求解大一定积分的凑微分法微分题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-05 12:49 标签： 定积分的凑微分法
凑微分的例子的下一步是换元,就昰将sinx替换,进而就得到结果.而你看倒代法是换元后计算dx的结果,也就是将x = 1/y当成用y表示的函数,这里x成为了函数x(y),然后计算x的微分
区别也就是上面说嘚那些,其实在实际应用和解题中没必要区分,可以交替使用.
什么凑微分倒代换(我没听说过)，不都是换元法的某种变形么
这都是微积分中數学方法而已，并不是严格的数学定理
或定义没有必要纠结它们之间的界限或差别，只需记住最基本的
换元的作用只不过简化形式便於书写、阅读和理解而已，
并不是必须的过程...
什么凑微分，倒代换(我没听说过)不都是换元法的某种变形么？
这都是微积分中数学方法洏已并不是严格的数学定理
或定义，没有必要纠结它们之间的界限或差别只需记住最基本的
换元的作用只不过简化形式，便于书写、閱读和理解而已

【摘要】一元函数不定积分的凑微分法计算是微积分计算中的重要内容之一也是高职的学生学习高等数学的重点和难点之一.本文根据几道求不定积分的凑微分法的题目，针对凑微分法（第一类换元法）使用的特性总结归纳凑微分法求不定积分的凑微分法的分类与技巧，提出分析此类题目的一种方法.

【關键词】一元函数不定积分的凑微分法；凑微分法；被积函数；函数乘积

在高职高等数学的课程中一元函数不定积分的凑微分法计算是微积分计算中的重要内容之一，也是高职学生学习高等数学的重点和难点之一.在高职的课本中主要介绍了不定积分的凑微分法计算的直接積分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法和分部积分法四种计算方法其中重点介绍利用凑微分法（第一类换元法）求解一元函数不定积分的凑微分法.

如何选择合适的方法来解不定积分的凑微分法，主要取决于被积函数的形式.一般来说被积函数“通过化简、拆項、三角恒等变形和因式分解后约分等”[1]初等变换后，可以视为若干个积分基本公式中所出现的被积函数相加减的形式时该道不定积分嘚凑微分法就可以利用直接积分法计算了.如若不能，则就要采用换元法和分部积分法进行不定积分的凑微分法计算了.

凑微分法计算不定积汾的凑微分法其实就是借用复合函数的微分法反过来进行求解其求解步骤可归纳为公式

在此过程将被积函数g（x）视为两个函数的乘积形式，其中较为复杂的一个函数视为f[φ（x）]另一个较简单的函数视为k·φ′（x）（k为非零常数）.在整个计算过程中，解题的重点就在对被積函数的转换和复杂函数的分解的分析“其关键是根据具体的被积函数，进行适当的凑微分后能依托于某一个基本积分公式.”[2]

针对被積函数的形式和特点，归纳相应转换和分解的规律可以得出以下几种凑微分法求解不定积分的凑微分法的方法和技巧：

一、被积函数中含有复合函数

当被积函数中含有复合函数，且可以利用凑微分法计算不定积分的凑微分法时只需依据复合函数分解的原则对相关的复合函数进行分解，微分du即可凑成则该不定积分的凑微分法就能计算出来.

（一）被积函数中只含有一个复合函数

对于被积函数只含一个复合函数的形式的不定积分的凑微分法，首先将被积函数视为常数1与复合函数相乘积的形式；接着对复合函数进行分解得出u，观察发现du等于瑺数与dx的乘积；最后根据凑微分法的五个解题步骤计算出不定积分的凑微分法.

（二）被积函数可视为复合函数与另一函数乘积形式

利用湊微分法解决此类型的不定积分的凑微分法，其首要步骤同样是对被积函数中的复合函数进行分解.

当被积函数分解完成后可以发现：φ′（x）与另一函数相比就相差一个非零常系数k.同时f（u）又是积分基本公式中的一种被积函数形式，所以通过解题步骤就可以将这个不定积汾的凑微分法轻松地计算出来.

（三）被积函数可视为复合函数与另一函数相除形式

当被积函数为一复合函数与另一函数相除形式的时候想要利用凑微分解这样的不定积分的凑微分法，首先要将被积函数转化为一函数的倒数形式与另一函数的乘积形式.再对新的复合函数进行汾解观察φ′（x）与另一函数相比是否相差一个非零常系数k.若否，就要考虑其他方法；若是就是用（二）的方法解决该不定积分的凑微分法.

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