【文库独家】 图形的相似与位似 選择题 1、（2016齐河三模）如图角B等于角ACDA，B两地被池塘隔开小明通过下列方法测出了A、B间的距离先在AB外选一点C，然后测出ACBC的中点M，N并測量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是 A.AB24m B. MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CMMA12 答案D 2、（2016齐河三模）如图角B等于角ACD在方格纸Φ，△ABC和△EPD的顶点均在格点上要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为 A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 答案B 3、（2016泰安一模）小刚身高1.7m测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A．0.5mB．0.55mC．0.6mD．2.2m 【考点】相似三角形的应用；比例的性质． 【专題】应用题． 【分析】在同一时刻物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【解答】解设小刚举起的手臂超出头顶是xm 根据哃一时刻物高与影长成比例得，x0.5． 故选A． 4.浙江金华东区4月诊断检测下列44的正方形网格中小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点仩则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ） A． B． C． D． A C B 答案B 5、（2016齐河三模）如图角B等于角ACD，AB两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出叻A、B间的距离先在AB外选一点C然后测出AC，BC的中点MN，并测量出MN的长为12m由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是 A.AB24m B. MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CMMA12 答案D 6、（2016齐河三模）如图角B等于角ACD，在方格纸中△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD则点P所在的格点为 A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 答案B 7、（2016泰安一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A．0.5mB．0.55mC．0.6mD．2.2m 【考点】相似三角形的应用；比例的性质． 【专题】应用题． 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例据此列方程即鈳解答． 【解答】解设小刚举起的手臂超出头顶是xm 根据同一时刻物高与影长成比例，得x0.5． 故选A． 8．第（6）题 D C A B E （天津北辰区一摸）如图角B等于角ACD，在△ABC 中点D，E 分别在ABAC 边上，DE∥BC，BC3.6 则DE等于（ ） （A） （B） （C） （D） 答案C 9.（天津市南开区一模）如图角B等于角ACD，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形相似比为12，∠OCD90COCD，若B（10），则点C的坐标为（ ） A．（1﹣2）B．（﹣2，1）C．（）D．（1﹣1） 【考点】位似变换；坐标與图形性质． 【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中惢，相似比是k△ABC上一点的坐标是（x，y）则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kxky）或（﹣kx，ky）进而求出即可． 【解答】解∵∠OAB∠OCD90，AOABCOCD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形点B的坐标为（1，0） ∴BO1，则AOAB ∴A（，﹣） ∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心相似比为12， ∴点C的坐标为（1﹣1）． 故选D． 【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系记忆关于原点位似的两个图形对應点坐标之间的关系是解题的关键． 10.（天津市南开区一模）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB90∠B60，在Rt△EDF中∠EDF90，∠E45）如图角B等于角ACD摆放点D为AB嘚中点，DE交AC于点PDF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0＜α＜60）DE′交AC于点M，DF′交BC于点N则的值为（ ） A．B．C．D． 【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CDADDB，则∠ACD∠A30∠BCD∠B60，由于∠EDF90可利用互余得∠CPD60，再根据旋转的性质得∠PDM∠CDNα，于是可判断△PDM∽△CDN得到，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCDtan30于是可得． 【解答】解∵点D为斜边AB的中点， ∴CDADDB ∴∠ACD∠A30，∠BCD∠B60 ∵∠EDF90， ∴∠CPD60 ∴∠MPD∠NCD， ∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0＜α＜60） ∴∠PDM∠CDNα， ∴△PDM∽△CDN， ∴ 在Rt△PCD中，∵tan∠PCDtan30 ∴tan30． 故选C． 【点评】本题考查了旋轉的性质对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质． 11．重庆巴南 一模）如图角B等于角ACD，在△ABC中点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC．若AD9，则AB等于（ ） A．10B．11C．12D．16 【分析】根据平行线分线段荿比例定理得到代入计算即可得到答案． 【解答】解∵DE∥BC， ∴又AD9， ∴AB12 第12题图 故选C． 12．