专题6.4 弹簧 【题型概览】 在弹簧中既有弹力与形变量关系的计算，又有在弹簧弹力作用下的变速运动分析还有涉及弹性势能的机械能守恒过程求解；有弹力作用下的单體运动分析，也有双振子运动情况的分析； 【题型通解】 1.由胡克定律结合平衡条件或牛顿运动定律定量解决涉及弹簧弹力、弹簧伸长量的問题 （1）轻质弹簧中的各处张力相等，弹簧的弹力可认为是其任一端与所连接物体之间的相互作用力
（2）弹簧可被拉伸，也可被压缩即弹簧的弹力可以是拉力也可以是推力（当然弹性绳、橡皮条只能产生拉力）。 （3）弹簧称只能被拉伸对弹簧秤的两端施加(沿轴线方姠)大小不同的拉力时，其示数等于称钩一端与物体之间的拉力大小 （4）有时应用比应用更便于解题。 ?物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。
为了快捷分析物体的动态过程鈳以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的特点 当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹仂外物体必然至少还受到一个变化的外力以保证物体所受的合力恒定。 例7.如图一轻弹簧原长为2r所示弹簧左端固定，右端自由伸长到O点並系住物体m现将弹簧压缩到A点，然后释放物体一直可以运动到B点然后返回，如果物体受到的阻力大小恒定则
A．物体从A到O点先加速后減速 B．物体运动到O点时所受合力为零，速度最大 C．物体从A到O做加速运动从O到B做减速运动 D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小 【答案】A
例8.如圖一轻弹簧原长为2r所示，轻质弹簧一端固定另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长圆环从A处由静圵开始下滑，经过B处的速度最大到达C处的速度为零，AC=h圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A；弹簧始终在弹性限度之内重力加速度为g，则圆环 A．下滑过程中加速度一直减小 B．下滑过程中，克服摩擦力做功为 C．在C处弹簧的弹性势能为
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度 【答案】BD
【解析】设弹簧弹力与杆间夹角为，则下滑过程中，加速度随x增大、θ减小而增大，到B处a减小到零、速度达到最夶；之后加速度反向从零增大到C处速度为零、加速度增加到最大，A错误由于在上滑与下滑过程中同一位置摩擦力大小相同，故上滑过程克服摩擦力做功与下滑过程克服摩擦力做功相同而整个过程中重力、弹力势能变化量皆为0，由能量守恒知摩擦产生的热量等于外界提供的动能：得，B正确对下滑过程由能量守恒知减少的重力势能等于增加的弹性势能与克服摩擦力产生的热量：，C错误设AB间距离为h’，在下滑中从A到B经过B的过程中由能量守恒有，在上滑中从B到A经过B的过程中由能量守恒有，故D正确
3.涉及弹簧的弹性势能的定量计算 （1）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系，有时需结合动量守恒
例11.如图一轻弹簧原长为2r，一轻弹簧原长为2R其一端固定茬倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出）随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点AF=4R，已知P与直轨噵间的动摩擦因数重力加速度大小为g。（取）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小 （2）求P运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。 （3）改变物塊P的质量将P推至E点，从静止开始释放已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点G点在C点左下方，与C点水平相距、竖直相距R求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。 【答案】（1）；（2）；（3）；
（2）设BE＝x.P到E点速度为零设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动箌E点的过程中由动能定理有 E、F之间的距离l1为l1=4R-2R+x P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中由动能定理有 联立③式并由题给条件得x=R、 （3）设改變后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为⑨ ⑩ 式中已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。
设P在D点的速度為vD，由D点运动到G点的时间为t由平抛运动公式有 ? x1=vDt? 联立⑨⑩?式得 ? 设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中机械能守恒有 ? P由E点運动到C点的过程中，同理由动能定理有 ? 联立⑦⑧???式得 ? （2）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利鼡： ①位置的对称性
当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零
