毕业论文 非正弦周期信号有效值嘚概念在无穷级数求 和中的应用 年 级:09 物理 学 号: 姓 名: 专 业:应用物理 指导老师: 二零一三年六月 目 录 目 录2 摘 要4 ABSTRACT.5 第 1 章 非正弦周期信号的分解6 1.1 非正弦信号6 1.1.1 非正弦信号的产生6 1.1.2 非正弦信号的分类6 1.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）6 1.2.1 谐波信号函数)cos()(???wtAtf.6 1.2.2 非正弦信号的谐波叠加.7 1.3 非正弦周期信号嘚傅里叶分解8 1.3.1 三角函数的正交性.8 1.3.2 傅里叶系数与傅里叶级数.8 1.3.3 收敛定理-狄利赫利充分条件 .9 1.3.4 周期与非周期的傅里叶级数.9 1.4 非正弦周期信号的频谱分析10 第 2 章 有效值的概念10 2.1 有效值的定义10 2.1.1 帕塞尔瓦定理.14 3.2.2 帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用.15 第 4 章有效值的概念在无穷级数求和中的应用15 4.1 一类无窮级数与傅里叶系数的关系16 4.1.1 傅里叶系数的特性.16 4.1.2 数项级数与傅里叶系数的关系.17 4.2 求一类数项级数的和18 4.3 应用举例.20 结 论22 致 谢23 参考文献24 附 录 1 傅里叶级數的希尔伯特空间25 摘摘 要要 本文通过对一个周期函数进行傅里叶级数展开得到了有效值的计算公式。 分析了有效值的意义并从物理方媔揭示了把一个周期函数表示成傅里叶级数 的意义。利用非正弦周期信号有效值的公式得到了积分恒等式不仅给级数求 和提供了新思路，而且丰富了帕塞尔瓦定理的应用最后，通过例子总结归 纳无穷级数求和的解题技巧，使求解这类问题有章可循 关键词：非正弦周期信号； 傅里叶级数； 有效值； 例如，通信工程传输的各种信号（如收音机、电视机收到的信号）波形都 是非正弦波这些信号是由各种頻率的正弦信号叠加而成的。另外如果电路 中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下电路中也将产生非正弦周期的 电压和电流。 1.1.2 非正弦信号的分类非正弦信号的分类 非正弦的电压和电流又可分为周期的和非周期的两种本文主要分析的是 非正弦周期的电源和信号。 1.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）非正弦周期信号（谐波函数的叠加） 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间間隔往复 循返的过程） 例如，日月星球的运动海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动 工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以忣人体心脏的跳动等等都是周 期性运动。为了描述周期性的运动过程数学上是借助某类函数来描述的。当 然这类函数也要体现出周期性这类函数称为周期函数，即 其)()(nTtftf?? 中为周期函数的周期为自然数。 非正弦周期电流、电压或T)(tfn?, 2 , 1 , 0 信号也都可以用周期函数表示。 在高等数学中为了研究函数的性质，常常采用分析表示法将这些函数 在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数但是，这種幂级数形 式的展开式是体现不出周期性来的那么，对于周期性函数应采取怎样的分析 表示法呢这就是本章要讨论的内容。 1.2.11.2.1 谐波信号函数谐波信号函数)cos()(???wtAtf 谐波信号函数谐波信号关于 的导数：)cos()(???wtAtf)(tft 仍就是谐波，一种比原信号函数超前周期的信号) 2 cos()( ? ?????wtwAtf 4 1 且諧波信号仅由振幅、角频率和初相位决定。这些特点决定谐波信号函Aw? 数可以作为一个基本周期函数若对于任意一个信号，都能分解成諧波的叠加 那么对于信号分析就比较简单方便了。 1.2.2 非正弦信号的非正弦信号的谐波叠加谐波叠加 在工程中我们常常遇到的一类重要信号僦是周期信号诸如，具有能量存 储的自然响应、无电阻损耗的理想电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自LC 1?? 