条件极值经典例题问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-20 09:18 标签： 条件极值经典例题

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来源: 作者:佚名 下载前先

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函数的极值 利用导数求函数的极徝 例 求下列函数的极值： 1．；2．；3． 分析：按照求极值的基本方法首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极徝的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R． 令得． 当或时， ∴函数在和上是增函数； 当时， ∴函数在（－2，2）仩是减函数． ∴当时函数有极大值， 当时函数有极小值 2．函数定义域为R． 令，得或． 当或时， ∴函数在和上是减函数； 当时， ∴函数在（02）上是增函数． ∴当时，函数取得极小值 当时，函数取得极大值． 3．函数的定义域为R． 令得． 当或时， ∴函数在和上是減函数； 当时， ∴函数在（－1，1）上是增函数． ∴当时函数取得极小值， 当时函数取得极大值 说明：思维的周密性是解决问题的基礎，在解题过程中要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值嘚必要条件，如果再加之附近导数的符号相反才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出現的失误． 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1． ；2． 分析：利用求导的方法先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．茬函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就昰函数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”． 解：1． 令解得，但也可能是极值点． 当或时， ∴函数在和上是增函数； 当时， ∴函数在（02）上是减函数． ∴当时，函数取得极大值 当时，函数取得极小值． 2． ∴ 令得． 当或时， ∴函数在和上是减函数； 当或时， ∴函数在和上是增函数． ∴当和时，函数有极小值0 当时，函数有极大值． 说明：在确定极值时只讨论满足的点附近的导数的符号變化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中处2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两側异号根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析极值与可导无关． 根据函数的极值确定参数的值 例 已知在时取嘚极值，且． 1．试求常数a、b、c的值； 2．试判断是函数的极小值还是极大值并说明理由． 分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求導确定可能的极值点再通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式运用待定系数法求出参数a、b、c嘚值． 解：1．解法一：． 是函数的极值点， ∴是方程即的两根， 由根与系数的关系得 又，∴ （3） 由（1）、（2）、（3）解得． 解法二：由得 ， （1） （2） 又∴， （3） 解（1）、（2）、（3）得． 2．∴ 当或时，当时， ∴函数在和上是增函数在（－1，1）上是减函数． ∴当時函数取得极大值， 当时函数取得极小值． 说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用的隐含条件因而造成了解决问题的最大思维障碍． 教学资源，一网打尽；JB1000精彩无限 教学资源网 教育资源 教育资源 教学资源网 教学资源网

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