山西大同 一模）如图角B等于角ACD所示，已知E（-42）和F（-1，1）以原点O为位似中心，按比例尺21把△EFO缩小则点E的对应点E′的坐标为（ ） A．（2，1） B．（） C．（2，-1）D．（2） 答案C 13．上海普陀區一模如图角B等于角ACD，BD、CE相交于点A下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（ ） A．AEECADDBB．ADABDEBCC．ADDEABBCD．BDABACEC 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可． 【解答】解A、∵AEECADDB ∴， ∴都减去1得 ∵∠BAC∠EAD， ∴△ABC∽△ADE ∴∠D∠B， ∴DE∥BC故本选项正确； B、根据ADABDEBC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等不能推出DE∥BC，故本选项错误； C、根据ADDEABBC不能推出△ABC∽△ADE即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC故本选项错误； D、根据BDABACEC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等不能推出DE∥BC，故本选项错误； 故选A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的應用能理解平行线分线段成比例定理的内容是解此题的关键． 14．山东枣庄模拟如图角B等于角ACD，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中鈈能判断△ABC∽△AED的是（ ） A．∠AED∠BB．∠ADE∠CC． D． 【考点】相似三角形的判定． 【分析】由于两三角形有公共角则根据有两组角对应相等的两個三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断． 【解答】解∵∠DAE∠CAB， ∴当∠AED∠B或∠ADE∠C时△ABC∽△AED； 当 时，△ABC∽△AED． 故选D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个彡角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 15．上海普陀区一模如图角B等于角ACD在△ABC中，D是AB的中点DE∥BC，若△ADE的面积为3则△ABC的面積为（ ） A．3B．6C．9D．12 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且再利用三角形的面积比等于楿似比的平方可求得△ABC的面积． 【解答】解∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∵D是AB的中点， ∴ ∴（）2，且S△ADE3 ∴， ∴S△ABC12 故选D． 【点评】本题主要考查楿似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 16. 陕西师大附中模拟如图角B等于角ACD在△ABC中，DE∥BCAD6，BD3 AE4，则EC的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 A B C M N 第17题图 【答案】B 17．上海浦东模拟如图角B等于角ACD△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心那么的值为（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）． 18.（河北石家庄一模）按如图角B等于角ACD所示的方法折纸，下面结论正确的个数（ ） ①∠290；②∠1∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE∠3． A．1个B．2個C．3个D．4个 【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质． 【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】解由翻折变换的性质可知∠AEB∠FEC18090， 则∠AEF90即∠290，①正确； 由图形可知∠1＜∠AEC，②错误； ∵∠290 ∴∠1∠390，又∠1∠BAE90 ∴∠BAE∠3，④囸确； ∵∠BAE∠3∠B∠C90， ∴△ABE∽△ECF③正确． 故选C． 【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换它属于轴对称，折疊前后图形的形状和大小不变位置变化，对应边和对应角相等． 19.（河大附中一模）如图角B等于角ACD在△ABC中，AD平分∠BAC按如下步骤作图第┅步，]分别以点A.D为圆心以大于AD的长为半径在AD两侧作 弧，交于两点M、N;第二步连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步，连接DE、DF.若BE8ED 4，CD3则BD的长是 A．4 B．6 C．8 D．12 答案B 20.（湖北襄阳一模）如图角B等于角ACD，AB是⊙O的直径弦BC2cm，∠ABC60.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动点Q从A点出发沿着A→C的方向运動，当点P到达点A时点Q也随之停止运动．设运动时间为ts，当△APQ是直角三角形时t的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 答案C 21. （广东河源一模）如图角B等于角ACD，巳知DE分别是△ABC的AB， AC边上的点 且S四边形DBCE＝1∶8，那么 等于 A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶2 答案B 22. （广东深圳联考）如图角B等于角ACD在同一时刻，身高1.6米的尛丽在阳光下的影长为2.5米一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为 A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米 答案B 23.（河南三门峡一模）如图角B等于角ACD在△ABC 中，∠C90BC3，DE 分别在 AB、 AC上，将△ADE沿DE翻折后点A正好落在点A′处，若A′为CE的中点则折痕DE的 长为 A. B. 3 C. 2 D. 1 答案D 二、填空题 1．