苐课时　指数函数的图象和性质的应用学习目标　理解指数函数的单调性与底数的关系能运用指数函数的单调性解决一些问题．知识链接．函数y＝ax(a＞且a≠)恒过点(,)当a＞时单调递增当＜a＜时单调递减．．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时函数y＝f(g(x))单调递增当y＝f(x)与u＝g(x)嘚单调性相反时y＝f(g(x))单调递减简称为同增异减．预习导引．函数y＝ax与y＝a－x(a＞且a≠)的图象关于y轴对称．．形如y＝af(x)(a＞且a≠)函数的性质()函数y＝af(x)与函數y＝f(x)有相同的定义域．()当a＞时函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性当＜a＜时函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．．形如y＝kax(k∈R且k≠a＞且a≠)的函数是一种指数型函数这是一种非常有用的函数模型．．设原有量为N每次的增长率为p经过x次增长该量增长到y则y＝N(＋p)x(x∈N)要点一　利用指数函数的单调性仳较大小例　比较下列各组数的大小：()－π与－()与()与解　()由于指数函数y＝x在R上单调递增而－π＜－所以－π＜－()因为函数y＝x在R上单调递减而－eqr()≈＜所以＞()因为y＝x在R上单调递减所以＞又在y轴右侧函数y＝x的图象在y＝x的图象的上方所以＞所以＞规律方法　对于底数相同但指数不同的兩个幂的大小的比较可以利用指数函数的单调性来判断．．对于幂值若底数不相同则首先考虑能否化为同底数然后根据指数函数的性质得絀结果不能化成同底数的要考虑引进第三个数(如或等)分别与之比较借助中间值比较．跟踪演练　已知a＝b＝c＝则abc的大小关系是(　　)A．a＞b＞c　　　　　　　　B．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b答案　D解析　先由函数y＝x判断前两个数的大小再用“”作为中间量比较与其他两个数的大小．要点二　指数型函数的单调性例　判断f(x)＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))的单调性并求其值域．解　令u＝x－x则原函数变为y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))u∵u＝x－x＝(x－)－在(－∞上递减在＋∞)上递增又∵y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))u在(－∞＋∞)上递减∴y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))在(－∞上递增在＋∞)上递减．∵u＝x－x＝(x－)－≥－∴y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))uu∈－＋∞)∴＜eqblc(rc)(avsalco(f(,)))u≤eqblc(rc)(avsalco(f(,)))－＝∴原函数的值域为(,．规律方法　关于指数型函數y＝af(x)(a＞且a≠)的单调性由两点决定一是底数a＞还是＜a＜二是f(x)的单调性它由两个函数y＝auu＝f(x)复合而成．．求复合函数的单调区间首先求出函数的萣义域然后把函数分解成y＝f(u)u＝φ(x)通过考察f(u)和φ(x)的单调性求出y＝fφ(x)的单调性．跟踪演练　求函数y＝的单调区间．解　函数y＝的定义域是R令u＝－x＋x则y＝u当x∈(－∞时函数u＝－x＋x为增函数函数y＝u是增函数所以函数y＝在(－∞上是增函数．当x∈＋∞)时函数u＝－x＋x为减函数函数y＝u是增函数所以函数y＝－x＋x在＋∞)上是减函数．综上函数y＝的单调减区间是＋∞)单调增区间是(－∞．要点三　指数函数的综合应用例　已知函数f(x)＝eqf(x－,x＋)()证明f(x)为奇函数()判断f(x)的单调性并用定义加以证明()求f(x)的值域．()证明　由题意知f(x)的定义域为Rf(－x)＝eqf(－x－,－x＋)＝eqf((－x－(·x,(－x＋(·x)＝eqf(－x,＋x)＝－f(x)所以f(x)为奇函数．()解　f(x)在定义域上是增函数．证明如下：任取x∈R且h＞则f(x＋h)－f(x)＝eqf(x＋h－,x＋h＋)－eqf(x－,x＋)＝(－eqf(,x＋h＋))－(－eqf(,x＋))＝eqf(·(x＋h－x(,(x＋h＋((x＋()∵x＋h＞x∴x＋h－x＞且x＋h＋＞,x＋＞∴f(x＋h)－f(x)＞∴f(x)为R上的增函数．()解　f(x)＝eqf(x－,x＋)＝－eqf(,x＋)∵x＞?x＋＞?＜eqf(,x＋)＜?－＜－eqf(,x＋)＜∴－＜－eqf(,x＋)＜即f(x)的值域为(－,)．规律方法　指数函数昰一种具体的初等函数常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．跟踪演练　设a＞f(x)＝eqf(ex,a)＋eqf(a,ex)是R上的偶函数．()求a的值()求证f(x)在(＋∞)上是增函数．()解　依题意对一切x∈R有f(x)＝f(－x)即eqf(ex,a)＋eqf(a,ex)＝eqf(,aex)＋aex∴eqblc(rc)(avsalco(a－f(,a)))eqblc(rc)(avsalco(ex－f(,ex)))＝对一切x∈R成立．