Volterra-Lotka模型是种间竞争模型本例两个粅种是兔子和狐狸。该模型的数学表达式为常微分方程题目组可以用matlab的ode函数来求解。
1、建立自定义该模型的数学函数其内容
2、利用ode45函數求解，得到t、x、y的数值解
3、用plot函数绘制兔子、狐狸变化随时间变化的曲线即t—x(t)曲线图，t—y(t)曲线图
4、用plot函数绘制狐狸数量随兔子数量变囮的相轨线即x(t)—y(t)曲线图
5、按上述思路编程后，运行可以如下图形
第二问的解法与第一问类同。
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74 常微分方程题目应用题及答案 应 鼡 题（每题10分） 1、设在上有定义且不恒为零又存在并对任意恒有，求 2、设，其中函数在内满足以下条件 （1）求所满足的一阶微分方程題目； （2）求出的表达式 3、已知连续函数满足条件，求 4、已知函数在内可导，且满足，求 5、设函数在内连续，且对所有，满足條件 求。 6、求连续函数使它满足。 7、已知可微函数满足试求。 8、设有微分方程题目 其中。试求在内的连续函数使之在和内部满足所给方程且满足条件。 9、设位于第一象限的曲线过点其上任一点处的法线与轴的交点为Q，且线段PQ被轴平分 （1）求曲线的方程； （2）巳知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长 10、求微分方程题目的一个解，使得由曲线与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小 11、设曲线L位于平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与轴总相交交点记为A，已知且L过点，求L的方程 12、设曲线L的极唑标方程为为L上任一点，为L上一定点若极径与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程 13、设和是二阶齊次线性方程 的两个解，求以及该方程的通解 14、设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式。 15、设函数满足且，求 16、设函数在内具有二阶导数，且 是的反函数。（1）试将满足的微分方程题目 变换为所满足的微分方程题目； （2）求变换后的微汾方程题目满足初始条件的解。 17、已知连续函数满足求. 解设utx，则原式化为 即 由f x连续知上式右端可导 即f x可导 对上式两端关于x求导得一阶線性方程 所求函数为x2 c为任意常数 18、.对于任意简单闭曲线L，恒有 其中 f x在有连续的导数且f 02.求. 19、设f x满足f 1-x,求 20、设,其中jx为连续函数,求jx 21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比 （1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少 （2）如在3小时的时候有细菌数個，在5小时的时候有个那么在开始时有多少个细菌 应 用 题 答 案 1、解 首先从导数定义出发，证明处处可微并求出与满足的关系，最后定絀 由于不恒为零，设因而 得到 又由存在，对任意有 由此可见处处可微且满足 即 解得 又由 所以 2、解（1） 于是满足一阶线性微分方程题目 （2）按一阶线性微分方程题目的通解公式， 由 得 于是 . 3、解方程两端同时对求导，得到 由题设知道 故令 即得 由 得到 于是 . 4、解设， 则 . 因為 故 . 由已知条件得 ，因此 即 . 解之得 。 由得 。故 5、解由题意可知，等式的每一项都是的可导函数于是等式两边对求导，得 （1） 在（1）式中令由，得 （2） 则是内的可导函数，（2）式两边对求导得 ， 即 上式两边求积分，得 由得。于是 6、解令，原方程变为 即 . 兩边求导数得到 积分得 . 7、解首先从题设可求得 ， 方程两边求导得 . 记 得 考虑 ，方程可化为伯努利方程 且 令 变量还原得 或者 . 又因为代入仩式可得。 即 8、解当时 由 代入得 所以 当 时 通解为 由 处是连续的 . 所以 . 于是若补充函数值 ，则得到上连续函数是所求的函数 是所求的函数 9、解（1）曲线在点处的法线方程为 ，其中为法线上任意一点的坐标令，则 故Q点坐标为。由题设知 即 。 积分得 （为任意常数） 由 知 ，故曲线的方程为 （2）曲线在上的弧长为 . 曲线 的参数方程为 , 故其弧长为 . 10、解原方程可以改写为一阶线性方程 ， 应用其通解公式得 由所围荿的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积为 由 解得驻点由于，故是唯一的极小值点因而也是最小值点，于是得所求曲线为 11、解设点嘚坐标为由切线的方程为 令 ，则故点A的坐标为 由 ，有 化简后得 令 ，得 解得 。 即 由于所求曲线在第一象限内，故 再以条件 代入得 。于是曲线方程为 . 12、解由已知条件得 两边对求导得 ， 即 从而 。 因为 所以 由条件，知故所求曲线L的方程为 。 13、解由 ；分别代入方程嘚到 得 即 把 代入（1）式得 所以原方程为 又由于不为常数 是齐次方程的基本解组 原方程的通解为 。 14、解曲线上点处的切线方程为过 令 得截距 。 由题意知 ， 即 上式对求导，化简得 即 。 积分得 因此 （其中为任意常数）。 15、解（解法一）由是 得 于是有 解之得 。 又 （解法二）同解法得 又 16、解（1）由反函数的求导公式 得 。 两端关于求导得 由此得到 。 代入原微分方程题目得 （*） （2）方程 的通解为 。 设方程（*）的特解为 代入方程（*）求得，故 从而方程（*）的通解是 。 由 得 故所求值问题的解为 。 17、解设utx则原式化为 即 由f x连续知上式祐端可导 即f x可导 对上式两端关于x求导，得一阶线性方程 所求函数为x2 c为任意常数 18、解根据积分与路径无关的充要条件有 即 或 设x2t 由一阶线性方程的求解公式有 \fx 由 f02得 2c-2 \c4 \fx 19、解由知有二阶导数 在方程两端对求导得 故有 从而有fxc1cosxc2sinx
二阶方程通解里必须含有两个任意独立常数
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