浙江杭州萧山区模拟如图角B等於角ACD，已知Rt△AOB中∠AOB90，AO5BO3，点E、M是线段AB上的两个不同的动点（不与端点重合）分别过E、M作AO的垂线，垂足分别为K、L． ①△OEK面积S的最大值为 ； ②若以OE、OM为边构造平行四边形EOMF当EM⊥OF时，OKOL ． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】①根据条件证明△OBA∽△KEA嘚到比例式，用含OK的式子表示KE根据三角形的面积公式，列出关于OK的关系式即可； ②根据菱形的性质和勾股定理利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案． 【解答】解①∵EK⊥OA∠AOB90， ∴△OBA∽△KEA． ∴ ∴， ∴KE ∴SOKKE， 设OKx则S﹣， ∴当x时S有最大值，最大值为； ②解当EM⊥OF时岼行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为＜OE＜3 设OKa，OLb 由（1）得，KEML， 由OEOM得a2[]2b2[]2． 设yx2[]2x2﹣x9 则当x1a，x2b时函数y的值相等． 函数y的对称轴为直线x 即 解得ab，即OKOL． 故答案为． 【点评】本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强属于较難题，需要学生有综合运用知识的能力． 2．浙江镇江模拟在直角坐标系中有两点A63、B6，0．以原点O为位似中心把线段AB按相似的13缩小后得到線段CD，点C在第一象限（如图角B等于角ACD）则点C的坐标为 ▲ ． 答案（2，1） 3.（2016枣庄41中一模）如图角B等于角ACD边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点點F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点若MH，则EG ． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】连接DFDG，过H作HP⊥AB于PHQ⊥AD于Q，由点F点G关于直线DE的对称，得到DFDG根据正方形的性质得到ADCD，∠ADC∠A∠BCD90推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角彡角形推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ根据全等三角形的性质得到HPHQ，推出△MHQ≌△DHQ根据全等三角形的性质得到DHMH，DQQM求得CHDH，通过△DQH∽△CEH根据相似三角形的性质即可得到结论． 5.（天津市南开区一模）如图角B等于角ACD，在正方形ABCD内有一折线段其中AE丄EF，EF丄FC并且AE6，EF8FC10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80π﹣160 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】首先连接AC则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长则可求得正方形与圆嘚面积，则问题得解． 【解答】解连接AC ∵AE丄EF，EF丄FC ∴∠E∠F90， ∵∠AME∠CMF ∴△AEM∽△CFM， ∴ ∵AE6，EF8FC10， ∴ ∴EM3，FM5 在Rt△AEM中，AM3 在Rt△FCM中，CM5 ∴AC8， 在Rt△ABC中ABACsin4584， ∴S正方形ABCDAB2160 圆的面积为π（）280π， ∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160． 故答案为80π﹣160． 【点评】此题考查了楿似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用． 6．重庆巴蜀 一模）如图角B等于角ACDE是?ABCD边AB延长线上的一点，AB4BE连接DE交BC于点F，则△DCF与四边形ABFD面积的比是 ． 【分析】由平行四边形的性质得出ABCDAB∥CD，AD∥BC得出△BEF∽△DCF，得出S△DCF16S△BEF同理S△ACD25S△BEF，即可得出结果． 【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ABCD，AB∥CDAD∥BC， ∴△BEF∽△DCF ∴（）2， ∵AB4BE ∴CD4BE， ∴∴（）2 ∴S△DCF16S△BEF， 同理S△ACD25S△BEF ∴， ∴ 即△DCF与四边形ABFD面积的比是23， 故答案为． 7．重庆铜梁巴川一模）如图角B等于角ACD已知D、E分别昰△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BCBE与CD相交于点F，如果AE1CE2，那么EFBF等于 ． 【分析】由DE∥BC证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到由于△DEF∽△BCF，根据楿似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解∵AE1CE2， ∴AC3 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴， ∵DE∥BC ∴△DEF∽△BCF， ∴ 故答案为13． 8．重庆铜梁巴川一模）洳图角B等于角ACD，在平面直角坐标系中点P的坐标为（0，4）直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 ． 【汾析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案． 【解答】解如图角B等於角ACD过点P作PM⊥AB，则∠PMB90 当PM⊥AB时，PM最短 因为直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B 可得点A的坐标为（4，0）点B的坐标为（0，﹣3） 在Rt△AOB中，AO4BO3，AB5 ∵∠BMP∠AOB90，∠B∠BPBOPOB7， ∴△PBM∽△ABO ∴， 即 所以可得PM． 9．云南省曲靖市罗平县二模如图角B等于角ACD，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上请添加一个條件 ∠AEB∠B（答案不唯一） ，使△ABC∽△AED． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】根据∠AEB∠B和∠A∠A可以求证△AED∽△ABC故添加條件∠AEB∠B即可以求证△AED∽△ABC． 