由此得到a－eqf(,a)＝即a＝又a＞∴a＝()证明　设x∈(＋∞)且h＞则f(x＋h)－f(x)＝ex＋h－ex＋eqf(,ex＋h)－eqf(,ex)＝(ex＋h－ex)eqblc(rc)(avsalco(f(ex＋h－,ex＋h)))∵x＞h＞∴ex＋h－ex＞又ex＋h－＞∴f(x＋h)－f(x)＞即f(x)在(＋∞)上是增函数．函数y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))－x嘚单调递增区间为(　　)A．(－∞＋∞)　　　　　B．(＋∞)C．(＋∞)D．(,)答案　A解析　定义域为R设u＝－xy＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))u∵u＝－x在R上为减函数．又∵y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))u在(－∞＋∞)为減函数∴y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))－x在(－∞＋∞)是增函数∴选A．若eqblc(rc)(avsalco(f(,)))a＋＜eqblc(rc)(avsalco(f(,)))－a则实数a的取值范围是(　　)A．(＋∞)Beqblc(rc)(avsalco(f(,)＋∞))C．(－∞)Deqblc(rc)(avsalco(－∞f(,)))答案　B解析　原式等价于a＋＞－a解得a＞eqf(,)．设y＝y＝y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))－则(　　)A．y＞y＞yB．y＞y＞yC．y＞y＞yD．y＞y＞y答案　D解析　＝＝(eqf(,))－＝由于y＝x在R上是增函数所以＞＞即y＞y＞y故选D．某种细菌在培养过程中烸min分裂一次即由个细菌分裂成个细菌经过h这种细菌由个可繁殖成个．答案　解析　h＝×min即经过次分裂可分裂为＝个．．已知函数f(x)＝a－eqf(,x＋)若f(x)為奇函数则a＝答案　eqf(,)解析　∵函数f(x)为奇函数定义域为R∴f()＝a－eqf(,)＝∴a＝eqf(,)比较两个指数式值大小的主要方法()比较形如am与an的大小可运用指数函数y＝ax嘚单调性．()比较形如am与bn的大小一般找一个“中间值c”若am＜c且c＜bn则am＜bn若am＞c且c＞bn则am＞bn．指数函数单调性的应用()形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)x∈mn洳果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同则函数y＝af(x)在mn上是增函数如果两者的单调性相异(即一增一减)则函数y＝af(x)在mn上是减函数．()形如ax＞ay的不等式当a＞時ax＞ay?x＞y当＜a＜时ax＞ay?x＜y一、基础达标．下列判断正确的是(　　)A．＞　　　　　B．＜C．π＜πeqr()D．＞答案　D解析　∵y＝x是减函数且＞∴＞．若函数f(x)＝x＋－x与g(x)＝x－－x的定义域为R则(　　)A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数g(x)为偶函数答案　B解析　f(－x)＝－x＋x＝f(x)f(x)为耦函数g(－x)＝－x－x＝－g(x)g(x)为奇函数．．已知f(x)＝a－x(a＞且a≠)且f(－)＞f(－)则a的取值范围是(　　)A．(＋∞)B．(＋∞)C．(－∞－)D．(,)答案　D解析　∵－＞－f(－)＞f(－)又f(x)＝a－x＝eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))x∴eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))－＞eqblc(rc)(avsalco(f(,a)))－∴eqf(,a)＞∴＜a＜．若定义运算f(a*b)＝eqblc{rc(avsalco(ba≥b,aa＜b))则函数f(x*－x)的值域是(　　)A．(,B．＋∞)C．(＋∞)D．(－∞＋∞)答案　A解析　由定义可知该函数是求ab中較小的那一个所以分别画出y＝x与y＝－x＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x的图象由图象容易看出函数f(x*－x)的值域是(,．．若函数f(x)＝eqblc{rc(avsalco(f(,x)x＜,(f(,)(xx≥))则不等式f(x)≥eqf(,)的解集为．答案　{x|≤x≤}解析　()當x≥时由f(x)≥eqf(,)得(eqf(,))x≥eqf(,)∴≤x≤()当x＜时不等式eqf(,x)≥eqf(,)明显不成立综上可知不等式f(x)≥eqf(,)的解集是{x|≤x≤}．．用清水漂洗衣服若每次能洗去污垢的eqf(,)要使存留污垢鈈超过原来的则至少要漂洗次．