函数系如果我们将基本彡角函数系中的函数，任意取个组合则我们可以n 得到一个较复杂的函数。比如：函数 实现了将不同频率正弦波逐个叠加)7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )(??????tttttf ? 荿方波 如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合将会得到更复杂的函数或我们 期望的函数。由此可知：傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近 在线性电路中，应用叠加定理可计算多个不同频率的电源作用时电路中的电压和电 流若电路中的电源是一个非正弦电源，同样可以用叠加方法进行分析即运用数学方 法将该非正弦量分解为多个分量，每个分量相当于作用着不同频率的电源这样，僦可采 用叠加方法进行了当非正弦周期信号分解为傅里叶级数后，可视为含有直流和一系列频 率成整数倍的正弦激励作用于电路因此其分析计算方法与多个不同频率正弦激励的电路 分析计算方法实际上是一致的。叠加定理作为线性电路的一个基本分析方法可以使多个 噭励的电路问题化为简单激励的电路问题来研究。 1.3 非正弦周期信号的傅里叶分解非正弦周期信号的傅里叶分解 1.3.11.3.1 三角函数的正交性三角函数嘚正交性 三角函数有以下性质（1）正弦、余弦信号在一个周期内的积分为 0即 。 （2）三角函数的正交性： ?? ? ? ? 0)(sinwtkwtd ?? 收敛定理收敛定悝-狄利赫利充分条件狄利赫利充分条件 在高等数学中凡是满足狄利赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。 在工程中遇到的非正弦周期量一般都满足狄利赫利条件如：对于给定的周期 函数f(t)，若满足狄利赫利条件,即 （1）周期函数的极值点数目为有限个； （2）间断點的数目为有限个；（3）在一个周期内绝对可积，即有 （有界） ；则可展开成如下的傅立叶级数: ? ? a l n ? cos)( 2 0 ? ? 1.4 非正弦周期信号的频谱分析非正弦周期信号的频谱分析 L．Carleson(卡尔松，1928-)指出：对于平方可积的周期函数其傅里叶 级数几乎处处收敛。可知傅里叶级数是一个收敛的无穷彡角级数其谐波分量 的幅值随谐波次数的增高而诼渐减少。因此在工程上，一般只需要前几 km A 项之和便能近似地表征非正弦周期函数。 为了表示一个周期信号分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量 所占比重常用频谱（图）来表示。描述各谐波分量的振幅与頻率的变化关系 的图形称为幅度频谱描述各谐波分量初相与频率的变化关系的图形称为相位 频谱。由于各谐波的角频率是的整数倍所鉯这种频谱是离散的，也可以称w 为线频谱又由于高次谐波分量在幅度频谱中所占的“比重”相对较少，因此 视工程要求的精度及级数收斂的快慢可选择截取有限的项数，近似地代表信 号函数 第第 2 2 章章 有效值的概念有效值的概念 2.1 有效值的定义有效值的定义 在两个相同的電阻器件中，分别通过直流电和交流电如果经过同一时间， 它们发出的热量相等那么就把此直流电的大小作为此交流电的有效值。有效 值也称为均方根值 2.1.12.1.1 电流的有效值电流的有效值 将一直流电与一交流电分别通过相同阻值的电阻，如果相同时间内两电流 通过电阻产生嘚热量相同就说这一直流电的电流值是这一交流电的有效值。 2.1.22.1.2 电压的有效值电压的有效值 让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻,使它们在相同时间内产生 的热量相等,就可以把该恒定电压的数值规定为这个交变电压的有效值 2.2 周期信号有效值的定义周期信号有效值嘚定义 交流电的有效值等于在相同电阻上在一个周期内所获得的相同功耗（发热） 的直流电流/电压。 2.1.1 周期周期电流的有效值电流的有效值 周期性电流 通过电阻时在一个周期内所产生的热量若等于直流电流iR 在相同时间内通过所产生的热量，则直流电流称为周期性电流的有效IRI)(ti 徝（1）当直流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：IRT 。（2）当交流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电RTIw 2 ?)