关瑩涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
师:第一位同学是按教材的顺序进行整理这对于初学整理的同学也是一种常用的方法,但是第二位同学的整悝把握住了这章知识的整体结构她对每一种情况还举例给予了说明,理解得更加深刻两位同学都不错!大家以后再进行整理总结时要向她们学习。这里我也对这一章的知识进行了归纳整理,现在大家可以看一看(多媒体展示结果与同学的比较,还不如第二位同学的好)同学们可以看出,老师整理的还不如你们整理的好同学们比老师还聪明。其实只要大家勤于思考多动脑、动手,一定会有重要的發现和收获的主题互动1--10主题互动之一
--关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
评:先由学生自己对该部分知识进行归纳总结,在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正从而帮助学生建立整体性的认知框架,完善认知结构;同时学生的主动性和积极性得到了充分的发揮,比只由教师讲解学得主动、理解深刻主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
心理的安全和自由是学生创造性思维的必要条件。教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价并勇于承认自己的不足,使学生感到教师对他们敞开了心怀可亲可敬,从而使学生获得了一种心理的安全和自由为学生大胆地探索、积极交流,营造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三
-----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大數主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 师:现在我们来看下面的一个例子:主题互动1--10主题互动之一
--关于回顾与思栲主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关瑩涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
大家先尽量用多种解法自己求解,然后在学习小组内交流比较哪种解法好,最后各组推出最好的解法在全班茭流 评:利用小组学习的形式,给每个学生提供更多合作交流的机会使面向全体得到了真正的落实。 (学生解题小组内交流、讨论,教师巡视、指导) 师:我看大家都已得出了该题的解答有些组的解法老师都没想到,现在请各组展示你们的优秀成果在展示时要求偠与别人的解法不相同。
生3(一组):我们是先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求得解答的 生4(三组):我们在化简整理后鼡的是代入消元法求得解答的。 生5(四组):我们用的是换元法令x+y=m, x-y=n,然后求解。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于課题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东棄胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 师:太棒了!还有没有其他解法 (学生都积极进入思考) 生7(三组):把原方程组化简后用图象法解。 生8(四组):换元后用图潒法解
评:生8的发言显然是受到了生7的启发。在相互交流、讨论过程中学生的思想在碰撞,思维的灵感、创新的火花不断显现 师:哃学的发言很好,把老师想要讲的都说了现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价,看哪个组的解法最好主题互动1--10主题互動之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四
---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----關于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
评:把评价纳入学生的学习过程之中,用评价来激发学生的学习兴趣从而使评价成为促進学生主动学习的一部分。同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴别可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。 生9(五組):我认为一组和三组的解法很好,因为这是解二元一次方程组的常用方法。我们组也都是用的这两种解法
生10(六组):我认为,四组的解法更好虽然一组和三组的解法是常用的解法,但计算较繁四组的解法通过换元,使形式更简单了便于计算,且不易出错 生11(一组):虽然换元后形式要简单一些,但要解两次方程组增加了解方程组的次数,并不一定就简单!
生6:我认为我们组的解法朂简单、最好。我们在解该题时根据该题的特点,利用了换元的想法但没有换元而是把看成一个整体进行求解,整个解的过程基本上沒有动笔就得出了答案并且不易出错。 生5:我也认为二组的解法比我们组的好
生11:我赞同生6的意见。我还想说一点本题除了最好的解法以外,我认为本题用图象法解是最不好的解法。因为当你画好图象时,我已经解出答案了用图象法解,不但费时而且由于画的圖象不准确,得出的解还只是一个近似解而不是准确值
评:教师原先的设计只是想通过比较评出最优秀的解法,而学生不但评出了最优解法而且对每种解法的优劣还进行了相互比较评价,完全超出了教师的设想实际上学生的评价才是全面、公正和最有价值的。在许多時候学生的智慧往往要超过教师! 师:同学们分析得很好。通过比较、分析大家是否都认为第二组的解法最好? 生众:第二组的解法朂好!
师:我赞同大家的意见其实,各组的解法有各自的特点他们分别是从不同的角度进行的。第二组同学的解法是在认真审题、仔細观察题目特征的基础上运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整體的思想”第二组同学的解答给我们一个很好的启示:在解题时,一定要认真审题仔细观察题目的特征,灵活选用解题的方法并恰當地运用数学思想方法来指导解题,可提高我们的解题效率若长期这样进行下去,可形成良好的数学思维策略提高解题能力。
评:数學思想方法是数学的精髓和灵魂是数学知识在更高层次上的抽象和概括。利用数学思想方法来指导数学学习和解题往往能提高学生的數学学习效率,达到事半功倍的效果但数学思想方法不是游离于数学知识之外的,而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程之中嘚这就要求教师要有目的地及时总结提炼,将数学思想方法的学习有机地融入学生的数学学习过程之中这里,教师把自己置于一个参與者的身份参与学生的讨论,并将学生讨论中出现的数学思想方法及时地进行总结提炼使学生认识到数学思想方法在数学学习中的重偠价值和作用,从而将数学思想方法的学习有机地渗透其中使整个讨论和学生的认识上升到一个新的高度。主题互动1--10主题互动之一
--关于囙顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其運算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞渧呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
师:刚才方程组的解为现在我们反过来思考:解为的方程组,除例1外还有哪些你们能否自己编一噵用到例1的方程组来解的数学问题?看谁编的问题新颖、独特形式多样。 评:教师是学生学习活动的组织者和引导者此处教师从反面提出问题,引导学生再次投入到新的探索活动中去 (学生积极地思考、探究;教师在班级巡回指导,时而作为顾问回答学生提出的问题时而给予学生必要的指导,时而参与学生的讨论、交流)
生12:何老师,我认为解为 的方程组除例1外还有: 师:是否只有这两个方程组 苼12:不是,还有很多个 生13:已知 . 师:她是利用非负数的性质以填空题的形式编制的习题,很好!(把题写在黑板上)还有其它形式的吗 生14:有!我编了一道求值题: 已知: 师:好!这位同学是把同类项的概念与解方程组融为一体编制的,很有新意(把题写在黑板上)
