请问6*6矩阵的计算矩阵特征值和特征向量与特征向量计算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-19 01:18 标签： 计算矩阵特征值和特征向量

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第 6 章 求矩阵计算矩阵特征值和特征向量与特征向量 本章主要内容 1. 乘幂法和逆幂法 2. 对称矩阵的计算矩阵特征值和特征向量和特征向量的雅可比法 重点、 难点 一、 乘幂法 乘冪法是求实方阵 A 按模最大的计算矩阵特征值和特征向量及相应的特征向量的一种迭代方法。 是本章的重点内容 在学习时， 同学们应注意對前两种情况的公式的理解和记忆 1. 基本思想： 任取非零初始向量 X0， 作迭代序列 Xk+1=AXk k=0,1,…. 再根据 k增大时， Xk各分量的变化规律 求出方阵 A 的模最夶的计算矩阵特征值和特征向量及相应的特征向量。 2. 乘幂法的计算公式 设矩阵 A 的 n 个计算矩阵特征值和特征向量按模的大小排列为： │ λ1│ ≥│ λ2│ ≥…≥│ λn│ 其相应的特征向量为 e1, e2,…, en， 且线性无关 任取初始非零初始向量 X0， 作迭代序列Xk+1=AXk k=0,1,…. ?ki?i?? ?ki,,,112121??????????????????????????????????????????kkkkkkkkkkXXXXexxXXXXexx?????? 在实际应用乘幂法时， 可根据迭代向量个分量的變化情况判断属于那种情况 若迭代向量各分量单调变化， 且有关系式 Xk+1≈cXk 则属于第 1 种情况； 若迭代向量各分量不是单调变化， 但有关系式 Xk+2≈cXk 则属于第 2 种情况； 在应用乘幂法计算计算矩阵特征值和特征向量和特征向量时， 为了防止溢出 也可采用迭代公式（6.6） 进行迭代计算。 当 A 为对称矩阵时 可采用计算内积的方法加速迭代的收敛， 即计算计算矩阵特征值和特征向量λ1时可用公式),(),(11kkkkXXXX??? 其精度与上式（1） 中?i?? ?kikxx11???相当。 3. 乘幂法的计算步骤： ①任取初始非零初始向量 X0（一般取 X0=（1 1， 1）T或 X0=（1 0， 0）T） ②作迭代序列 Xk+1= AXk， k=0,1,…（也可以列表计算） ③根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况， 选择所属公式 ④代入公式计算出方阵 A 按模最大的计算矩阵特征值和特征向量及相应的特征向量。 例 1 用乘幂法求矩阵?????????????A按模最大计算矩阵特征值和特征向量和特征向量 【思路】 任取初始向量 X0， 代入迭代序列 Xk+1=AXk 进行迭代。 再根据 Xk各分量的变化规律 判断所使用的计算矩阵特征值和特征向量的计算公式， 进行计算 解 取 X0=（1， 1 1）T， 用乘幂法迭代公式 Xk+1=AXk k=0,1,…. 计算列表如下： 因为迭代向量各分量单调变化， .000 10.999 11.000 二、 逆幂法 逆幂法是求实方阵 A 按模最小的计算矩阵特征值和特征向量及相应的特征向量的一种迭代方法 1. 基本思想： 设非奇异矩阵 A 的 n 个计算矩阵特征值和特征向量为： λ1≥λ2≥…≥λn， 其相應的特征向量为 e1, e2,…, en 则的计算矩阵特征值和特征向量为n ???11121?? ? ???其相应的特征向量仍为 e1, e2,…, en。 则求 A-1按模最大的计算矩阵特征值和特征向量的倒数则为矩阵 A 按模最小的计算矩阵特征值和特征向量 再利用幂法求 A-1按模最大的计算矩阵特征值和特征向量。 2. 逆幂法的计算公式 任取初始非零初始向量 X0 作迭代序列 。 ②作迭代序列 Xk+1= A-1Xk k=0,1,…（也可以列表计算） 。 在实际计算中 为了减少运算量， 先将矩阵 A 作三角分解 A=LR 然后再求解方程组 ., 1 , 01? ? ??????????kYRXXLYkkkk ③根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况， 选择所属公式 ④代入公式计算出計算矩阵特征值和特征向量及相应的特征向量。 2.利用逆幂法还可以求得比已知计算矩阵特征值和特征向量?~更准确的计算矩阵特征值和特征向量和特征向量 求在?~附近的计算矩阵特征值和特征向量。 设与?~最接近的计算矩阵特征值和特征向量为i? 用逆幂法求出矩阵IA?~?的按模最小的计算矩阵特征值和特征向量和相应的特征向量为 ? ?ki?i?????????111,~kkikiiXXexx??? 于是得 A 在 附近的计算矩阵特征值和特征向量囷相应的特征向量为 ? ?ki?i??????????111,~~kkikiiXXexx???? ?~ 三、 对称矩阵的雅可比法 雅可比法是求实对称矩阵全部计算矩阵特征值和特征向量和特征向量的变换方法 1.雅可比法的基本思想： 对 n 阶实对称矩阵 A（记 A0=A=（aij(0)） ） 作一系列平面旋转相似变换， 即用一系列正交旋转矩阵 R1 R2， … Rk， 对 A 作平面旋转变换 将对称矩阵A 化为对角矩阵 D， 即 D= Ak=( R1R2…Rk)TA0(R1R2…Rk)= RkTAk-1Rk (k=1,2,…,)。 则对角矩阵 D 的 n 个对角元素就是 A 的全部计算矩阵特征值和特征向量 而变换阵之积的各列就是相应的特征向量。 2.雅可比法的的计算步骤： ①构造正交旋转矩阵 R1 在 n 阶实对称矩阵 A 中， 选择最大的非对角线上嘚元素 apq所在的第 p 行和第 q 列构造正交旋转矩阵 R1 其中 p,q 应满足：) 0 (ij) 0 (qp) 0 A(k-1)化为对角阵或满足精度要求为止。 则求得对角矩阵的 n个对角元素就是 A 的全部计算矩阵特征值和特征向量 而变换阵 R1， R2 …， Rk之积的各列就是相应的特征向量 在用雅可比法进行计算时， 但是 在进行迭代时， 对称矩陣 A 中已化为零的元素在下一步迭代时又可能变为非零元素 根据雅可比法的收敛性可知， 这些元素是趋于 0 的 只是收敛的速度可能慢些。 所以在实际迭代计算时 只要每个元素小于某一给定的精度数值即可。 （2） 在实际使用雅可比法进行计算时 为了避免寻找最大非对角元， 常采用按 a12,…,a1n, a23,…,a2n,… an-1 n,次序化零的循环雅可比法 。 0) 1 (qp) 1 (pq?aa 例 2 用雅可比法求矩阵 ???????????????A的计算矩阵特征值和特征向量和特征向量 【思路】 根据雅可比法的计算步骤求解。 解 ∵ 2max?j) 1?(12?kia , 取 p=1,q=2, 根据雅可比法迭代计算公式知 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4??????sin,22cos4,4) 2(222?tan111)

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