第一小题是怎么导数公式推导过程出来的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-16 09:00 标签： 动能定理公式推导

摘要：仿照一等式将相乘的两个函数作变形处理结合复合函数的求导法则等，可导数公式推导过程出相乘的两个函数的求导公式综合运用两个函数积的求导公式和结論“函数y=x+c的导数”，能证明指数为正整数的幂函数求导公式利用这个求导公式及相乘的两个函数的求导公式，新法证明指数为有理数的冪函数求导公式幂函数求导公式的完整证明还有一点值得补充：指数为负无理数的幂函数求导公式的证明。融入极限思想构造模型导數公式推导过程指数为无理数的幂函数求导公式。

关键词：幂函数导数公式；两个相乘函数的导数； 构造模型导数公式推导过程

前言：运鼡二项式定理可证指数为正整数的幂函数求导公式。当幂函数的指数为非正整数的情况下运用二项式定理，就不能证明这种情况下的冪函数求导公式在幂函数的两边取以e为底对数，可以证图像位于平面坐标第一象限的幂函数求导公式此法就不能证明自变量小于0的情況下的幂函数求导公式。

运用二项式定理能证明指数为正整数的幂函数求导公式。有了这个公式指数为有理数的幂函数求导公式已有這样的证明。P、q为正整数将幂函数y=xp/q整理成yq=xp，用“运用二项式定理证明了的指数为正整数的幂函数求导公式”两边求导可证得幂函数y=xp/q的求导公式。运用这个公式：幂函数y=x-p/q的求导公式结合函数商的求导公式，可证明指数为负有理数的幂函数y=x-p/q的求导公式此法不能证明指数為无理数的幂函数求导公式。

指数为有理数的幂函数求导公式还可以有新的证明方法证明过程里用到的符号n、k都取正整数。

一、相乘的兩个函数的导数公式导数公式推导过程

运用平方差公式定义法求函数y=x2导数知

利用结论y'=(x2)'=2x及复合函数的求导法则知

二、证明指数为n的幂函数求导公式

 常数项为0、系数为1的一元一次函数的导数是1。利用这个结论及相乘的两个函数的求导公式来证明指数为正整数的求导公式

指数為正整数的求导公式为

三、运用指数为正整数的求导公式证指数为非整有理数幂函数的求导公式

（一）指数为-n的幂函数求导公式的证明

指數为负整数的求导公式为

（二）幂函数指数为1/n的幂函数导数公式的证明

（三）指数为-1/n的幂函数导数公式的证明

综合运用已证结论可以导数公式推导过程出指数为±k/n的幂函数求导公式。

综合前面已证的全部结论在指数取有理数第情况下，幂函数求导公式是成立的

四、指数為无理数的幂函数求导公式的证明

一个无理数是可以用一个值非常接近这个无理数的有理数再加一个无穷小的无理数之和来表示的。计算若干无理数的有理近似值说明了这一点

令u是一个无理数，a是一个值非常接于无理数u值的有理数b是一个无理数，且u=a+b则b→0。一个指数为無理数的幂函数就可以用包含两个函数的乘积的函数来表示它的求导可变形为

导数是微商，先求极限后求导，有些情况下有问题b→0，但不能确定指数为b的项的导数为0如何处理指数为b的项的导数？

依据题设存在这个极限

从积分的角度考虑，把需要求导的指数为无理數的幂函数看成是某函数取常数为0的不定积分依据那个极限，用那个指数为有理数a的幂函数的导数替代指数为无理数u的幂函数的导数是鈳以的这样，就避开了求指数为无理数项的导数这个函数的导数是

因为u=a+b、b→0，又不涉及求导所以，这个导数中的a可以用u替代替代後变成

基于极限的角度考虑，指数为无理数的幂函数的导数可以这样求

 将无穷小的无理数b添加进去后，指数为有理数的幂函数的求导同指数为有理数的幂函数的求导有相同形式的导数公式

由已证结论知，在指数取不等于0实数的第情况下常见的幂函数求导公式是成立的。指数为0的幂函数求导简单也能用幂函数求导公式求。

【1】于艳霞, 范姝. 关于导数公式（x^α）=αx^α－1的证明[J]. 吉林师范大学学报（自然科学蝂）, ):114-115.

【2】张长春, 侯双印. 关于幂函数y=x^μ连续及其求导公式的完整证明[J]. 郑州工学院学报, -65.

在初中数学学习过程中导数也昰一个学习重点。那么导数公式是怎么来的呢?下面小编整理了一些相关信息，供大家参考!

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的導数公式推导过程过程：(*为乘号)

在导数公式推导过程的过程中有这几个常见的公式需要用到：

设：指数函数为：y=a^x

当△x→0时,有M→0

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