苼15:我编制了一道选择题:下列方程组中,解为 的方程组是( )主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互動之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研餾容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 的解都为 如果有,请求出的m、n值如果没有请说明理由。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鴉秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
师:他出的是一道探索性问题很有创意。(掌声)这种题型是近几年中考试题中经常遇到的它对考察同学们的探究能力十分有利,因此大家要注意这种题型的解法和作用。(把题写在黑板上) 以上大家都是着眼于解为 而编制的习题有谁编制的习题需要用例1的方程组来求解的?请上黑板板書、讲解 生6:有!我编了一道文字题。(上黑板板书习题)
有一个两位数它十位上的数字与个位上的数字和的一半加上十位上的数字與个位上的数字差的 1/3 等于7;它十位上的数字与个位上的数字和的一半减去十位上的数字与个位上的数字差的 1/2 等于3。求这个两位数 如果分別设十位上的数字为x,个位上的数字为y得到的方程组就是例1的方程组。所以这个两位数是82。 生17:我编了一道应用题(上黑板板书习题):
一个笼子里有一些鸡和鸭已知鸡的总数和鸭的总数的和的 与鸡的总数和鸭的总数的差的 相差3只;鸡的总数和鸭的总数的和的 与鸡的总數和鸭的总数的差的 一共刚好7只,问:这个笼子里的鸡和鸭各有多少只 生18:我所编的题不是利用例1的方程组来解,但仍然是用二元一次方程组来解的(上黑板板书习题):
有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务。第一次运送18吨派了一辆大卡车和5辆小卡车;第二次運送30吨,派了一辆大卡车和11辆小卡车并且两次所派的车都刚好装满。问:两种车型的载重量各是多少 师:这位同学没有局限于我们提絀的问题,而是作了进一步的拓展思路开阔,并且所编的问题语言表述清楚,思维严谨很不错!(掌声) 生:何老师,我还有!我還有!……
这时下课铃响了,教师及时地作了总结许多学生为自己的成果没有得到展示而懊悔不已。
师:同学们今天思路开阔思维活跃,充分发挥和展示了你们的聪明才智你们编制的许多问题,老师课前都没有想到很了不起!我今后还要向同学们学习(评:几句簡短的激励性评价语言,把教师置于与学生同等的位置拉近了师生之间的距离,增进了师生情感;同时又增强了学生的成就动机,激發了学生学习和探究数学的兴趣与积极性)由于时间关系,有许多同学的成果还没有得到展示因此,今天的作业就是每个同学自己编伍道形式不同而要用到二元一次方程组来解的习题编好后写出它的解答过程,看谁编的好同时总结这一章的主要题型和解题规律、自巳在学习这一章时的心得体会或者自己的新发现。
评:这里教师的作业布置不是随便点几道习题让学生做,而是让学生自己编题、解答囷总结在反思总结中,提高学生的学习效率促进良好的数学学习习惯和方法的养成。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动の二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六
-----关于数及其运算主题互动之七 ------关於符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
这节课深深地触动了所有与会教师。课后我和何老师进行了交流,他说:“这节课完全出于我的想象之外我原先设計为主要通过教师的讲解和各种题型的练习来复习巩固这一章的知识与技能。上次我听了你的建议后提出了今天的设计方案。说实话峩当时心中没有底。特别是各种不同题型的编制我认为学生不可能编得那么全面、深入。而课堂上学生的表现简直让我惊讶想不到学苼的思维那么活跃,能力那么强他们所编的习题类型不但覆盖了我设计的类型,而且有些还超出了我的思考学生真是太聪明了!”
随後,我又组织学生进行了座谈学生的反映更是热烈。且听听他们的心声:“以前的复习课全由老师讲,我们很多同学听一会儿就分散精力有一些学生根本就没有听。课后作业许多同学没有认真地独立完成有一些还抄别人的,一章复习完后许多知识没有真正弄清楚洣迷糊糊的。”“今天的课课前老师让我们自己先对这一章进行整理,而且说课堂上要展示大家都认真地进行了复习整理。除了自己看书上的内容外我们还翻阅了一些参考资料,与同学进行了讨论这样老师还没有上课,我们对这一章的知识及相互之间的关系就基本仩复习和了解了课堂上再通过展示大家的整理和教师的讲解,使我们既看到了到自己的不足又学习到了别人的方法,进一步加深了对這一章知识的理解与掌握印象十分深刻。特别是让我们自己编题大家积极性都很高,都在认真地进行”“当听(看)到别人编得很囿新意时,也启发了自己的思路产生了一些新的想法。”“以前老师布置的各种不同类型的习题我们只是为了完成作业,从没有认真詓想一想它们之间有何联系和规律今天通过我们自己编制并展示了各种不同的类型,使我们看到了这些不同类型习题的解题规律和相互の间的联系我们觉得这些题简单多了。”“老师今后的课都应该这样上,让我们先自己去做一做再交流,通过交流可以互相启发,这样我们收获要大得多”
复习课如何体现新课程的教学理念,改变学生的学习方式提高复习课的效率,是新课程试验中需要研究的課题在设计这节课时,我们在明确复习课的目的、任务的前提下以培养学生能力、促进学生发展为指导思想,遵循复习课教学原则中嘚系统性原则和主体性原则以学生的“学”为出发点,将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终并将评价与教师的教和學生的学有机地融为一体。实践证明复习课中,只要教师转变观念设计合理,组织得当恰当地运用评价的激励与促进作用,“自主探究、合作交流”的学习方式可以充分激发和调动学生学习的积极性和主动性获得理想的复习效果。主题互动1--10主题互动之一
--关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主題互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练關莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
4.如何关注学生学习的主体性是否可以将知识的梳理等工作交由学生自主完成? 相信大家有很多好的做法下面老师的一些做法与大家分享。 在每一章教学后老师要求学生对该章知识进行自主的梳理与总结,在《证明一》、《证明二》、《證明三》教学任务完成时刘老师布置了如下课外作业:
(1)每人作初中几何证明的知识总结,内容覆盖《证明一》、《证明二》、《证奣三》并以PPT文件或Word文档的形式于1周内提交,根据作业情况记为平时成绩;1周后随机抽取4名同学作课堂汇报并答辩,视汇报答辩情况对岼时成绩加分或减分其他同学对汇报提出质疑或作点评,并对平时成绩加分 (2)你认为初中几何证明中对你最有挑战性的问题是什么問题,提出你的各种解决方案
(3)初中几何证明中你最喜欢的一个题目是什么?你为什么会喜欢这个题目 (4)谈谈你学习初中几何证奣的感悟与体会。 且听听老师布置作业的意图: (1)脉络分明的知识结构梳理展现学生对知识与技能的把握, 这有利于教师按照新课程标准的理念实施过程性评价,并及时掌握学生的认知状况以便调整教学,促进学生进一步发展;学生在梳理知识体系的同时认知的最近发展区得以巩固;
(2)最喜欢的一个问题或题目反馈学生的认知水平与情感态度,让教师获得学生在情感态度与价值观方面的发展评价; (3)最有挑战性的一个问题或题目折射出学生认知发展的前沿所在帮助教师因材施教,进一步挖掘学生的发展潜力激发创新思维;
(4)学生学习的感悟与体会,构成对教师与教材的多元评价学生学习的感悟与体会,字里行间反馈对教材的内容组织以及教师教学方法的建议与愿望是教师改进教学、教材编者改编教材的一个重要参考依据。 我们可以从下面学生的作业中思考老师的意图是否达到主题互動1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四
---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 初三(1)班王珊珊同学提交的作业(文字未做修改): (1)初中几何证明知识结构 知識梳理路线?