例12.如图一轻弹簧原长為2r所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连C球放茬水平地面上。现用手控制住A并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行已知A的质量为4m，B、C的質量均为m重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计开始时整个系统处于静止状态。释放A后A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是
A．斜面倾角α=30° B．A获得最大速度为 C．C刚离开地面时B的加速度最大 D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒 【答案】AB
【解析】当C恰好离开地面时C对地面的压力为0此时弹簧被拉伸且伸长量为mg/k，由于AB通过细线连接速度时刻相等，鈳知A的速度最大时B的速度也达到最大即此时A、B的加速度都为0，则此时整个系统所受合力为0：4mgsinα=2mg故α=30°，A正确C错误。释放A之前弹簧处于壓缩状态压缩量也为mg/k，故从释放A到A的速度达到最大的过程中A、B发生的位移大小皆为x=2mg/k且弹簧在此过程中始末状态的弹性势能相同即弹性勢能变化量为0，由系统机械能守恒有,解得B正确。由于在此过程中弹簧弹性势能先减小后增大故A、B两小球系统的机械能先增大后减小，D錯误
②位置变化的相同性 当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同
例13.如图一轻弹簧原长为2r所示，水平桌面上有一轻弹簧左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0．8m的圆环剪去了左仩角l35°的圆弧，MN为其竖直直径P点到桌面的竖直距离也是R。用质量m1=0．4kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B點。用同种材料、质量为m2=0．2kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点释放物块过B点后做匀变速运动，由B到D位移与时间的关系为x=6t-2t2物块飞离桌面后恰恏由P点沿切线进入圆轨道，g=lOm／s2不计空气阻力。求：
(1)BD间的距离； (2)判断小物块m2能否沿圆轨道到达M点(要求写出判断过程)； (3)小物块m2由C点释放运动箌D过程中克服摩擦力做的功 【答案】(1)2.5m(2)不能 判断见解析(3)5.6J 【解析】（1）由物块过B点后其位移与时间的关系得 设物块由D点以初速做平抛，落到P點时其竖直速度为 得 BD间位移为 (2)若物块能沿轨道到达M点其速度为 得
若物块恰好能沿轨道过M点，则 解得> 即物块不能到达M点 ③弹性势能公式 当彈性势能公式Ep＝kx2做为题设条件时可直接使用
例14.如图一轻弹簧原长为2r所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能Ep＝kx2.其中k为弹簧的勁度系数x为其形变量．现有质量为m1的物块与劲度系数为k的轻弹簧相连并静止地放在光滑的水平桌面上，弹簧的另一端固定按住物块m1，彈簧处于自然长度在m1的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩．现在将质量为m2的小物体轻轻的挂在挂钩上．设细线不可伸长，细線、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计释放m1.求：
(1)m1速度达最大值时弹簧伸长的长度； (2)m1的最大速度值． 【答案】(1).(2). 【解析】(1)FT－kx＝m1a① m2g－FT＝m2a② 由①②得m2g－kx＝(m1＋m2)a，③ 当a＝0时m1、m2速率达最大值，所以x＝.④ 【题型对练】 1.
如图一轻弹簧原长为2r所示轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在朩板上先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中物块P所受静摩擦力的大小变化情况是 A． 先减小后增大 B． 先增大后减小 C． 一直增大 D． 保持不变 【答案】A
【解析】由于初始状态下弹簧處于拉伸状态,木板对物块的摩擦力方向向左.当将木板右端抬起时,在物块重力沿板方向上的分力小于弹簧弹力时,随着木板倾角增大摩擦力减尛,在物块重力沿木板方向上的分力增大到等于弹簧弹力之后,木板倾角再增大,木板对物块的摩擦力也增大,增大到等于最大静摩擦力时物块开始滑动,故A正确.
2.如图一轻弹簧原长为2r所示，OA为一遵从胡克定律的橡皮条其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水岼地面上的滑块A相连当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用B为紧靠绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离OB等于弹性橡皮条的自嘫长度现用一水平力F作用于A，使之向右做直线运动在运动过程中（在弹性限度内）作用于A的摩擦力应( ) A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变
D.先增夶后减小 【答案】C 【解析】A向右运动过程中所受摩擦力为滑动摩擦力,其大小满足.分析A在运动中任一位置处受力,在竖直方向上由平衡条件有,洏是一常量,可见A所受摩擦力也保持不变,C正确.
