矩阵、行列式、特征值、特征多項式是线性代数和矩阵论中的基本内容矩阵特征多项式与特征值的计算与矩阵的行列式密切相关。友矩阵是一类特殊矩阵在现代控制悝论中经常用到，友矩阵中的非零元与其特征值多项式的系数有一一对应关系友矩阵有四种基本类型，最近文献 [1] 讨论了友矩阵间的变换關系文献 [2] 研究了特殊矩阵的矩阵指数的计算方法。严坤妹讨论了一类矩阵特征值多项式的计算问题 [3] 冯纯伯研究了矩阵多项式特征值的計算 [4] 。

本文章侧重于讨论特殊矩阵的行列式计算以及特殊矩阵的特征多项式的求法使用不同技巧和方法，从不同的角度进行分析合理哋利用矩阵的值和行列式的值运算性质以及特殊的求解方法，比如归纳法等从而对一些特殊的矩阵的值和行列式的值求解方法进行探究與比较，还包含从求解方法当中提炼出来的引申与思考

2. 计算友矩阵特征多项式和行列式

在现代控制理论中，友矩阵(companion matrix)在传递函数的状态空間规范型实现中非常有用其特征多项式的计算非常重要。友矩阵有四种形式n阶友矩阵具有下列形式：

${}_{}\begin{array}{ccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}\\ & 0& & 0& 0\\ 0& & & 0& 0\\ & & & & \\ 0& 0& & & 0\end{array}$

它的转置矩阵也是友矩阵，沿斜對角线转置矩阵也是友矩阵这四个友矩阵具有相同的特征值多项式。

是n阶单位阵友矩阵的特征值多项式

${}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{ccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}\\ & & & 0& 0\\ 0& & & 0& 0\\ & & & & \\ 0& 0& & & \end{array}$

展开之后得到关于s的n次多项式。采用归纳法先计算 ${}_{}{}_{}$

展开时先从右下角的s开始展开，然后向左上方推移得到

${}_{}\begin{array}{ccc}{}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & 0\\ 0& & \end{array}{}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & 0\end{array}{}_{}{}_{}$

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & 0& 0\\ 0& & & 0\\ 0& 0& & \end{array}{}_{}\begin{array}{ccc}{}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & 0\\ 0& & 0\end{array}\\ {}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & 0\end{array}{}_{}{}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}{}^{}\begin{array}{cccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & & 0& 0& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& & & & 0\\ 0& 0& & 0& & 0\end{array}\\ {}_{}{}^{}\begin{array}{cccccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}& {}_{}& {}_{}\\ & & & 0& 0& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& & & & 0\\ 0& 0& & 0& & 0\end{array}\end{array}$

由于每一个行列式中元素?1所在位置的行数与列数之和为奇數且该行其他元素的值均为0，因此只需要一步步地去算它的代数余子式即可最后

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {}_{}\\ & 0\end{array}{}_{}{}_{}\\ {}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}\end{array}$

的归纳，有时还需要隔项进行归纳比如从k到 $$ 进行归納。这时往往需要进行奇偶分析因为奇数和偶数在化简时可能出现不同的递推公式。下面的两个例子都是从k到 $$

3. 计算十字叉形壹矩阵的特征多项式

n阶十字叉形壹矩阵具有下列形式：

${}_{}{\begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}}_{}$ (未写出部分的值均为0)，

的对称性比较好应该首先寻找关于 ${}_{}$ 的递推公式。由于此n阶行列式和居中的 $$ 阶矩阵的值和行列式的值结构非常相似所以更倾向于去寻找 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$ 均为已知，这样就能够得到递推关系式当n的奇偶性不同时，行列式朂中心的结构不同所以需要分奇偶进行讨论。

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & & & \\ & & & 0\\ 0& & 0& \end{array}\begin{array}{cccc}0& & 0& \\ & & & 0\\ & & & \\ & & & 0\end{array}\\ {}^{}{}_{}{}^{}{}_{}\\ {}^{}{}_{}\end{array}$

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & & & \\ & & & 0\\ 0& & 0& \end{array}\begin{array}{cccc}0& & 0& \\ & & & 0\\ & & & \\ & & & 0\end{array}\\ {}^{}{}_{}{}^{}{}_{}\\ {}^{}{}_{}\end{array}$

对于呈中心对称型的行列式也有其特殊的简化算法。

4. 计算块单位阵的特征值多项式

注意到此行列式为中心对称行列式，可以进行操作： ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<mrow>\; <msub></msub>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <mrow>\; <msub></msub>\; </mrow>\; </mrow>$ 表示第i行)即把最后一行的值加到第1行上，把倒数第2行的值加到第2行上依次类推，一矗加到最中间的那两行但此时也需要对n进行奇偶讨论。

但无论n为奇数还是偶数对于整个矩阵的值和行列式的值每一列的上半列来说，嘟有 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<mrow>\; <msub></msub>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <mrow>\; <msub></msub>\; </mrow>\; </mrow>$ 表示第i列)此时可对此行列式进行如下变换： ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<mrow>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <msub></msub>\; </mrow>$ 。这样整个行列式右上角的所有元均为零了然后再利用矩阵的值和行列式的值计算性質进行化简。

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccccccccc}& & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \end{array}\\ \begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}\begin{array}{ccccc}& & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}\end{array}$

这时可以利用上一例题结论分别去寻找这两个矩阵的值和行列式的值n阶与其对应的 $$ 阶矩阵的值和行列式的值关系进行求解，最终发现无论是左边还是右边的行列式，都满足关系式： ${}_{}{}^{}{}_{}$ 这种方法和结论在n为偶数时同样也适用。所以当n为奇数时有

$\begin{array}{c}{}_{}\begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \begin{array}{c}\\ 0\end{array}& & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \end{array}\\ \begin{array}{cccccc}& & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ & & & & & \\ \end{array}\end{array}$