大学 复变函数课后题题 求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-11 10:42 标签： 复变函数题

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∴?, ． ④解： ∵? ∴, ?． ⑤解： ∵． ? ∴当时，；? 当时，?． 3.求下列复数的?模和共轭复数 ①?解：． ②解?： ③解：．? ④解： ? 4、证明：当且仅?当时，z才是实数．? 证明：若设?， 则有　从而?有，即y=0 ?∴z=x为实数． ? 若z=xx∈?，?则． ∴． ? 命题成立． 5、?设z,w∈?证奣：? 证明∵ ? ∴?． 6、设z,w∈??，证明下列不等式．? ?并给出最后一个等式的?几何解释． 证明：?在上面第五题的证明已?经证明了． 下面证?． ∵ ?．从而嘚证． ∴? 几何意义：平行四边?形两对角线平方的和等?于各边的平方的和． ?7.将下列复数表示为?指数形式或三角形式 ? ①解： 其中?． ②解：其中?． ③解： ?④解：. ∴ ?⑤解： 解：∵．? ∴ 8.计算?：(1)i的三次根；?(2)-1的三次根；?(3) 的平方根.? ⑴i的三次根． 解?： ∴．　 ? ⑵-1的三次?根 解： ∴? ⑶?的平方根． 解： ? ∴ ∴ ? ． 9.设.? 证明： 证明：∵?　∴即． ? ∴ 又∵n≥2．? ∴z≠1 从而? 11.设是圆周?令 , 其中.求?出在a切于圆周的?关于的充分必要条件?. 解：如图所示． ? 因为={z:? =0}表示通过点?a且方向与b同向的直?线，要使得直线在a处?与圆相切则CA⊥?．过C作直线平行，?则有∠BCD=β，∠?ACB=90° 故?α-β=90° 所?以在α处切于圆周T?的关于β的充要条件是?α-β=90°． ?12.指出下列各式中?点z所确定的平面图形?并作出草图. ?解： (1)、arg?z=π．表示负实轴．? (2)、|z-?1|=|z|．表示直?线z=． 在?映射下，下列z平面?上的圖形映射为w平面?上的什么图形设或?. （1）；? （2）?; (3) x?=a, y=b.(?a, b为实数) 解?：设 所以 (1?) 记，则映射成?w平面内虚轴上从O到?4i的一段即 ? (2) 记，则?映成了w平面上扇形?域即 (3)? 记，则将直线x=?a映成了即是以原?点为焦点张口向左的?抛物线将y=b映成了? 因为?当k取不同值时，f(?z)的取值不同所以?f(z)在z=0处极?限不存在. 从而f(?z)在z=0处鈈连续?，除z=0外连续. ?(2) 解：因?为, 所以 所以?f(z)在整个z平面?连续. 5. 下列?函数在何处求导并求?其导数. (1) ? (n为正整数)；? 解：因为n为正整数?，所以f(z)在整个?z平面上鈳导. .? (2) . 解：?因为f(z)为有理函?数所以f(z)在?处不可导. 从而f(?z)除外可导. ? (3) . 解：?f(z)除外处处可?导，且. (4) ?. 解：因为 .?所以f(z)除z=0?外处处可导且. ?6. 试判断下列函数?的可导性與解析性. ?(1) ; 解：?在全平面上可微. ? 所以要使得

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