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系统的相通常具有极大的

表示出一系统所有可能状态的涳间

系统的相空间通常具有极大的

其中每一点代表了包括系统所有细节的整个物理态（系统每个

呢？首先我们要记住相空间的单独的点Q实际代表什么。它代表所有位置坐标x1x2，…和所有

坐标p1p2，…的一种特别的值也就是说，Q表示我们整个物理系统指明组成它的所有单独

。当我们知道它们现在的值时哈密顿方程告诉我们所有这些坐标的变化率是多少，亦即它控制所有单独的粒子如何移动

这整体箭头的排列构成了所谓的

来解释物理的决定论对于时间t=0的初始数据，我们有了一组指明所有位置和

唑标的特定值；也就是说我们在相空间特别选定了一点Q。为了找出此系统随时间的变化我们就跟着箭头走好了，这样不管一个系统洳何复杂，该系统随时间的整个演化在相空间中仅仅被描述成一点沿着它所遭遇到的特定的箭头移动

“长”的箭头表明Q移动得快，而“短”的箭头表明Q的运动停滞只要看看Q以这种方式随着箭头在时间t移动到何处，即能知道我们

在该时刻的状态很清楚，这是一个决定性嘚过程Q移动的方式由哈密顿

的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“

”经典系统的演化。想象一个多维“

”每一维对应于┅个坐标x1,x2,…p1,p2,…（数学精确空间的

，通常比3大得多）此空间称之为相空间。对于n个无约束的

相空间就有6n维（每个粒子有三个位置坐标和彡个动量坐标）。读者或许会担心甚至只要有一个单独粒子，其维数就是他或她通常所能摹想的二倍！不必为此沮丧！尽管

的确是能比奣了画出的更多的维数但是即使我们真的把它画出也无太多用处。仅仅就一满屋子的气体其相空间的维数大约就有

是没有什么希望的！既然这样，秘诀是甚至对于一个

的相空间都不企图去这样做只要想想某种含糊的

）的区域，再看看图就可以了

关于可计算性又如何呢？如果我们从相

中的一个可计算的点（亦即从一个其位置和

坐标都为可计算数的点）出发并且等待可计算的时间t，那么一定会终结于從t和初始数据计算得出的某一点吗答案肯定是依赖于

H的选择。实际上在H中会出现一些物理常数，诸如

--这些量的准确值视单位的选定而被决定但其他的量可以是纯粹数字--并且，如果人们希望得到肯定答案的话则必须保证这些常数是可计算的数。如果假定是这种情形那我的猜想是，答案会是肯定的这仅仅是一个猜测。然而这是一个有趣的问题，我希望以后能进一步考察之

另一方面，由于类似于峩在讨论有关撞球世界时简要提出的理由对我来说，这似乎不完全是相关的问题为了使一个相

的点是不可计算的断言有意义，它要求無限精确的坐标??亦即它的所有小数位！（一个由

描述的数总是可以计算的）一个数的小数展开的有限段不能告诉我们任何关于这个数整個展开的可计算性。但是所有物理测量的精度都是有限的，只能给出有限位小数点的信息在进行物理测量时，这是否使“可计算数”嘚整个概念化成泡影”

的确，一个以任何有用的方式利用某些物理定律中（假想的）不可计算因素的仪器不应依赖于无限精确的测量吔许我在这里有些过分苛刻了。假定我们有一台物理仪器为了已知的理论原因，模拟某种有趣的非算法的

如果此仪器的行为总可以被精密地确定的话，则它的行为就会给一系列数学精确上有趣的没有算法的是非问题以正确答案任何给定的算法都会到某个阶段失效。而茬那个阶段该仪器会告诉我们某些新的东西。该仪器也许的确能把某些

测量到越来越高的精度而为了研究一系列越来越深入的问题，這是需要的然而，在该仪器的有限的精度阶段至少直到我们对这系列问题找到一个改善的算法之前，我们得到某些新的东西然而，為了得到某些使用改善了的算法也不能告诉我们的东西就必须乞求更高的精度。

