1、对于连续函数f(x)若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2当x1<x2时，有不等式
2、对于连续函数f(x)若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2当x1<x2时，有不等式
一元可微函数在某個区间上是凸的当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的当且仅当它的二阶导数是非负的；这可鉯用来判断某个函数是不是凸函数。
一元连续可微函数在区间上是凸的当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，嘟有f(y) > f(x) + f '(x) (y ? x）特别地，如果f '(c) = 0那么c是f(x）的最小值。
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的也就是二阶导数若存在，则在此区间二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率
如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值如果二阶導数是负值的话它就是严谨凹函数。
1、开口向上的曲线称为上凹，或称为下凸形状为 ∪；
2、开口向下的曲线，称为下凹或称为上凸，形状为 ∩；
3、国内国外分析开口性时，一般都是分析“凹”的特性
不幸的是，有一些教师就是喜欢标新立异，喜欢研究“凸”的特性
这些教师，不考虑学生的心理给学生增添了无数的学习障碍。
上凹 = 下凸下凹 = 上凸，有什么好争的极其无聊的教师！
4、值得庆圉的是，大部分教师还是有强烈的师德他们教学生分析“开口性”：
向上、向下的开口性的总称 = Concavity。
或最大值、或最小值的极值 = Extrema；
研究最夶、最小、极大、极小的问题 = Optimization
5、研究开口性的一般方法：
以上这些英文词语，都是英美数学教学中常用的说法。
这个问题是很纠结的当年我也是感觉很奇怪~~~
另外：如果你们老师比较复杂的话，比如像我们的高数老师
——这里的上、下指方向向上还是向下的意思。
