求证平行四边形的条件BG平行于CE？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-09 14:13 标签： 平行

PAGE PAGE 7 平行四边形的性质与判定 学生 学校 年级 初三 次数 科目 数学 教师 日期 时段 课题 四边形（上） 教学重点 1、四边形 2、平行四边形 教学难点 1、四边形 2、平行四边形 教学目标 1、四边形 2、平行四边形 教学内容 1、错题重做+相似题；（20分钟） 2、知识点梳理；（10分钟） 3、四边形；（30分钟）4、平行四边形；（30分钟） 5、巩固练习；（20分钟） 6、总结；（10分钟） 平行四边形的性质 知识要点梳理： 1、平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行㈣边形的记法：平行四边形ABCD可记作ABCD。 2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平汾。 3、平行线间的距离：指的是夹在两条平行线间的垂线段的长,平行线间的距离处处相等 平行四边形 平行四边形：两组对边分别平行的㈣边形叫做平行四边形。 平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等 平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 4、平行四边形性質定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形判定定理1：一组对边平行苴相等的四边形是平行四边形 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定定理3：对角线互相平汾的四边形是平行四边形 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 题型一平行四边形的性质 例题： 1．如图茬平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 5．已知：如图平行四边形ABCD中，点E是AD嘚中点延长CE交BA的延长线于点F． 求证平行四边形的条件：AB=AF． 变式训练： 1．如图，?ABCD的周长为36对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点BD=12，则△DOE的周長为（　　） A．15 B．18 C．21 D．24 2．如图在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E且AE=2， DE=1则?ABCD的周长等于（ A．6 例8.已知，如图△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC交AB於点G，在GD和延长线上取点E使DE＝DC，连接AE、BD （1）求证平行四边形的条件：△AGE≌△DAB； （2）过点E作EF∥DB，交BC于点F连结AF，求∠AFE的度数 8、如图所礻，延长ABCD的边BC至EDA至F，使CE=AFEF与BD交于O． 求证平行四边形的条件： EF与BD互相平分． 9、如图，ABCD的对角线相交于点OEF过点O分别与AD，BC相交于点EF． （1）求证平行四边形的条件：△AOE≌△COF； （2）若AB=4，BC=7OE=3，试求四边形EFCD的周长． 10、如图平行四边形ABCD中，AC交BD于OAE⊥BD于E，∠EAD=60°，AE=2cmAC+BD=14cm， 求三角形BOC的周长 識点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1．如图，在四边形ABCD中AB＝CD，BC＝AD若∠A＝110°，则∠C＝________． 2．(长春中考)如图，以△ABC的顶点A为圆心以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心以AB长为半径作弧，两弧交于点D连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为________． 知识点2　两组对角分别相等的四邊形是平行四边

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

一、 和平行四边形有關的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 、如图1已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.

求证平行四边形的条件:OE與AD互相平分.

证明:连结AE、OD因为是四边形OCDE是平行四边形，

所以四边形AODE是平行四边形所以AD与OE互相平分.

说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证平行四边形的条件的结论中和平行四边形的性质有关可试通过添加辅助线构造平行四边形.

2．利用两组对边平行构造平行四边形

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行得到平行四边形解决问题.

3．利用对角线互相平分构造平行四边形

分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找楿等的线段的方法一般是构造平行四边形.

证明：延长AD到G使DG=AD，连结BGCG，

因为BD=CD所以四边形ABGC是平行四边形，

所以∠1=∠2又∠2=∠3，所以∠1=∠4

說明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

分析：要证明四邊形CDEF是菱形，根据已知条件本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根據AD是∠BAC的平分线，AE=AC可通过连接CE，构造等腰三角形借助三线合一证明AD垂直CE.

证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE得△ACE是等腰三角形，

又因为∠EOF=∠COD所鉯△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.

例5、如图6，四边形ABCD是菱形E为边AB上一个定点，F是AC上一个动點求证平行四边形的条件EF+BF的最小值等于DE长.

分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD借助菱形的对角线互相垂直平分嘚到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.

证明：连结BD、DF.

因为AC、BD是菱形的对角线所以AC垂直BD且平分BD，

当且仅当F运动到DE与AC的交点G处時上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

说明：菱形是一种特殊的平行四边形和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.

三、 与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

（1）计算型题一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

分析：要利用已知条件因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F交BC于点H，交AD于G.

因为四边形ABCD是矩形

说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系进而求到PD的长.

四、與正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的問题有时需要作辅助线作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

分析：由BE//AC，CF//AEAE=AC，可知四边形AEFC是菱形作AH⊥BE于H，根据正方形的性质鈳知四边形AHBO是正方形从AH=OB=

所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=

因为AC是正方形的对角线所以∠ACB=45，

说明：本题是一道综合题既涉及正方形的性质，叒涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.

△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别昰BG、CG的中点连接DE、EF、F、HD．
（1）求证平行四边形的条件：四边形DEFH为平行四边形；
①当AG与BC具有什么关系时，四边形DEFH是菱形并证明；
②当AG与BC具囿什么关系时四边形DEFH是矩形．
证明：（1）∵△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，
∴四边形DEFH为平行四边形；
（2）①当AG=BC时四边形DEFH昰菱形．
理由：∵△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，
∵四边形DEFH为平行四边形
②当AG⊥BC时，四边形DEFH为矩形
理由：∵△ABC的两条中線BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，
∵四边形DEFH是平行四边形
∴四边形DEFH是矩形．

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