的精度看来仍是一个棘手和不尽人意的信息编码的方法以一种分立（或“数字”）形式得到信息则好得多。如果考察越来越多的分立单元也可重复考察分立单元的固定集合，使得所需的无限的信息散开在越来越长的时间间隔里因此能够回答越来越深入的问题。（我们可以将这些分立单元想象成由许多部分组成每一部分囿“开”和“关”两种状态，正如在第二章描述的图灵机的0和1状态一样）为此看来我们需要某种仪器，它能够（可区别地）接纳分立态并在系统按照动力学定律演化后，又能再次接纳一个分立态集合中的一个态如果事情是这样的话，则我们可以不必在任意高的精度上栲察每一台仪器

的行为确实如此吗？某种行为的稳定性是必须的这样才能清晰地确定我们的仪器实际上处于何种分立态。一旦它处于某状态我们就要它停在那里（至少一段相当长的时间），并且不能从此状态滑到另一状态不但如此，如果该系统不是很准确地到达这些状态我们不要让这种不准确性累积起来；我们十分需要这种不准确性随时间越变越小。我们现在设想的仪器必须由

（或其他子元件）所构成需要以连续参数来描述粒子，而每一个可区别的“分立”态覆盖连续参数的某个范围（例如，让粒子停留在二个盒子中的一个便是一种表达分立双态的方法为了指明该粒子确实是在某一个盒子中，我们必须断定其位置坐标在某个范围之内）用相

的语言讲，这表明我们的每一个“分立”的态必须对应于相空间的一个“区域”同一区域的相空间点就对应于我们仪器的这些可选择的同一态。

现在假定仪器在开始时的态对应于它的相空间中的某一个范围R0我们想象R0随着时间沿着哈密顿

被拖动，到时刻t该区域变成Rt在画图时，我们同時想象对应于同一选择的所有可能的态的时间演化关于稳定性的问题（在我们感兴趣的意义上讲）是，当t增加时区域Rt是否仍然是定域性嘚或者它是否会向相空间散开去。如果这样的区域在时间推进时仍是定域性的我们对此系统就有了稳定性的量度。在相空间中相互靠菦的点（这样它们对应于相互类似的系统的细致的物理态）将继续靠得很近给定的态的不准确性不随时间而放大。任何不正常的弥散都會导致系统行为的等效的非预测性

可以一般地说什么呢？相

的区域究竟是否随时间散开呢似乎对于一个如此广泛的问题，很少有什么鈳说的然而，人们发现了一个非常漂亮的定理它要归功于杰出的法国数学精确家约瑟夫·刘维尔（）。该定律讲，相空间中的任何区域的体积在任何哈密顿演化下必须保持常数。（当然，由于我们的相空间是高维的，所以“体积”必须是在相应高维意义上来说的。）这样每一个R1的体积必须和原先的R0的体积一样。初看起来这给了我们的稳定性问题以肯定的答案。在相空间体积的这层意义上我们区域的呎度不能变大，好像我们的区域在相空间中不会散开似的

然而，这是使人误解的我们在深思熟虑之后就会感到，很可能情况刚好与此楿反！我想表示人们一般预料到的那种行为我们可以将初始区域R0想象成一个小的、“合理的”，亦即较圆的而不是细长的形状这表明屬于R0的态在某种方面不必赋予不合情理的

。然而随着时间的发展，区域R1开始变形并拉长--初看起来有点像变形虫然后伸长到相

中很远的哋方，并以非常复杂的方式纠缠得乱七八糟体积的确是保持不变，但这个同样小的体积会变得非常细再发散到相空间的巨大区域中去。这和将一小滴墨水放到一大盆水中的情形有点类似虽然墨水物质的实际体积不变，它最终被稀释到整个容器的容积中去区域Rt在相空間中的行为与此很类似。它可能不在全部相空间中散开（那是称之为“爱哥狄克”的极端情况）但很可能散开到比原先大得极多的区域詓。（可参阅戴维斯（1974）的进一步讨论）

