* 例16 ( L.P339例4 ) * 9.4 2.通量与散度 1.高斯公式例题高數 Green 公式 推广 Gauss 公式 高斯公式例题高数 通量与散度 * 一、高斯公式例题高数 定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成函数P(x，yz)、Q(x，yz)、R(x，yz)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 或 （1′） 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，yz)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式例题高数 * 证明:设 为XY型区域 , 则 * 所以 若?不是XY－型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个XY–型区域, 故上式仍成竝 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： * （2）关于Ω的边界曲面的正向： Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧 关于高斯公式例题高数的说明 : （1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法… * （3）高斯公式例题高数成立的条件： Σ光滑或分片光滑， P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 （4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封闭，所围区域Ω。 及易于计算 * 例1 用Gauss公式计算 其中?为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面z = 0,z = 3所围空间 思考 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? * 例2 利用Gauss 公式计算积分 其中?为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧. 所围區域为?, 则 * 利用重心公式, 注意 * 例3 计算 其中 （1） 的外侧； （2） 的内侧； 解 (1) (2) * 例4 计算 Σ为平面 x+y+z=1與三坐标面所围成的表面，取外侧 解 比用第二类曲面积分的方法简单得多。 * 例5 设? 为曲面 取上侧, 求 解 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 * 茬闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式 例6 设函数 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析 高斯公式例题高数 * 证 令 由高斯公式例题高數得 移项即得所证公式. * 二、通量与散度 引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 * 若?为方向向外的闭曲面, 当? > 0 时, 说明流入?的流体质量少于 当? < 0 时, 說明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过?的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有泉; 表明 ? 内有洞 ; 根据高斯公式唎题高数, 流量也可表为 ③ * 如果Σ是高斯公式例题高数(1)中闭区域的边界曲面的外侧那么高斯公式例题高数的右端可解释为单位时间内离开閉区域Ω的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Ω的同时，Ω内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充。所以高斯公式例题高数左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。 设Ω的体积为V，式（1）两端同除以V，有 上式左端表示Ω内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。 * 方向向外的任一闭曲面 , 记?所围域为?, 设?是包含点M 且 为了揭示场内任意点M处的特性, 在③式两边同除以? 的体积V, 并令? 以 任意方式缩小至点M 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值為正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. * 定义 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ?是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场A通过 有向曲面 ? 的通量(流量) 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度。 记作 * 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度絕对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场 例如, 匀速场 故它是无源场. 说明: 由引例可知, 散度是通量对
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X轴上方重积分值为正，下方为负
也就是說这道题是加上8拍嘛
8拍这一说话说我复习的时候没见过这名词
你帮我算一下这题的答案呢
不好意思，我已经快忘了一年前的事了
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我的意思是算出来那个补的平面究竟是负8拍还是正的？我主要是那个补的平面的符号不知道
那你帮我算一下这题的答案吧
那算z=0这个平面的时候前面需不需要加负号？
不要阿、算的时候再决定富豪
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