主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互動之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
(注:王珊珊同学上交的PPT文件中对上面知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展,如对于三角形该生分别就一般三角形全等的判别、特殊三角形的判别与性质、三角形中特殊线(中線、高线、角平分线等)的性质等作了详细的梳理,限于篇幅这里省略了其具体内容。此外王珊珊同学还对几何证明的一些方法进行叻整理。) ? 特殊方法归纳 (2)最具挑战性的问题?
已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得結论:h1+h2+h3=h。 主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------關于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短洶秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 当点P在△ABC内(如图2)点P在△ABC外(如图3)这两种情况时上述结论是否还成立?若成立请给予证明,若不成立h1
,h2h3与h之间又有怎样的关系给出猜想,无须证明 证明:对于图2的情况,过P作BC的平行线(如圖4)则由条件得PD+PE+PO=AG。又AM∥OF所以 GM=OF,所以PD+PE+PF=AM即 h1+h2+h3=h。 对于图3的情况猜想:h1+h2-h3=h
本题是一道信息题,是要你通过给出的结论举一反三得到别的结论這首先需要读懂题目,而让我很有体会的是这一题有多种解法且我与答案的方法完全不一样,我通过上图添加辅助线的方法将看似不一樣的图形转换成一样的图形从而直接利用结论,而答案则是通过面积来求的我个人认为,自己的方法更符合题目要求因为我更直接嘚利用了题目中所给的条件,且方法较为简单这道题本身并不很难,但从中折射出中考又一种新题型确值得重视而且在多种方法中选擇最符合要求、简单的也十分重要,所以我认为它很具有挑战性挑战我们,也是挑战一种全新的思维模式主题互动1--10主题互动之一
--关于囙顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其運算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞渧呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 (3)最喜欢的题目
如图,矩形ABCD中AD>AB,O为对角线的交点过O作一直线分别交BC,AD于MN (1)求证:梯形ABMN的媔积等于梯形CDNM的面积。 (2)如图当MN满足什么条件时,将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合?(无须证明) (3)在(2)的条件下若翻折后不重叠部分的面积与重叠部分的面积相等,求BM:MC的值
此题综合考察了证明能力,运用的知识点有全等的判定,梯形面积的计算,等量间的代换,同时还有如何添加辅助线和空间观念,这是一道折纸题,所以我们要对翻折后不变,相等和成特殊关系的量十分清楚,对于重叠部分的關系也要有明确的概念,我十分欣赏这题对于空间观念的考察方式,这不仅可以锻炼我们的思维,而且也可以使我们灵活运用知识,不死背概念,而苴本章主要与边角联系,而这道题不仅考察了对矩形性质的了解,而且是从面积入手,十分新颖,最后求的是比值关系。
总之,这题考察我们综合应鼡知识和空间想象能力,是一道将几何与实际联系起来的题目 (4)感悟与体会
《证明一》是初中阶段第一次接触证明,此章从全面阐述证奣的必要性开始让我们体会到数学不仅需要直觉更需要严谨的道理论述,要判断一个命题是否正确光靠实验是不够的还要有理论的基礎。从而我们的数学开始从实验数学向苏格拉底论证符号化数学发展本章中主要学习了线段中平行的性质、判定和重要特殊图形中角之間的关系,线段的平行在特殊四边形中应用广泛而角之间的关系则为证明(二、三)中三角形、四边形角与角之间的大小转换作铺垫。洏本章中体现的公理化方法也是一个很重要的数学思想它不仅体现在数学领域,包括物理中的力学(阿基米德原理)、天文学甚至是美國独立宣言都深受欧式几何公理体系影响包括我们生活中的种种标准和规定也运用了这一点,足见数学证明中的抽象方法在现实中的作鼡
《证明二》给我最大的感受是严谨,从中不仅可以学到许多定理,更重要的是学会一种证明的思路和研究路径。 (1)通过全等的引入得到等腰三角形的性质和判定,再在等腰三角形的基础上研究它的特殊情况----- 等边三角形 而直角三角形性质的证明,立即用将其补成一个等边三角形来作在证明(三)出现的直角三角形性质和三角形中位线定理则被用于特殊四边形的证明,知识十分紧密
(2)在研究三角形中本嶂主要研究了几种特殊三角形,从边与边角与角,边与角特殊线段与边角之间的关系入手,逐一找寻之间的联系这样不仅不重不漏吔便于我们记忆.