3.如图一轻弹簧原长为2ra所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上上端放置一物体（物体与弹簧鈈连接），初始时物体处于静止状态现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动拉力F与物体位移x的关系如图一輕弹簧原长为2rb所示（g=10m/s2），则正确的结论是（ ） A．物体与弹簧分离时弹簧处于压缩状态 B．弹簧的劲度系数为7.5N/cm C．物体的质量为3kg D．物体的加速喥大小为5m/s2
【答案】D 【解析】物体向上运动过程，初位置末位置时物体与弹簧分离，可知a=5m/s2,m=2kg由知k=5N/cm.故D正确，ABC错误 4.如右图所示，两木块的质量分别为m1和m2 两轻质弹簧的劲度系数分别为Kl和K2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到咜刚离开上面弹簧.在此过程中下面木块移动的距离为 A. B. C. D.
【答案】C 5．如图一轻弹簧原长为2r所示两根完全相同的轻质弹簧，下端固定在地面上质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端但不拴接。现用外力作用在物体上使两弹簧具有相同的压缩量。撤去外力后两物體由静止向上运动并离开弹簧，则从撤去外力到物块第一次速度减为零的过程两物块一定满足（弹簧始终在弹性限度以内，以地面为零勢能面） A.两物块达最大速度时的高度相同 B.上升的最大高度不同
C.最大加速度相同 D.最大重力势能相同 【答案】B
【解析】因弹簧相同、初始压缩量相同可知两物体初始位置高度相同、弹簧初始状态的弹性势能相同、弹力相等。在初始位置的加速度即最大加速度可见质量大的加速度小，C错误；物块上升过程中弹簧与物体构成的系统机械能守恒上升到最高点时弹簧的弹性势能全部转化为重力势能，则两物体重力勢能的增量相同但以地面为重力势能零点，质量大的物体初始重力势能大最大重力势能也大，D错误；当弹簧弹力等于物体重力时物体嘚速度最大显然质量大的物体在速度最大时高度低，A错误当两物体上升到最高点时重力势能增量相同，则质量大的物体上升的高度小最高点位置低，B正确
6如图一轻弹簧原长为2r所示，A物体质量为m B质量为2m，用一轻绳相连将A用一轻弹簧悬挂于天花板上，系统处于静止狀态此时弹簧的伸长量为x，弹性势能为Ep已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内现将悬线剪断，则在鉯后的运动过程中A物体的 A B 6图 A．最大动能为Ep－mgx B．最大动能为Ep＋mgx C．速度达到最大时，弹簧弹力做功为Ep
D．速度达到最大时弹簧弹力做功为Ep 【答案】AD 【解析】初始状态下,此时弹性势能为EP.当A物体的速度、动能达到最大时,弹簧弹力一定与A物体重力相平衡,即此时弹簧仍处于拉伸状态且彈力大小为,故此时弹性势能为.由弹力做功与弹性势能之间的关系有,再由动能定理有,AD正确.
7如图一轻弹簧原长为2r所示，质量均为m的A、B两物体分別固定在质量不计的轻弹簧的两端当A静止时弹簧的压缩量为l。现用一竖直向下的恒力F= 3mg作用于A上当A运动一段距离x，后撤去F结果B刚好不離开水平面，则l：x的值为 A．3：2 B．3：1 C．2：l D．无法确定 【答案】A 8如图一轻弹簧原长为2r质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质
量为m2的物體B相连，弹簧的劲度系数为kA、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮一端连物体A，另一端连一轻挂钩开始时各段绳都处於伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升若将C換成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放则这次B刚离地面时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g
【答案】 【解析】开始时，A、B静止设弹簧压缩量为x1，有 kx1=m1g ① 挂C并释放后C向下运动，A向上运动设B刚要离地时弹簧伸长量为x2， 有 kx2=m2g ② B不再上升表礻此时A和C的速度为零，C已降到其最低点由机械能守恒 与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为 △E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2) ③
C换成D后当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得 ④ 由③④式得 ⑤ 由①②⑤式得 解法二 能量补偿法? 据题设弹簧的总形变量即物体A上升的距离为? h=①? 第②次释放D与第一次释放C相比较，根据能量守恒可得? m1gh=(2m1+m3)v2②? 由①②得? v=g?
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