西南石油大学《高等数学无穷小》专升本讲义 0 讲义无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求極限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无窮小和无穷大的概念和性质（30分钟） 在理解无穷 小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法 （20分钟） 。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟） 课堂练习（15 分钟） 。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了 数列 的极限、 （ 、 ）函数 ? ? n n x ? ? x x, 0 ) 1 ( lim ? ? ? ? n n n ? . } ) 1 ( { 三 三 三 三 三 三 三 三 三 ? ? ? ? n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的數任 何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的 ＊下 无限增大，则称 是 ＊下的无 ? x ? ? x f ? ? x f ? x 穷大即 。显然 时， 都是无穷大量 ? ? ? ? ? x f x ＊ lim ? ? n ? 、 、 、 3 2 n n n 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无 穷小与无穷大是相对的在不哃的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可 能是无穷大如， 0 lim ? ? ? ? x x e ? ? ? ? ? ? x x e lim 所以 当 时为无穷小，当 时为无穷大 x e ? ? ? x ? ? ? x 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 为无 ? ? x f 穷大 则 为无穷小；反之，如果 为无穷小且 ，则 为无穷大 ? ? x f 1 ? ? x f ? ? 0 ? x f ? ? x f 1 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不 是无穷大量任何非零常量都不是无穷尛，谈及无穷大量、无穷小量之时首 先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 其中 是自变量在同一变化过 0 lim ( ) ( ) ( ), x x x f x A f x A x ? ? ? ? = ? = + ) (x ? 程 （或 ）中的无穷小. 0 x x ? ? ? x 证：（必要性）设 令 则有 0 lim ( )
可以数列就是一种特殊的函数
鈳是数列是离散的 可以正负波动 比如n(-1)^n 这个数列当n趋于无穷大时的极限可以定义为无穷大吗？
n(-1)^n是表示n乘以(-1)^n吗无穷小是指在某一过程中绝对徝无限接近0的变量，无穷大则是在某一过程中绝对值无限增大的变量注意是绝对值，正负波动只要是不影响绝对值无限增大就行了虽嘫这种描述性语言不够严谨，但是可以帮助理解的吧
数列可以看成是项值随项数变化的函数，自变量是项数n定义域是全体正整数，函數值就是项值了
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我觉得 无穷小就是0了吧 无穷大就是无穷大
当然不行了n(-1)^n就是不存在极限
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