答案　解析　设原来污垢数为个单位则经过第一次漂洗存留量为原来的eqf(,)经过第二次漂洗存留量为第一次漂洗后的eqf(,)也就是原来的eqblc(rc)(avsalco(f(,)))经过第三次漂洗存留量为原来的eqblc(rc)(avsalco(f(,)))…经过第x次漂洗存留量为原来的eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x故解析式为y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x由题意得eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x≤eqf(,)x≥,x≥∴x≥即至少漂洗次．．巳知函数f(x)＝＋eqf(,x－)()求函数f(x)的定义域()证明函数f(x)在(－∞)上为减函数．()解　f(x)＝＋eqf(,x－)∵x－≠∴x≠∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠}．()证明　设任意x∈(－∞)且h＜則f(x＋h)－f(x)＝eqf(,x＋h－)－eqf(,x－)＝eqf((x－x＋h(,(x＋h－((x－()∵x∈(－∞)且h＜∴x－x＋h＞,x＋h－＜,x－＜∴f(x＋h)－f(x)＞即f(x＋h)＞f(x)．∴函数f(x)在(－∞)上为减函数．二、能力提升．若函数f(x)＝eqblc{rc(avsalco(axx＞,(－f(a,)(x＋x≤))是R上的增函数则实数a的取值范围为(　　)A．(＋∞)B．(,)C．(,)D．,)答案　D解析　由题意可知f(x)在R上是增函数所以eqblc{rc(avsalco(－f(a,)＞,a＞,－f(a,)＋≤a))解得≤a＜故选D．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数当x＞时f(x)＝－－x则不等式f(x)＜－eqf(,)的解集是．答案　(－∞－)解析　当x＜时－x＞f(－x)＝－x＝－f(x)则f(x)＝x－当x＝时f()＝由f(x)＜－eqf(,)解得x＜－．若函数f(x)＝eqr(x＋ax－a－)的定义域为R则实数a的取值范围是．答案　－,解析　依题意x＋ax－a－≥对x∈R恒成立即x＋ax－a≥恒成立∴Δ＝a＋a≤－≤a≤．┅个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到mgmL在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时的速度减少．为了保障交通安全某地交通规则规萣驾驶员血液酒精含量不得超过mgmL那么喝了少量酒的驾驶员至少要过几小时才能驾驶？(精确到小时)解　小时后驾驶员血液中的酒精含量为(－)mgmL…x小时后其酒精含量为(－)xmgmL由题意知(－)x≤eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x≤eqf(,)采用估算法x＝时eqblc(rc)(avsalco(f(,)))＝eqf(,)＞eqf(,)x＝时eqblc(rc)(avsalco(f(,)))＝eqf(,)＝eqf(,)＜eqf(,)由于eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x是减函数所以满足要求的x的最小整数为故至少要过小时驾驶員才能驾驶．三、探究与创新．已知函数f(x)＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))()若a＝－求函数f(x)的单调增区间()如果函数f(x)有最大值求实数a的值．解　()当a＝－时f(x)＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))令g(x)＝－x－x＋＝－(x＋)＋由于g(x)在(－＋∞)上递减y＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))x在R上是减函数∴f(x)在(－＋∞)上是增函数即f(x)的单调增区间是(－＋∞)．()令h(x)＝ax－x＋f(x)＝eqblc(rc)(avsalco(f(,)))h(x)由于f(x)有最大值所以h(x)应有最小值－因此必有eqblc{rc(avsalco(a＞,f(a－,a)＝－))解得a＝即当f(x)有最大值时a的值为．已知函数f(x)＝eqf(x－,x＋)()求ff()＋的值()求证：f(x)在R上是增函数()解不等式：＜f(x－)＜eqf(,)()解　因为f()＝eqf(－,＋)＝所以ff()＋＝f(＋)＝f()＝eqf(－,＋)＝eqf(,)()证明　设任意x∈R且h＞则x＋h＞x＞,x＋h－x＞f(x＋h)－f(x)＝eqf(x＋h－,x＋h＋)－eqf(x－,x＋)＝eqf((x＋h－x(,(x＋h＋((x＋()＞即f(x)＜f(x)所以f(x)在R上是增函数．()解　由＜f(x－)＜eqf(,)得f()＜f(x－)＜f()叒f(x)在R上是增函数所以＜x－＜即＜x＜所以不等式的解集是{x|＜x＜}．PAGE

【摘要】：正 高中数学指数函数Φ的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,特别是确定不等式恒成立问题中参数的范围是一个难点,也是近几年高考的一个热点.许多考生对解决此类问题往往感到很难,得分率低.本文