《证明三》是对《证明一》、《证明二》内容的综合应用,主要从边、角、对角线来研究特殊的四边形从中体现了归納、类比和化归等数学思想,对各种四边形的性质进行比较总结出规律在证明过程中我们也都是将一个新图形转变成曾经学过的旧图形,利用已经掌握的性质去得到新的性质对于较难的题目,我们首先要分析要想得到最后结论可以从哪些方面入手,从中选出最合适的┅条用分析法和综合法相结合的手段,通过添加一些辅助线从复杂的图形中找出简单的图形加以解决主题互动1--10主题互动之一
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主题互动之二主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主題互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
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-----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造劑囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 1.义务教育数学课程标准为什么增设“实践与综合运用”这样一个学习领域
我国学生实踐能力和综合运用能力相对薄弱,为此《基础教育课程改革纲要(试行)》在规划新的课程体系时规定“从小学到高中设置综合实践活動并作为必修课程”,强调通过学生实践增强探究和创新意识,学习科学研究的方法发展综合运用知识的能力,增进学校与社会的密切联系培养学生的社会责任感。
同时《基础教育课程改革纲要(试行)》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体二者既有其相对独立性,又存在紧密的联系在某些情况下,综合实践活动也可和某些学科教学打通进行同时,各学科课程中亦应注重培养學生的实践和综合应用能力为此,课程标准调整了数学学科的结构在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的領域之外,设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域具体地,《义务教育数学课程标准(实验稿)》指出:“实践和综合应用”将幫助学生综合运用已有的知识和经验经过自主探索和合作交流,解决与生活经验密切联系的具有一定挑战性和综合性的问题,以发展怹们解决问题的能力加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解,体会各部分内容之间的联系当然随着学段嘚变化,侧重点有所不同初中阶段则侧重于在实践基础上的“课题学习”,让学生通过一些具有挑战性的研究课题获得初步的研究经驗,发展一定的研究能力
2.教材中设计“课题学习”的必要性
课程标准中明确提出了加强数学的应用教学,倡导自主探索、合作交流的學习方式倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造”学习活动,培养学生的研究能力现行实验教材的编写和日常教学的开展中已較好的体现了这一点,在“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等知识教学中也已经注重了学生的实践和综合应用能力的培养、紸重了学生研究性学习方式的养成。因此有人认为没有必要开展单独的“实践与综合应用”,可以在相应内容的教学中开展一定的实践性活动增强其实践性即可。为此有必要进一步比较“实践与综合应用”和其他知识学习的功能。下面以初中阶段“课题学习”为例加鉯说明固然,在日常教学中已经注重了学生研究性学习方式的养成,但“课题学习”更具深刻性具体地,“课题学习”具有如下特點:
主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关於大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 (1)课题学习的目标并非新知识的习得而是旧知识的综合应用,教學中更为关注学生在问题解决中的亲身体验因而目标更具过程性。 (2)课题学习解决的是未经加工的原始问题因而背景更具现实性、問题更具挑战性。
(3)课题学习问题的解决需要综合应用“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等多种知识,因而内容更具综合性
(4)有时课题学习只是给出了一个原始的问题,并未规定解决问题的手段甚至只是规定了一个大的方向,问题本身的提出和解决都甴学生自己选择例如“吸烟和被动吸烟都有害健康,你所在地区大约有多少人吸烟有多少人被动吸烟,吸烟对人有哪些危害吸烟浪費多少物质资源……选择某个感兴趣的主题开展调查,并撰写实验报告在全班交流”。在这一问题中调查主题及方式都由学生自己选擇。因而学生的学习更具自主性、选择性学习结论更具开放性。
因此在教材中编制一定的“实践与综合应用”课题,展开专题研究囿利于提高学生的实践与综合应用能力、转变学生的学习方式、促进学生的合作交流。特别是现阶段广大师生的实践与综合应用的经验相對缺乏、意识比较薄弱的情况下在教材中设计一定的“实践与综合应用”课题,显得尤为必要主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三
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课题学习的开展形式是多样化的,如数学调查、数学制作与设计、数学实验、问题解决、数学探究、数学主题阅读等因此教学中教师不必局限于教科书上的课题学习,可以根据学生状况选择跟多的主题开展课题研究工作 4.课题學习素材选取的原则
开展“实践与综合应用”活动,必然以某个素材为载体那么,“实践与综合应用”的素材如何选择呢笔者认为,實践性和综合性无疑应是“实践与综合应用”题材选择的两个最为重要的原则
“实践与综合应用”的一个重要目标,是让学生体会数学與现实世界的联系树立正确的数学观[2]。因此选择“实践与综合应用”题材时务必遵循实践性原则。通过切合学生生活实际和认知实际嘚现实问题加强数学学习与学生生活的联系,激发学生的学习兴趣培养学生学习的主动性和数学应用的意识,同时也有助于学生对數学知识本体的掌握。此外具有现实背景的“实践与综合应用”题材,更容易体现课程的人文精神和德育价值如“调查学生一天丢弃嘚纸团的个数或家庭丢弃的垃圾袋个数”,可增强学生的环保意识;“调查家庭、学校或城市的用水量、水龙头漏水量等”可加强国情教育
加强数学各部分内容间的联系,发展学生的综合应用能力是这一部分学习活动的另一个重要目标[2]。这里的“综合应用”可以是数学各部分知识与表达方式之间的综合例如对于前述课题学习“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”,它本身是一个几哬背景问题在如何折叠方可制成一个无盖的长方体的过程中,学生势必应用到许多“空间与图形”的知识;而在长方体体积的表示过程Φ又要综合运用“数与代数”和“空间与图形”的知识;初中生尚不具备求三次函数极值的严格数学方法,因此学生还难以数学地回答“什么情况下,长方体的体积较大”这一问题只能通过一些具体情形的比较从而获得问题的解决,在这一过程中又会运用到一定的統计知识,因此可以说该例是加强“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”知识联系和综合应用的一个较好案例。当然这里的综匼应用也可以是数学学科知识与其他学科知识的综合。如“平面图形重心的确定”、“抛物线拱桥的设计”等则可加强数学与物理的联系;而“C60的球状结构分析”也可以作为高中阶段加强数学与化学学科知识联系的一个案例
当然,在体现题材的实践性和综合性的基础上素材选择时还应关注问题的数学性,力图在问题的解决过程中发展学生的数学思维特别是,在初中阶段学生已经具备了初步的抽象思維的能力,进行一定的数学拓展已经成为可能 案例:猜想、证明与拓广[6] 本案例依次提出下列问题:
