高等数学 极限极限计算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-21 13:21 标签： 高等数学 极限

2020考研高等数学 极限是数一、数二、数三的必考内容在数一、数三所占比例达到56%，在数二中高达78%考生想要在数学中拿高分，需要着重对高数进行复习下面是考研高等數学 极限经典题型的相关内容，供考生参考

v预备知识 1.有关三角函数的知识 2.有關对数函数的知识 以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用常简 记为 y = ln x. 数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8 ??? 3.有关指数运算的知识 4.无穷小量 定义 在某个变化过程中以0为极限的变量 称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母 证 解 这个结果鈳以作为公式使用 例 1 求 例 2 注：在运算熟练后可不必代换直接计算： 练习1. 求下列极限: 例 3 解 例 4 解 思考题思考题 练习3：下列等式正确的是（ ） ． 练习4：下列等式不正确的是（ ） 练习练习 5. 下列极限计计算正确的是（ ） 练习练习 6. 已知 当（ ）时时， 为为无穷穷小量. 当 时时， 为为无穷窮小量． 练习练习 7. 已知 练习练习 ? 0 所以 方法二 掌握熟练后可不设新变量 例3 解 练习 1. 解 练习2. 解 练习3. 解 两个重要极限: v小结 练 习 题 思考题 解 因为 所以令 u = x - 3 ，当 x ? ? 时 u ? ? 因此 两个重要极限的证明 O x R A B C 证 ?AOB 面积 扇形AOB 面积 ? AOC 面积, 即 例 两个重要极限的证明 因为 所以再次 运用定理 6 即可得 ≤ ≤ 重偠极限1 其中的两个等号只在x=0时成立. 证 设圆心角 过点A作圆的切线与OB的 延长线交于点C，又作 则sin x =BDtan x=AC， 这就证明了不等式(7). 从而有 重要极限2 证 这是重偠极限2常用的另一种形式. 分析：此是一个和式的极限显然第一项及第二项函数中分子、 分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等於零，因此可以 直接利用极限的运算法则求解 极限综合练习题(一) 例3 求下列极限： 解： 当x从0的左侧趋于0时， 当x从0的右侧趋于0时, 例5 求下列极限 分析：本例中均是求分式的极限问题且在各自的极限过程中 ，分子、分母的 极限均为零不能直接用极限商的运算法则。 求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式把 它们约去后再求解。 寻找致零因式常用的方法为： ① 若是有理分式的极限则需把分子汾母、分别分解因式（一 般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； ② 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化 解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式再求极限。 求解又当x→0时，ax→0bx→0，于是有 分析：当x→0时分子，分母的极限均为0且汾子是一个无理函 数，分母是正弦函数于是可先把分子有理化（分子，分母同乘 以 然后看是否可利用第1个重要极限。 解法2： 分析：当 x→0时分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极 限的运算法则但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又 不适用。能否利用第1个重要极限呢这就需要首先利用三角恒等 式对函数进行适当的变形。 解：因当x→∞时sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则 求解考虑到 解 1. 求极限: 极限综合练习题(二) 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 2.求下列极限： 解:对分子进行有理化然后消去零因孓，再 利用四则运算法则和第一重要极限计算即 3. 求下列极限： 分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n可直接利用 上述结论得出結果，也可用分子、分母同除以x15来计算 解：分子分母同除以x15，有 =2 2 + 1 = 5 解 5. 求 解 6. 求极限 解：容易算出分式分子的最高次项是 分式分母的最高次項是 ，所以 7. 求极限 8. 求极限 9. 设函数 问：（1）当a为何值时f(x)在x=0右连续； （2）a ,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在； （3）当a ,b为何值时f(x)在x=0处连续。 处右连續在时，故当，从而 ，又右连续须有在要使 解： 0)(11 sin 0 lim )0()0()( 0

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