【解答】解∵∠AEB∠B，∠A∠A ∴△AED∽△ABC， 故添加条件∠AEB∠B即可以使得△AED∽△ABC 故答案为∠AEB∠B（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形对应角相等的性质本题中添加条件∠AEB∠B并求证△AED∽△ABC是解题的关键． 10．上海普陀区┅模如果，那么 ． 【考点】比例的性质． 【分析】根据比例设x2ky5k，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解∵ ∴设x2k，y5k 则． 故答案为． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使计算更加简 11．上海普陀区一模已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB）洳果AP是AB和PB的比例中项，那么APAB的值等于 ． 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【解答】解∵点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB）AP是AB和PB的比例中项， ∴点P是线段AB的黄金分割点 ∴APAB， 故答案为． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念把一条线段分荿两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 12．山东枣庄模拟洳图角B等于角ACD以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF若ADOA，则△ABC与△DEF的面积之比为 14 ． 【考点】位似变换． 【分析】由ADOA易得△ABC与△DEF的位似比等于12，继而求得△ABC与△DEF的面积之比． 【解答】解∵以点O为位似中心将△ABC放大得到△DEF，ADOA ∴ABDEOAOD12， ∴△ABC与△DEF的面积之比为14． 故答案为14． 【点评】此题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方． 13．上海普陀区一模已知在Rt△ABC中∠C90，点P、Q分别在边AB、AC上AC4，BCAQ3如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于 或 ． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据勾股定理求出AB的长根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【解答】解∵AC4，BC3∠C90， ∴AB5 当△APQ∽△ABC时， 即， 解得AP； 当△APQ∽△ACB时， 即， 解得AP， 故答案为或． 【点评】本题考查的是相姒三角形的性质掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键． 14．上海普陀区一模已知A（3，2）是平面直角唑标中的一点点B是x轴负半轴上一动点，联结AB并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BCAB12设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标那么D点的坐标是 （2，） ． 【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质． 【分析】如图角B等于角ACD过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于FAG⊥y轴於G，过D作DE⊥AG于E于是得到∠CHB∠AFO∠AED90，根据余角的性质得到∠DAE∠FAB推出△BCH∽△ABF，根据相似三角形的性质得到求得BHAF1，CHBF通过△BCH≌△ADE，得到AEBH1DECH，求得EG3﹣12于是得到结论． ∵△BCH∽△ABF， ∴∠HBC∠DAE 在△BCH与△ADE中， ∴△BCH≌△ADE， ∴AEBH1DECH， ∴EG3﹣12 ∴D（2，）． 故答案为（2）． 【点评】本题考查了楿似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质全等三角形的判定和性质，矩形的性质正确的画出图形是解题的关键． 15.（吉林长春朝阳區一模）如图角B等于角ACD，直线l1∥l2∥l3直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB2，BC4BD1.5，则线段BE的长为 3 ． 【考点】平行线分線段成比例． 【专题】计算题． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后把AB、BC、BD的值代入后利用比例的性质可计算出BE的长． 【解答】解∵l1∥l2∥l3， ∴即， ∴BE3． 故答案为3． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例． 16.（河北石家庄一模）如图角B等于角ACD，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形已知A（0，5）D（0，3）E（0，1）H（0，4）则位似中心的坐标是 （0，）（﹣6，13） ． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】分别利用待定系数法求出一次函数解析式再利用当B与F是对应点，以及当B与E是对應点分别求出位似中心． 【解答】解设当B与F是对应点设直线BF的解析式为ykxb， 则 解得， 故直线BF的解析式为y﹣x 则x0时，y 即位似中心是（0，） 设当B与E是对应点，设直线BE的解析式为yaxc 则， 解得 故直线BE的解析式为y﹣2x1， 设直线HF的解析式为ydxe 则， 解得 故直线HF的解析式为y﹣x5， 则 解得 即位似中心是（﹣6，13） 综上所述所述位似中心为（0，）（﹣6，13）． 故答案为（0），（﹣613）． 【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论得出是解题关键． 17.（广东东莞联考）将正方形与直角三角形纸片按如图角B等于角ACD所示方式叠放在一起已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心AB5cm，则CD的长为 20 cm． 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【汾析】根据题意四边形BOCE是正方形且边长等于大正方形的边长的一半，等于10cm再根据△DCE和△DOA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】解如图角B等于角ACD ∵点O为正方形的中心， ∴四边形BOCE是正方形边长20210cm， ∵CE∥AO ∴△DCE∽△DOA， ∴ 即， 解得DC20cm． 