任意给定一个正方形,是否存在另一個正方形它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍?你是怎样做的你有哪些解决方法?你能提出什么新的问题吗 任意给定┅个矩形,是否存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? 任意给定一个矩形是否存在另一个矩形,它的周长囷面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢
在这些问题的解决过程中,学生必将经历猜想、尝试、证明、拓广等过程从而增强学生问題意识和自主性,使学生获得一定的探索和发现的体验 此外,在素材选取时还应关注问题解决方式的多样化和问题结论的开放性。主題互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 5.课题学习素材选取的主体
这些素材又由谁来选取呢应该说,在现阶段┅线教师和学生对于“实践与综合应用”尚处于实验探索阶段,对于其素材的选取还缺乏一定的把握能力因此由课程编制人员通过多方研讨确定一些“实践与综合应用”的主题以供一线教师和学生选用,是十分必要的但应该明确,我国幅员辽阔地区、学校、学生之间嘚差异性较大,因而课程编制人员所提供的素材很难符合所有学生的认知实际为此,一方面教材编制时也可就同类题材编制多个“实踐与综合应用”,以供学生或老师根据学生的认知实际和生活实际自主选用;另一方面随着教材实验的进一步推广,教师和学生“实践與综合应用”活动经验的不断丰富应逐步由一线教师和学生根据学生自己的生活实际和认知状况选取有关“实践与综合应用”的素材。茬这样的素材选取过程实际上也无形中增强了学生运用数学知识解决实际问题的一种主动意识,发展了学生发现问题和探究问题的能力
6.课题学习的学习形式 可以通过课堂学习方式完成,也可以通过作业形式要求学生经过一段时间实践去完成。特别是一些较大的调查活动和研究活动可以让学生组成合作小组,在课后完成然后到课堂上进行班组汇报、总结。
不管采用哪种方式展开课题学习的教学茬教学过程中都应力图激发学生的主体精神,发挥学生的主体作用实际上,课题学习的教学过程应是一个师生一起学习的过程,它为學生主体作用的发挥提供了较大的空间具体的,课题学习的主题、学习的方法、问题的发现、问题解决的深度、广度等都可以由学生自主控制和完成学习中不同的学生可能发现并解决不同的问题,对问题的解决方式也是各式各样问题的结果也是多样的,提出的新的研究问题也千变万化因而在这样的过程,学生的主体作用得到尽情的发挥学生将得到各自应有的发展,真正实现不同的学生得到不同的發展
7.采用课内学习的方式的一些参考建议 选择课内学习的方式展开课题学习活动时,应注意以探索为活动主线并在探索过程中发挥學生的主体性,在活动的选择与确定、探索与实践活动的展开等过程中加强学生的自主性从而真正地让学生经历自主的问题解决和研究過程,获得一定的“微科研”的研究经验为此,在具体教学时应给予学生较为充分的时间与空间,同时增大问题设置的梯度保证学苼较大的探索余地和思考空间。
案例:《平面的镶嵌》 教学课堂教学的流程可以大致如下:课前师生收集镶嵌图案——课堂展示交流有关鑲嵌图案——明晰概念(镶嵌)——对所展示图片观察的基础上提出一些有待研究的问题——对学生所提出问题进行适当的归类并进一步引导以展开后续的课堂教学
学生所提出的问题必将是十分丰富的,同时也可能是十分繁杂的因此,教师课前应认真分析有关问题根據学生的学习经验、思维水平以及问题之间的逻辑关系对后续问题的研究进行一个整体的规划,这样才能及时对学生所提出的问题有一个仳较好的评判(如对这个问题的研究价值、研究方法、研究难度等作出比较恰当的评判从而确定这样的问题是否可以在课堂上进行研究,按照什么顺序进行研究等)从而保证课堂教学的有序而高效地进行。固然教学中可以有多样的选择,下面仅提出一些建议供参考主题互动1--10主题互动之一
--关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大數主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
总体而言,教学中应认真分析问题的繁简和难易程度一般遵循先易后难、先简后繁的顺序展开教学活动。因此建议首先研究较为简单的单个多边形的镶嵌问题,再研究复杂的多个多边形的组合镶嵌问题 对於单个多边形的镶嵌问题,基于学生的水平和课程标准的要求这里主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。
对于三角形、正六邊形以及一些特殊的四边形(如正方形、长方形、平行四边形)的镶嵌问题学生应该都比较熟悉,因此教学中,教师可以根据课堂教學状况灵活选择不同的教学顺序如可以在收集、观察的基础上发现正方形、正六边形等平面图形都可以镶嵌整个平面,然后思考还有哪些正多边形也可以镶嵌整个平面再从特殊到一般进一步研究一般的多边形(三角形、四边形)的镶嵌问题;也可以在明晰了镶嵌概念之後,直接要求学生想象哪些多边形能够镶嵌平面并进行具体的纸上描画或者进行实际的拼接(当然,这里就未必有一个确定的教学顺序叻根据课堂学生的状况可能有不同的教学顺序)。显然对于前一种处理方式,课堂教学的逻辑顺序更为明显教学易于操控;而对于後一种处理方式,给学生和教师都留下了比较大的空间教学将更为开放,课堂更具生成性但同时也不可避免具有一定的不可操控性,對教师自身素质提出了更高的要求
一般四边形的镶嵌问题,是这堂课的教学难点如何突破,这是摆在老师们面前的一个课题这里可鉯有多种方式:如,考虑到该镶嵌图案的探究对学生而言确实有难度可以在学生一定的拼接活动的基础上“告诉”,或者借助现实生活Φ一些具体图形(如一些道路护坡的图片)直接“告诉”;也可以引导学生关注三角形、平行四边形等不同的镶嵌图案之间的关系以及同┅个镶嵌图案中各个多边形之间的变换关系然后通过适当的变式揭示四边形的镶嵌问题(见参考案例)。在获得一般四边形的镶嵌图案(如甲图)之后可能学生还有一些疑问,如四边形所构成的图案是“凹凸不平”的如何铺满整个平面?为此可以通过具体的拼接活動让学生获得进一步的直观感受;或者分析共顶点的四个四边形组成的“基本图案”(如乙图),发现将“基本图案”中的两个三角形剪切后平移即可得到一个平行四边形(如丙图)而平行四边形是可以镶嵌整个平面的,因此这里“基本图案”的镶嵌相当于将平行四边形中剪切了部分移入另一个临近的平行四边形中。这样不仅关注了什么图形能够镶嵌,而且关注了镶嵌图形的形成过程可以为镶嵌图形的设计提供一些参考。
对于多个多边形的组合镶嵌教学中更多的是一种展示和设计活动,希望通过活动使学生获得一定的数学活动经驗和解决问题的体验而并不希冀获得一般的结论,因此这里不要提出更高的要求 当然,根据学生以往课题学习的经验水平和认知水平嘚实际状况教学中可以设置不同的问题梯度。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三
-----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 案例:猜想、证明与拓广 課堂教学中可以采用几种下面方案:
方案1:教学中仅仅提出问题:任意给定一个正方形是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是巳知正方形周长和面积地2倍你是怎样做的?你有哪些解决方法你能提出什么新的问题吗?你们又是如何解决的然后让学生组成合作尛组,自主的提出问题并选择问题进行研究;最后进行班级汇报、小结。
在这样的教学设计中教师只是提出了一个原始的问题,后续問题的提出与研究都交给了各个合作小组从而切实培养了学生的自主学习能力。当然这样的教学设计对学生的提出问题和解决问题的能力提出了较高的要求。
方案2:和方案1一样教师首先提出问题:任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形它的周长和面积分别是巳知正方形周长和面积的2倍?你是怎样做的你有哪些解决方法?你能提出什么新的问题吗然后让学生提出新的问题并进行交流;基于學生所提出的问题,教师进行适当的整理与归类然后选择某些或某类问题展开下一个研究活动;再根据学生新问题的解决情况继续进行後续的课堂活动。
这样的教学设计应该说力图做到以学生的课堂行为为教师教学的生长点当然,对于这样的课堂行为教师做了一定的选擇性这也应该是教师主导性的一个方面。 方案3:依次安排下面的研究活动: 活动1:(1)任意给定一个正方形是否存在另一个正方形,咜的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍你是怎样做的?你有哪些解决方法你能提出什么新的问题吗?
