设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续
将Ω任意分割为n个小
，每个小区域的直径记为r?（i=1,2,...,n）体积记为Δδ?，||T||=max{r?}，在每个小区域内取点f（ξ?，η?，ζ?）作和式Σf(ξ?，η?，ζ?)Δδ?，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分计算，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz
设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δv
表示第i个子域的体积.在Δv
.如果当各个子域的直径中嘚最大值λ趋于零时，此和式的
存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分计算，记为
其中dv叫做体积元素。
其中∫∫∫称为三偅积分计算号，f(x,y,z）为被积函数f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元x、y、z为积分变量，Ω为积分区域，
(k为常数)被积常数中的常数因子可以提箌三重积分计算号外面。
(2)设α、β为常数则
，函数的和（或差）的三重积分计算等于各个函数的三重积分计算的和或差
闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分计算等于各部分闭区域上三重积分计算的和
)，则有特殊地，若函数f(x,y,z)在Ω上可积，则|f(x,y,z)|亦在Ω上可积
设函数f(x,y,z)在闭区域G上连续V是G的体积，则在G上至少存在一个点
另外由重积分的性质知当f（M）=1时，三重积分计算
这里V（Ω）表示空间域Ω的
，即V（Ω）表示Ω的体积。
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的
和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二後一法（截面法）：先计算底面积分再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
②函数条件：f（xy）仅为一个变量的函数。
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f（x,y,z）为含有与
（或另两种形式）相关的项
适用于被积区域Ω包含球的一部分。
三重积分计算就是立体的质量
当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1质量就等于其体积值。
当积分函数不为1时说明密度分布不均匀。
设Ω为空间有界闭区域，f（xy，z）在Ω上连续
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同济大学应用数学系．高等数学下：高等教育出版社，2007
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宋国华崔景安．高等数學第二版下册：石油工业出版社，2013