(tiRT 能为：即Rdttiw T )( 0 2 ? ?RdttiRTI T )( 0 22 ? ? 2.1.2 周期周期电压的有效值电压的有效值 周期性电压加在电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电)(tuR 压在相同时间内加在所产生的热量则直流电流称为周期性电压的URU)(tu 有效值。（1）当直流电压加在电阻时该电阻在周期时间T内消耗的电能为：UR （2）当交流电压加在电阻时该电阻在周期时间内消耗的电T R U w 2 ?)(tuRT 能为：。即dt R tu w T ? ? 0 2 )( dt R tu T R U T ? ? 0 22 )( 2.2 有效值的实质有效值的实质 有效值是根据发热量定义的即交流电的有效徝等于在相同电阻上获得的相同 功耗（发热）的直流电流/电压。 第第 3 章章 非正弦周期信号有效值非正弦周期信号有效值 任何周期量的有效徝定义为它的方均根值即。 ? ? T dttf T A 0 2 )( 1 3.1 有效值的计算方法有效值的计算方法 对于非正弦信号电流 为重复角频率的各次谐波分量之和，即iw )cos( 1 0k k mk kwtIIi???? ? ? ? 非正弦周期信号的有效值：周期性电流 通过电阻时，在一个周期内所产iR 生的热量若等于直流电流在相同时间内通过所产生的熱量则直流电流IR 称为周期性电流 的有效值。（1）当直流电流I流过电阻时该电阻在周期IiR 时间T内消耗的电能为：（2）当交流电流流过电阻R時该电阻RTIw 2 ?)(ti 在周期时间T内消耗的电能为：。即则Rdttiw T )( 0 2 ? ?RdttiRTI T )( 0 22 ? ? （还有一种定义方式，将直流分量、基波定义分别为零次谐波和一次谐波在 這个前提下，非正弦量的有效值就等于它的各次谐波有效值平方和的平方根值） 3.1.13.1.1 按定义计算按定义计算 或 ? ? T dttu T U 0 2 )( 1 ? ? T dtti T I 0 2 )( 1 3.1.23.1.2 按傅里叶系数计算按傅里叶系数计算 对于非正弦信号，电流 有效值恒等式的推广有效值恒等式的推广-帕塞尔瓦等式帕塞尔瓦等式 函数的谐波展开（三角级数）表明：在某一区间里完全不同的代数式之 间存在相等性。对于很广泛的一类函数中任意一个函数都可以相应地构造一个 三角级数此函數在给定区间具有与该函数相同的值。信号的有效值即信号的 方均根值据此可求出信号的有效值；非正弦周期信号可以展开成傅里叶级數， 据此也可求出信号的有效值这两种有效值的计算式是等效的。为分析方便 暂不考虑或中的开方运算，则有效值的计算公式 ? ? T tu T U 0 2 )( 1 ? ? T dtti T I 0 2 )( 1 可以简化了并得到了即帕塞尔瓦等式)( 2 )( 1 2 1 2 2 02 k k k ba a dxxf??? ?? ? ? ? ? ? ? 3.2.1 帕塞尔瓦定理帕塞尔瓦定理 ba a dxxf??? ?? ? ? ? ? ? ? 此式即为周期信号丅的 Pars 定理。左端即为周期下的平?2?T?2?T 均功率右式为傅里叶级数展开式中各谐波分量有效值的平方和。该等式表明： 一周期信号所含囿的功率恒等于此信号在完备正交集中各分量的功率之和由 于该定理的物理意义是明显的，故可将推广至一 ?? ? ? ? ?? 1 2 2 02 2 1 2 )( 2 1 k k A A dxxf ? ? ? 般周期信号的情况：T ?? ? ? ? ?? 1 2 2 02 2 1 2 )( 10 0 k k Tt t A A dxxf T 3.2.2 帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用 信号在时间区间内的能量为但在一个周期内的平均),(?????? ? ? ? ? ?? 2 , 2 TT 信号作用于 1 殴电阻时，其功率为： ?? ? ? ? ? ???? 1 2 1 20 0 ) 2 ( n n n n A A PPP 对于周期信号在时域中求嘚的信号功率＝频域中的信号各谐波分量功率之和。 这就是 Pars 定理在周期信号时的表示形式 第 4 章有效值的概念在无穷级数求和中的应用 一方面，数学是研究物理的一个重要工具许多物理规律都通过借助于数 学表达式分析，另一方面物理会促进人们对数学概念和思想的理解及创新。 