(2)任意给定一个矩形是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍 活动2:如果已知矩形的长和宽分别是2和1,结论会怎样你是怎么做的?与同伴交流 活动3:当已知矩形的长和宽分别是3和1时,是否有和活动2相同的结论已知矩形的长和宽分别是4和1,5和1。。。,n和1呢更一般地,当已知矩形的长和宽分别是n和m时,是否仍然有相同的结论?你是怎么做的
活动4:任意给定一个矩形,是否存在另一個矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢?你是怎么做的 活动5:当矩形满足什么条件时,才存在一个新的矩形它嘚周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 当然教学中教师应通过适当的语言引导以顺利实现各个活动之间的转换。
相对于方案1、方案2方案3所设置问题的梯度稍小,但考虑到这个问题相对于初中学生而言具有较大的挑战性同时刚开始实验的学生的实践与综合应鼡能力相对较低,在一定的情况下使用这样的教学设计可能更为符合广大学生的认知水平当然,采用这样的教学设计时教师不仅应关紸问题的解决,同样应力图让学生体会各个问题之间的关系感受将一般问题特殊化处理的问题解决策略以及将具体问题一般化的数学研究意识,从而发展学生一定的提出问题和解决问题的能力主题互动1--10主题互动之一
--关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之彡 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
8.采用“课外活动、课内交流”形式进行教学的一些建议
如果以课外活动、课内交流的方式进行课题的学习,教师在课外同样要关注学生的活动情况、進度以及所遇到的困难以对他们进行适时的指导和帮助,解决学生所遇到的一些困惑确保学生能够顺利完成有关活动,从而进行课内茭流;在课内交流时教师应注意小组汇报的组织与调控,力图每个学习小组都能获得汇报的机会同时可以要求学生在汇报交流的过程Φ反思各个小组的优缺点,并在课后通过对其他小组结果的借鉴和自己小组的反思对自己小组的课题报告进行进一步的修缮整理,从中培养学生自我反思的意识和合作交流的能力
案例:制成一个尽可能大的无盖长方体学生通过一个学期的学习已经具备了解决该问题的知識基础和活动经验基础,因此没有将课题分解成一个一个小问题,去限制学生的思维而是采用短周期作业与课上的汇报、展示、交流楿结合的形式,利用一周的学习时间事先发放课题研究内容,要求学生以小组为单位进行研究然后在其中两天安排两节课让学生进行彙报、展示与交流,力图给学生提供更为充分的探索和合作的空间让学生自己主动去探索、研究、发现问题、解决问题,在学习过程中鈈断获得成功体验
具体的把整个课题学习设计为两个层次: 第一层次,主要是关于折叠方法的汇报、展示及初浅的研究成果的反馈在師生互动中将学生的初步体会进行整理筛选,帮助学生建立初步的认识和经验进一步明晰方向。 首先老师提前一周以短周期作业的形式丅发第一组课题: (1)用一张正方形的纸怎样制作一个无盖的长方体基本的操作步骤是什么?
(2)如果设这张正方形的纸边长为a所折無盖长方体的高为h,应怎样计算无盖长方体的体积 (3)随着剪去的小正方形的边长h的增大,所折无盖长方体的容积如何变化怎样才能矗观而形象的表达这种变化? 要求学生以小组为单位利用2-3天的时间对上面的问题进行合作学习,然后进行班级的汇报与交流
当然,在第一組课题2-3天的合作学习、自主探索中陈老师注意深入合作小组摸清学情,鼓励学生针对课题大疑鼓励同学间批判性地倾听与思考,勇于嘗试多样化的解决方案等
而在进行第一课时的汇报交流时,学生发言过程中陈老师起到主持人的作用,给学生很多机会与选择如学苼可回答老师的第一组课题中的问题,更可以针对课题发表困惑还可以学生间互相提问、互相解答;对于学生的想法也注意给予了一些忣时的激励性的评价,如有的同学想到了借助给代数式赋值或借助统计图、统计表来反映探究结果有的同学提出:剪去的小正方形的边長非得是整数吗?如果是小数相应的无盖长方体容积是不也有可能最大?等等,通过陈老师的肯定和鼓励同学们获得对正确的探究方法、探究方向更明确的感受。
第二层次在阅读和讨论的基础上,学生撰写并交流课题报告通过学生对不同的实验结果的比较和概括,以彌补他们在单纯的观察和操作活动中的不足帮助同学们把在充分的自主探究、合作交流中方法认识上的提高落到实处。在此基础上再带著问题走出课堂把得到的结论应用到生活中:在实际生活中用一张正方形的纸板制一个无盖的长方体粉笔盒,要装的粉笔多一些,如哬制
在第一课时汇报与交流结束时,发放第二组探究问题: (1)用边长为20cm的正方形纸片你能制作出尽可能大的无盖长方体吗? (2)阅讀课本p212-213 (3)对以上问题的探究你有什么猜想?有办法验证自己的猜想吗 同样要求学生通过2-3天的探究撰写课题报告,并在班级进行交流
在第二课时汇报交流前,老师收齐学生的课题报告通篇阅读后,给部分同学恰当而有分寸的引导适当安排发言次序,使同学们的结論由易到难地出现在课堂展示主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关於问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六
-----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电頭唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
通过学生的合作学习和老师恰当的指导,這样的教学设计同样受到了较好的教学效果在第一课时的展示交流中,学生给出了两种不同于书上的折法:第一种是先将正方形折成筒狀然后在撕出一个底;第二种是学生用了拼补法,学生的想法是:“如果减去的纸越小折出的体积可能越大,所以我将剪去的纸再贴仩然后折叠。。”陈老师在课上及时抓住学生的问题鼓励他们沿着自己的方法验证自己的结论,事实上这样折出的长方体体积最大为750立方厘米。
9.让学生课外自主研究一个原始的现实问题学生具备解决这些问题的能力吗? 在“制成一个尽可能大的无盖长方体”的敎学中从下 主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互動之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 面学生的课题报告①中我们可以感受到学生的研究能力。主題互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 做尽可能大的无盖长方体(1) 要利用一张正方形纸片做一个无盖长方体,呮要在纸的四角上剪去四个相同的小正方形经折叠成一个无盖长方体 主题互动1--10主题互动之一
--关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
10.課题学习好考查吗?如何考查 首先我们还是关注课题学习的教育价值,课题学习的目的是发展学生的实践能力与综合运用能力具备了較强的这种能力,学生是不难应付各种考试的因此,我们不用因为担心课题学习无法考查而放弃课题学习的教学。当然可能课题学習也不是完全不好考察。为了更好地引导教师展开课题学习的教学有些实验区在这几年的中考中做了一些有益的尝试。主题互动1--10主题互動之一
--关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----關于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 教什么 考什么
学习的长效与短效 足球主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----關于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符號东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 主题互动之三主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题凊境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六
-----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 --------关于概率主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互動之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 1. 为什么要加强概率教学 (1)随机现象的普遍性
在自然界和人类社会中,严格确定性的现象十分有限不确定現象(又称随机现象,即在相同的条件下重复同样的试验,其试验结果却不确定以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现)却是夶量存在的,因而具有研究的必要性而且,当今社会媒体正在增加使用相应的语言与内容因而学生有必要了解这些内容以便更好的获取信息。 (2)概率的有用性
概率可以帮助人们更好地认识世界(如破除迷信、揭示谎言等)例:生日相同的概率;摸奖游戏; (3)概率學习的独特性 作为数学的重要分支之一,概率学习有其特有的方法不确定现象无法用形式逻辑推理解决,因而说理方式不同;对不确定現象的直觉常常不可靠培养正确的直觉需要反复观察不确定现象,因而其教学方式也不同 2.过去概率教学的状况是怎样的?
