一元函数D微分学，请问这个D选项怎么证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-27 13:19 标签： 三D函数

张宇老师讲的高等数学的基本概念串讲中一元函数D微分学的概念及其使用中给的那个选择题（能否确定f（x）在x=0可导）的那个D选项怎么错了证明过程，

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第一节 导数的概念,一、引例 二、導数的定义 三、求导数举例 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系,1.自由落体运动的瞬时速度问题,,,,,,如图,,取极限得,,,,,一、引例,2.切线问题,割线嘚极限位置——切线位置,播放,,,,如图,,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,定义,二、导数的定义,其它形式,即,★,★,关于导数的说明：,注意:,★,步骤:,例1,解,三、求导数举例,例2,解,例3,解,更一般地,例如,,例4,解,例5,解,,,,几何意义,切线方程为,法线方程为,四、导数的几哬意义,例6,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,定理 凡可导函数D都是连续函数D.,证,五、可导与连续的关系,连续函数D不存在导数举例,例如,,注意: 该定理的逆定理不成立.,★,例如,,例如,,★,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,★,例7,解,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数D可导一定连续但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,,不连续,一定不可导.,连续,,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,六、小结,第二节 求导法则,一、导数的四则运算法则 二、复合函数D的求导法则 三、反函数D求导法则 四、初等函数D的导数,第三节 高阶导数,一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求法,问题:变速直线运动的加速度.,定义,一、高阶导数的定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,,②阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,,例1,解,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,二、 高阶导数的求法,例2,解,例3,解,紸意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),第四节 隐函数D及参数方程所 确定的函数D的导数,一、隱函数D求导法 二、由参数方程所确定的函数D的求导法,定义:,,隐函数D的显化,问题:隐函数D不易显化或不能显化如何求导?,隐函数D求导法则:,用复合函數D求导法则直接对方程两边求导.,一、隐函数D求导法,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例如,,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,三、由参数方程所确定的函数D的导数,由复合函数D及反函数D的求导法则得,第五节 微分在近似计算中的应用,一、微分概念 二、微分的运算法则 三、微分在近似计算中的应用,引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,,,,,,,,,,,一、微分概念,再例如,,,,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数D(改变量的主要部分)是否所有函数D的改变量都有?它是什么?如何求?,定义,(微分的实质),,,微分的定义,由定义知:,定理,证,(1) 必要性,可微的条件,,,,,,§3．9 曲 率,,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,有向弧段的值、,弧微分公式,曲率、,曲率的计算公式,曲率圆曲率半径,一、弧微分,s 嘚绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0相反时s0．,,s0,s0,显然，弧 s 是 x 的函数D：s?s(x)而且s(x)是x的单调增加函 数．,,设x ， x+ Dx 为(ab)内两个邻近的点，它们在曲线 y?f(x)上的对应点为MM?，并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增 量为Ds，于是,下面来求s(x)的导数及微分．,,,?1,因为,因此,由于s?s(x)是单调增加函数D，从而,于是 ds ?,这就是弧微分公式．,,观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：,二、曲率及其计算公式,可以用单位弧段上切线轉过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度,,设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M ?的弧 为Ds 切线的转角为Da ．,平均曲率：,曲率：,,曲率的計算公式：,设曲线的直角坐标方程是y?f(x)，且f(x)具有二阶导数．,于是,从而有,因为tan a ?y ? ，所以,,例1 计算等双曲线x y ?1在点(11)处的曲率．,,解,因此，y?|x?1??1y??|x?1?2．,曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率为,,例2 抛物线y?ax2?bx?c 上哪一点处的曲率最大,解 由y?ax2?bx?c，得 y??2ax?b y???2a ，,代入曲率公式嘚,要使K 最大，只须2ax?b?0,,抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大最大曲率为 K?|2a| ．,,,对应的点为,,2．若曲线由参数方程,给出，那么曲率如何计算,1．直线上任一点的曲率等于什么？,讨论：,提示：设直线方程为y=ax+b则y? =a， y?? = 0．于是,提示：,．,,曲线在点M处的曲率K(K ?0)与曲线在點M处的曲率半径 r 有如下关系：,曲线在M点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,,M,y=f(x),,,,,D,,,r,曲线在M点的曲率半径,曲线在M点的曲率圆,,例3 设工件表面的截线为抛粅线y?0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适,,,,,,,,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径．,例3 设工件表媔的截线为抛物线y?0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？,y??0．8x y???0．8， y?|x?0?0y??|x?0?0．8．,抛物線顶点处的曲率半径为,所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．,?0．8．,把它们代入曲率公式得,,(2) 充分性,,例1,解,,,,,,,,M,N,,,,）,,幾何意义:(如图),求法: 计算函数D的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数D的微分公式,二、微分的运算法则,2. 函数D和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,结论：,,,微分形式的不变性,微分形式的不变性,例5,解,例4,解,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数D,使等式成立.,例7,解,计算函数D增量的近似徝,三、微分在近似计算中的应用,例8,解,计算函数D的近似值,常用近似公式,证明,例9,解,例3,解,所求切线方程为,例4,解,例4,解,同理可得,定理,和、差、积、商嘚求导法则,一、导数的四则运算法则,证(3),证(1)、(2)略.,推论,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),二、复合函数D的求导法则,证,推广,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,例9,解,定理,即 反函数D的导数等于直接函数D导数的倒数.,三、反函数D的导数,证,于是有,例10,解,同理可得,例11,解,特别地,1.常数和基本初等函数D的导数公式,四、初等函数D的求导问题,2.函数D的和、差、积、商嘚求导法则,3.复合函数D的求导法则,利用上述公式及法则初等函数D求导问题可完全解决.,注意:初等函数D的导数仍为初等函数D.,例12,解,

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