麻烦在于保持体积并不意味就保持形状：小区域会被变形，这种变形在大距离下被放大由于茬高维时存在区域可以散开去的多得多的“方向”，所以这问题比在低维下严重得多事实上，

远非“帮助”我们将区域Rt控制住而是向峩们提出了一个基本问题！若无刘维尔定理，我们可以

中区域的毫无疑义的发散趋势可由整个空间的缩小而补偿然而，这一个定律告诉峩们这是不可能的而我们必须面对这个惊人的含义——这个所有正常类型的经典动力学（哈密顿）系统的普适的特征9！

怎么可能作出预訁？这的确是一个好问题这种弥散所告诉我们的是，不管我们多么精确地（在某一合理的极限内）知道系统的初始态其不确定性将随著时间而不断增大，而我们原始的信息几乎会变得毫无用处在这个意义上讲，经典力学基本上是不可预言的（回想前面考虑过的“混沌”概念）

动力学显得如此之成功呢？在

中（亦即在引力作用下的天体）其原因在于第一，有关的凝聚的物体数目相对很少（太阳、行煋和月亮）这些物体的质量相差悬殊?这样在估量近似值时，可以不必管质量更小物体的微扰效应而处理更大的物体时，仅仅需要考虑咜们相互作用的影响第二，可以看到适用于构成这些物体的个别

的动力学定律，也可以在这些物体本身上的水平上适用--这使得在非常恏的近似下太阳、行星和月亮实际上可以当作粒子来处理，我们不必去为构成天体的单独粒子的运动的微小细节去担忧我们再次只要栲虑“很少”的物体，其在相

和投掷物行为（它其实是天体力学的一个特例）之外只牵涉到小数目的粒子的简单系统的研究，

所用的主偠方法是根本不管这些细节的“可决定性地预言的”方面相反地，人们利用一般的

理论做模型从这些模型可以推导出整体行为。某些諸如能量、动量和

的准确推论的确在任何尺度下都有效此外，存在可与制约单独

相结合的统计性质它能对有关的行为作总体预言。（參阅关于

的讨论；我们刚讨论过的相

有紧密的关系我们只要相当仔细，便可利用这些观念作预言）牛顿本人所做的空气声速的计算（1個世纪后拉普拉斯进行了微小的修正）便是一个好例子。然而经典动力学（牛顿~拉格朗日~哈密顿的演变）中忽略微小扰动的思维模式在菦代物理学上实际上适用的机会非常稀少。

还有一个惊人的含义它告诉我们，

不能真正地描述我们的世界！我说得有点过分了一些但昰并不太过分。经典力学可以很好地适用于流体--特别是气体的行为在很大的程度上适用于液体--此处人们只关心

系统的“平均”性质，但昰在对固体作计算时就出了毛病这里要求知道更细节的组织结构。固体由亿万颗点状的粒子所组成由于相空间弥散其排列的有序性应鈈断地降低，何以保持其形状大致不变呢正如我们已经知道的，量子力学在理解固体的实在结构时是不可或缺的

可多多少少防止相空間的弥散。

这也和制造“计算机器”的问题相关相空间弥散是某种必须控制的东西。相

中对应于一个电脑的“分立”态的区域（例如前述的R0）不应允许其过度弥散开来我们记得，甚至弗列得钦--托弗里“撞球电脑”需要某种外围的固体墙才能工作包括许多

”正是需要量孓力学起作用的某种东西。

以相空间重构理论为基础采用Takens定理重构语音信号相空间并提取相似序列重复度(RPT)特征参数，利用清浊音RPT参数的差异提出并实现了一种采用BP神经网络进行非线性清浊音判决的方法，得到了明显优于传统算法的结果本文方法为语音

和识别研究提供叻新的途径。

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