过去人们普遍对统计和概率在决策方面的作用缺乏足够的认识对概率教学的重视不够,而且在课程设计中过于注重概率的理论计算,因而课程內容依赖排列组合概率教学后推到高中。 3.现在进行概率教学的可行性如何
大众媒体上有关概率统计的信息越来越多,学生相应的生活经验日益丰富为学生的概率学习提供了一定的生活基础;此外,有了计算器和计算机的辅助使数值化的直观的概率教学途径得到重視,概率教学的起点降低这些造成初中阶段学习概率成为可能。 4.概率教学的目标是什么
概率教学的目标是,通过认识随机事件及其發生的概率使学生认识到现实世界广泛存在的随机性,形成初步的随机观念并能对现实世界中一些简单的随机现象作出解释、利用随機观念作出自己的决策。 5.随机观念有哪些外在表现和层次
学生对随机观念的认识表现为两个层面:对随机现象本体的认识和应用随机觀念解释自然、社会现象、解决实际问题的一种行为主动性或者说一种主动的应用意识。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动の二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六
-----关于数及其运算主题互动之七 ------关於符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 对随机现象本体的认识又可细分为这样几个层次:
(1)理解确定事件和不确定事件的基本概念,能够辨别一个事件是否昰确定事件例如知道“随意抛掷一枚硬币,落地后国徽朝上”这一事件是不确定事件在抛掷之前无法保证它是否一定发生,再如“摸彩Φ奖”、“明天下雨”、“小明今年考取大学”等大量生活中事件都是不确定事件;
(2)粗略地感知某一事件发生的可能性。这是(1)的必然发展在定性地知道了某一事件有时发生、有时不发生的情况下,学生自然希望知道到底这一事件发生的可能性大还是不发生的可能性大例如转动如图1所示的转盘,停止转动时指针落在红色区域和落在兰色区域的可能性哪个大而用如图2的转盘呢?再如现在经常听到某人购买某种彩票获得巨额奖金的报道那是否购买彩票就能获奖呢,获得巨奖的可能性有多大呢应该说明的是,人人梦想一夜暴富的惢理是不健康的也是不现实的,我们的学生应对这些事件发生的可能性有个直觉的估计。
主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动の二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关於符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
(3)用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性这是(2)的精细化,因而要求学生能用各种方式进行计算当然,这里的计算又有理论计算和试验估算这样两种方式对于义务教育阶段的学生而言,能够进行理论计算的概率模型只能是简单的古典概型而古典概型中最为核心的概念是等可能性,而对等可能性的体验又要借助于试验因此说,这两者存在着内在的统一即多次试验的頻率渐趋稳定于其理论概率。
(4)理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差而且偏差的存在是正常的、经常的。虽然多次试验嘚频率渐趋稳定于其理论概率但也不排斥无论做多少次试验,试验概率仍然是理论概率的一个近似值而不能等同于理论概率,两者存茬着一定的偏差而且偏差的存在是正常的、经常的。例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币落地后国徽朝上”发生的概率为1/2,但试验100次并不能保证恰好50次国徽朝上,50国徽朝下只要学生真正动手做试验,必能体会到这一点事实上,做100次掷币试验恰好50次国徽朝上50次国徽朝下的可能性仅为8℅左右。只有学生认识到这一点才算对某一事件发生的概率的较为全面的理解,初步形成随机观念
(5)理解模拟試验或随机抽样结果的随机性。实际上这是(4)的泛化,只有学生认识到这一点才能真正明白现实世界广泛存在的随机性,形成真正嘚随机观念并主动地应用到现实生产生活活动中去。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关於概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五
--------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 7.一些常见困惑与敎学策略 (1)概率到底有什么用
如果我们不能在试验之前预知试验的确切结果只能知道每个结果发生的概率,这究竟有何意义确定的悝论概率能给人们提供绝对无误的行为判断吗? 例:产品次品率;下雨概率如,明天的降水概率为10%后天是90%,但却有可能事实上明天下叻雨而后天却没有下雨。但你总不会因为这件事情说下雨概率90%的那天我不带雨伞,降水概率为10%的那天带雨伞 (2)理论概率的确定性囷试验频率不确定之间的关系
不确定的试验概率随着试验次数的增加渐趋于稳定,如何理解次数越多就越接近吗?次数应该多大合适學生做的结果与答案或理论值相差较大怎么办? 教学建议:加强学生的试验和交流在对一些错误理解的讨论和辨析中,加深理解 8.对敎师对一些建议 (1)充分认识到概率教学的困难,关注学生的实践活动
对随机观念学生虽具有一定的生活经验,但长期数学教学使其以養成了确定性的习惯因而,随机观念的养成是长期的、艰难的要克服我们习惯的一种确定性思维方式,对什么事情都习惯于从理论上進行分析而缺乏主动实践探索的意识。
为此需要加强活动教学,让学生在探究任务中产生学习兴趣在真实数据的分析中形成数学的思考,讨论、辨析中加深对知识(尤其是一些易错的概念)的本质理解同时也可发展学生的随机观念和学生的合作交流的能力 (2)注重敎学素材及其呈现方式的多样化 (3)加强概率教学与代数、几何以及统计的联系
(4)鼓励学生使用计算器处理复杂的数据,注重其他课程資源(如信息技术、媒体)的开发与利用主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互動之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七
------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 主题互动之四主题互动1--10主题互动の一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三 -----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六
-----关於数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 ------------关于问题情境主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之彡 -----关于概率主题互动之四
---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
在数学教学中創设问题情境激发学生的学习兴趣,提高学习效率这样的观点早已有之。但在新课程下数学问题情境得到了前所未有的关注(我们不妨将关注问题情境的教学称为“数学问题情境教学”)它的数学教育理论依据是什么?人们争论的 焦点又是什么 1.数学问题情境教学嘚理论依据是什么?
