学习高等数学里的曲率，对以后的学习有什么帮助？比如学习微积分，有助于进一步学习概率论与数理统计。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-21 15:31 标签：

第七节 一、 弧微分 二、曲率及其計算公式 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 说明: 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例3. 求椭圆 三、 曲率圓与曲率半径 设曲线方程为 例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 内容小结 思考与练习 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第四章 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． ) ) 弧段弯曲程度 越大转角樾大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 ) 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为 解: 如图所示 , 可见: R 越小, 则K 越大 , 圆弧弯曲得越厉害 ; R 越大, 则K 越小 , 圆弧弯曲得越小 . 机动 目录 上页 下页 返回 結束 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 二阶可导, 设曲线弧 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 若曲线方程为 则 機动 目录 上页 下页 返回 结束 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 機动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l << R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 作缓和曲线, 且 l << R. 处的曲率. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 显然 在何处曲率最大? 解: 故曲率为 K 最夶 最小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 设 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值: 最大. 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 注意: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲線上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 且 求曲线上点M 处的 曲率半径 曲率半径公式为 机动 目录 上頁 下页 返回 结束 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超過 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. 例3 目录 上页 下页 返回 结束 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? 解: 则 利用 机动 目录 上页 下頁 返回 结束

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曲率是表示弯曲程度的曲率半徑是密切圆的半径，是曲率的导数 

也就是说，掌握了曲率就能更准确地画出函数的图形了，是吧

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