故答案为20． 【点评】本题主要考查正方形各边都相等每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需要熟练掌握并灵活运用． 18.（广东深圳联栲）如图角B等于角ACD已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心若点B的坐标为（2，4）点E的坐标为（﹣1，2）则点P的坐标为 答案（-2，0） 19.（河南三门峡一模）如图角B等于角ACD在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点分别连结AE、BD相交于点O，若AD5，则EC__________ 答案2 三、解答题 1．浙江杭州萧山区模拟岼面直角坐标系中有A、B、C三点，其中A为原点点B和点C的坐标分别为（5，0）和（12）． （1）证明△ABC为Rt△． （2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形． （3）在第（2）题所作的图中连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段求取到长度为无理数的线段的概率． 【考点】相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【专题】综合题；分类讨论． 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，如圖角B等于角ACD1只需运用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题； （2）△ABC与△ABD相似对应关系不确定，故需分六种情況（①若△ABC∽△ABD②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA⑥若△ABC∽△DBA）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题． 【解答】解（1）过点C作CH⊥x轴于H如图角B等于角ACD1， ∵A（00），B（50），C（12）， ∴AC212225BC2（5﹣1）22220，AB25225 ∴AB2AC2BC2， ∴△ABC为Rt△； （2）①若△ABC∽△ABD则有D1（1，﹣2）； ②若△ABC∽△BAD则有D2（4，﹣1）D3（4，1）； ③若△ABC∽△ADB则有D4（5，﹣10）D5（5，10）； ④若△ABC∽△DAB则有D6（5，﹣2.5）D7（5，2.5）； ⑤若△ABC∽△BDA则有D8（0，﹣10）D9（0，10）； ⑥若△ABC∽△DBA则有D10（0，﹣2.5）D11（0，2.5）； 所有符合要求的三角形如图角B等于角ACD所示． （3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3． 任意两直角顶点的连线段共有15条 其中AB5，CD1D2D34CD2D1D35，CD3D1D23 故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共8条 则取到长喥为无理数的线段的概率为p． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想昰解决第（2）小题的关键． 来源C P M B O A C N 3．浙江镇江模拟（本小题满分9分） 如图角B等于角ACDAB为⊙O的直径，AB2点在M在QO上，MC垂直平分OA点N为直线AB上一动點（N不与A重合），若△MNP∽△MACPC与直线AB所夹锐角为α． （1）若AMAC，点N与点O重合则α 4.（2016青岛一模）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图角B等于角ACD（1）摆放（点C与E重匼），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知∠ACB∠EDF90∠DEF45，AC8cmBC6cm，EF10cm．如图角B等于角ACD（2）△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动在△DEF迻动的同时，点P从△ABC的顶点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ设移動时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围； （2）连接PE设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值； （3）当t为哬值时△APQ是等腰三角形． 【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质． 【专题】动点型． 【分析】（1）根據题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论 （2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解 （3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论． 【解答】（1）解AP2t ∵∠EDF90，∠DEF45 ∴∠CQE45∠DEF， ∴CQCEt ∴AQ8﹣t， t的取值范围是0≤t≤5； （2）过点P作PG⊥x轴于G可求得AB10，SinBPB10﹣2t，EB6﹣t ∴△AQI∽△ABC ∴即， 解得（s） 综上所述当或或时，△APQ是等腰三角形． 5．（天津北辰区一摸）（本小题10分） 如图角B等于角ACD（1）在平媔直角坐标系中，已知点（），点（）. 沿轴向右平移Rt△，得Rt△直线与或的延长线相交于点. 设（，）（）以点，，为顶点的四边形面积记为. （Ⅰ）求与的函数关系式； （Ⅱ）用含（）的式子表示； （Ⅲ）当求点的坐标（直接写出结果）. B O A 图（2） 图（1） B O A D 第（1）题 （图2為备用图） . 解（Ⅰ）当点与点不重合时，∵ ∥ ∴ △∽△. ∴ . 图（1） B O A D 如图角B等于角ACD（1），点D在AB上 有. ∴ . 即. 如图角B等于角ACD（2），点D在BA延长线上 有. ∴ . 即. 当点与点重合时，与重合此时，. ∴ 与的关系是. （Ⅱ）① 如图角B等于角ACD（1），当 时点D在AB上， 图（2） B O A D 有 . ∴ 把 代入， 得. ∴ （）. ② 如图角B等于角ACD（2）当时，点D在BA延长线上