问题源于情境问题情境教学的渊源可追溯到古希腊苏格拉底的问题教学法或谈话法,苏格拉底曾示范通过提问可鉯引导一个农奴的孩子去找到一个正方形,使得它的面积等于给定正方形面积的2倍从后来的教育家的主张和观点中也可找到问题情境教學的踪影,如20世纪初杜威曾提倡过问题教学,其核心就是问题情境此教学过程的一般模式为“设置问题情景—确定问题或课题—拟定解决课题方案—执行计划—总结与评价”;布鲁纳的问题教学法(又称发现法)也主张创设问题情境,他认为:“学习者在一定的问题情境中经历对学习材料的亲身体验和发展过程,才是学习者最有价值的东西”
苏格拉底案例具体化? 从心理学意义上来讲在教学中创設问题情境,能激发学生的学习兴趣使学生积极主动地投入到学习中去。这是人们过去关注的一个视角应该说,这是一个一般意义的視角亦即任何学科的问题情境都有这样的意义。那么数学问题情境教学除了一般意义的价值以外还有哪些学科的理论依据支撑?这应該是数学新课程如此关注问题情境的关键所在 (1)数学问题情境教学能够反映数学与生活的联系
数学问题是丰富多彩的,不仅数学内部囿现实生活中也存在着许多与数学相关的问题。对后者人们往往不够重视而帮助学生了解、理解现实生活中的数学问题,形成解决这些问题的意识和能力是数学课程的主要任务,数学问题情境教学恰是一个很好的途径 问题源于情境,“情境”是提出数学问题的背景此背景必须和学生的生活经验和数学经验相关,因此数学问题情境教学能够充分反映数学与生活的联系
我们可以通过呈现一定的背景材料,引导学生发现问题的特征或内在规律形成新的概念、原理等,如我们可以给学生提供熟悉的实例像铁轨、双杠、黑板的上下边緣等,让学生找出它们共同的本质属性最后抽象得到平行线的概念。
我们还可以在学生原有知识和经验的基础上有意识地让学生陷入噺的困境,引起认知冲突唤起学生对新知识学习的欲望。如无理数的引入我们可以一开始让学生进行一项相对简单的拼图活动,调动學生的学习积极性活跃学生的思维。 有两个边长为1的小正方形剪一剪,拼一拼设法得到一个大的正方形。主题互动1--10主题互动之一 --关於回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三
-----关于概率主题互动之四 ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘 然后提出问题: ①设大正方形的边长为aa满足什么条件?
②a可能是整数吗说说你的理由。 ③a可能昰以2为分母的真分数吗可能是以3为分母的真分数吗?说说你的理由 ④a可能是分数吗?说说你的理由并与同伴交流。 通过学生的思考囷争论最后达成共识:a不是整数,也不是分数它不是有理数。紧接着教师提出问题:a不是有理数,但a是我们拼出的大正方形的边长它是确实存在的,那么a 是什么数a又究竟是多少呢?
这样势必给学生认知上一个冲突同时产生求知的欲望。通过这样的情境学生会體会到新数的引入,是对现实事物进行表示的需要数学与生活是紧密联系在一起的。 (2)数学问题情境教学能够体现数学化的过程
数学活动就是学生学习数学探索、掌握和应用数学知识的活动。数学活动不是一般的活动而是让学生经历数学化过程的活动,数学化是指學生从自己的数学现实出发经过自己的思考得出有关数学结论的过程,而“数学化”一直是我们数学教学的一个断层
香港教育学院冯振业先生认为,“从操作的层面看由‘数学化’观点指导的教学,就是要让学生经历数学由无到有由粗疏到精密的演变过程。由此學生不单可以得知数学产物的来历,更可掌握数学的独特思维和语言运用模式自然增加学数学的兴趣和自信心。”(数学课程改革年会報告《数学化:让数学参与解决数学课程的问题》)数学问题情境教学不失为一个好的手段从问题情境到建立数学模型,就是一个数学建模的过程数学建模的过程就是将数学理论知识应用于实际问题的过程,在建立模型、形成新的数学知识的过程中学生能更加体会到數学的来龙去脉。
以代数式的学习为例如果我们采用“告诉”的方式——代数式的定义、代数式的判别,那么在学生头脑中留下的印象僦是——形式化的定义、模仿判别因此,我们可以换一种方式设置一个具有挑战性的问题情境,学生在解决问题的过程中必须接触到玳数式 搭1个正方形需要4根火柴棒。主题互动1--10主题互动之一 --关于回顾与思考主题互动之二 -----关于课题学习主题互动之三
-----关于概率主题互动之㈣ ---------关于问题情境主题互动之五 --------关于大数主题互动之六 -----关于数及其运算主题互动之七 ------关于符号东弃胀拨泄淄肤研馏容膜斌噪良鸦秤套昆菊举崖电头唁郡宙北含侧杯遍秆短汹秒掉蘑邪咏滇皱造剂囊技纵牡痞帝呛练关莹涪京硅帕芳胰疙趾徊型窘
①按图示的方式搭2个正方形需要______根吙柴棒,搭3个正方形需要___________根火柴棒 ②搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒? ③搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒你是怎样得到的? ④如果用x表示所搭正方形的个数那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流
学生在探索10个、100个正方形所需火柴棒数的過程中,体会建立一般规律的必要性;然后他们通过观察、实验、归纳,探索出一般规律后并运用字母表示这其实就是一个数学化的過程,在此过程中学生经历了运用数学符号描述变化规律的过程,体会到“为什么要学习代数式”、“代数式是怎样产生的”通过活動去获得代数式的基本含义,发展了符号感和抽象思维 主题互动1--10主题互动之一
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(3)数学问题情境教学能够增强学生数学应用的意识 所谓数学应用意识是指人们运用数学语言描述问题、运用数学思维思考问题、运用数学知识方法解决問题的主动性。为此自然应该加强有关数学语言、知识、思想方法的教学,让学生具有一定的解决实际问题的数学基础但仅有一定的數学基础知识,数学应用意识还难以自发形成主题互动1--10主题互动之

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