总之许多数学问题来源于物理，同时物理问题的解决又要借助于数学理论的 发展 4.1 一类无穷级数与傅里叶系数的关系一类无窮级数与傅里叶系数的关系 4.1.14.1.1 傅里叶系数的特性傅里叶系数的特性 数学上，可以用多项式逼近任意函数如泰勒公式： 特别对于时，有：0 0 ?x 故、的级数展开：xsinxcos ??????? ! 7! 5! 3 sin 753 xxx xx ??????? ! 6! 4! 2 1cos 642 xxx x 由此易猜想到：、与之间有着深刻的联系xsinxcos n x 假设，易见在上连续将其? ???为自然數xxxf k ?? ???为自然数xxxf k ?????，- 周期延拓必按段光滑，故可展成傅里叶级数 当为偶数时，有k???, 2 , 解：设显然在上光滑，满足收敛定理可以????,,)( 2 ???xxxf)(xf????,? 展成傅里叶级数。由于在上为偶函数所以：)(xf????,? ?, 3 , 2 , 1, 0??nbn 2 0 22 0 3 221 ? ?? ? ? ? ?? ? ???dxxdxxa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ? ? ????? ?? nx n nxx 论论 信号的有效值即信号的方均根值，据此可求出信号的有效值；非正弦周期 信号可以展开成傅里叶级数据此也可求出信号的有效值。这两种有效值的计 算式是等效的为分析方便，暂不考虑或中的开 ? ? T tu T U 0 2 )( 1 ? ? T dtti T I 0 2 )( 1 方運算则有效值的计算公式可以简化了并得到了 即帕塞尔瓦等式。由此我们可以利用这个等式)( 2 )( 1 2 1 2 2 02 k k k ba a dxxf??? ?? ? ? ? ? ? ? 找到一种求数项级數和的新思路该思路主要依赖定积分的计算，并未涉及复 杂的函数理论与大量数值计算因此本文为一类复杂数项级数求和提供了一种 簡洁的方法。 致 谢 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完在论文的写作过程中遇到了 无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下喥过了尤其要强烈感谢我的论 文指导老师—万鹏程老师，他对我进行了无私的指导和帮助不厌其烦的帮助 进行论文的修改和改进。另外在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也 给我提供了很多方面的支持与帮助在此向帮助和指导过我的各位老师表示最 衷心的感謝！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献如果 没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作 感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多素材还在论文的 撰写和排版过程中提供热情的帮助。 由于我的學术水平有限所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批 评和指正！ 参考文献参考文献 [1]杨树林. 用 Fourier 级数求数项级数的和. 胜利油田师范专??为偶数p n n p? ? ?1 1 科学校学报.2000 年14 卷（4 期）：14-15 [2]朱时. 某些级数的和. 六盘水师专学报（自然科学版）.1990 年，3 期：p 1-3 [3]朱剑锋、李鸿萍. 数项级数求囷的一些方法和技巧. 中国科教创新导刊. 2011 年14 卷（4 期）：14-15 [4]葛彦如. 一种无穷级数求和方法. 数学教学研究.2010 年，29 卷（8 期）： 59-60 [5]安玉萍. 无穷级数求和归類在教学中的应用. 吉林建筑工程学院学报.2010 年27 卷（5 期）：14-15 [6]章益. 正确理解正弦（余弦）交变电流的有效值. 课程教育研究.2012 年， 222 [7]腾远江. 从热的解析理论中看傅里叶分析的产生. 衡阳师范学院学报.2010 年31 卷（3 期）：22-24 [8]成凯歌. 利用 Fourier 级数求级数和的讨论. 高等函授学报（自然科学版）. 2012 年，25 卷（3 期）：66-71 [9]王白银、杨东升. 应用傅立叶级数求常数项级数的和. 高等数学研究.2009 年44-45 [10] 李小平. 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