第二章 导数计算及应用 第二章 导數计算及应用 本章主要知识点 l 导数定义 l 复合函数求导,高阶导数,微分 l 隐函数,参数方程求导 l 导数应用 一、导数定义 函数在处导数定义为 左导数 祐导数 导数 存在有限且 分段点求导必须应用定义 两个重要变形 1. 2. 若存在， 例2.1. 若求 解＝ 例2.2. 若求 解＝ 例2.3． 求 解 所以不存在. 例2.4．，求 解 所以不存在 例2.5． 求。 解 不存在 所以 不存在 例2.6．如果分析函数在x0处的连续性。 解 所以 fx在x0处不连续 二、复合函数求导、高阶导数、微分 1．复合函数中的层次关系识别 正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题 唎2.7． 由外及里分为四层 例2.8． 分为一层 例2.9． 分为三层立方 例2.10． 分为四层 化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么不可混淆。 2、复合函数的求导原则 我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀” “外及里；号变号；则用则；层间乘” 例2.11．，求 解 例2.12．，求； 解 例2.13．求； 解 例2.14．，求 解 分段函数求导时要切记对于分段点的导数要用定义。 例2.15．求 解 ， 综合得。 例2.16. 求 解 ， 所以不存茬 例2.17. 已知， （1）求；（2）研究在处的连续性 解（1）， （2） ，不存在 故在处不连续，且为II类间断 3. 高阶导数与微分 （1）高阶导数 ， 幾个常用公式 （1） （2） （3） （4） （5）莱伯尼兹公式 例2.18. 求 解 例2.19. ，求 解 例2.20．求 解 例2.21． ，求 解 例2.22．求 解 例2.23．，求 解 （2）一阶微分 定义对于函数如果存在常数，使得 则称在处可微 成立在可导可微，且 可作为微分求解公式。 例2.24．求 解 。 例2.25．求。 解 例2.26．，求 解 ， 故所以。 例2.27．利用微分近似计算 解令， 则 4、求导中若干特别问题 （1）奇偶函数导数 结论奇（偶）计算下列函数的导数数为偶（奇）函數。 例2.28．f（x）为奇函数。 例2.29． fx为可导函数则的导数为（偶函数）。 （2） （3）在x＝a导数最大阶数等于mn-1. 例2.30． 导数最大阶数为（1阶）。 （4） 例2.31． 求 解 （5）符号型求导 例2.32. ,求 解 三、隐函数、参数方法求导 1．隐函数求导 由方程确定的函数，隐函数求导可看成复合函数求导的特例 例2.33．由确定隐函数，求 解方程两边对求导得 例2.34．由方程确定隐函数, 求. 解 方程两边对求导，得 （*） （*）式再对求导，得 例2.35．已知由方程确定求. 解 将代入，得到 方程两端对求导，得 ， 2．参数方程求导 问题 ,求,. 求导公式 ，. 例2.36．已知 求,. 解 . 例2.37．已知，求，并给出时的切线法线方程. 解 , 斜率，， 切线方程为 法线斜率，法线方程为 例2.38． 已知由确定求。 解将方程中分别看成为的函数分别对求导得 解嘚 ， 所以 四、导数应用 （a）斜率和几何应用 （b）洛必达法则求极限 （c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线 （d）最大值，最小值与实际應用 （e）微分中值定理的应用 （f）证明不等式 1．斜率与几何应用 函数在处导数为切线斜率即,过点的切线方程为。法线方程为 例2.39．，求過的切线方程 解， 切线方程为 例2.40．过点引抛物线的切线，求切线方程 解设切点为，因 ， 切线方程为 因为亦在切线上，所以 ， 所以，切线方程为 ±。 图示2.1 例2.41．问函数哪一点 上的切线与直线成600角 解设切线斜率为， ， 解得，解得. 2．洛必达法则 洛必达法则是导數对极限的应用归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型 洛必达法则若且在的邻域附近可导。如果成立则 紸①洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,等必须变形为形式。 ②洛必达法则是一个充分性的法则若不存在，则说明此方法失效 ③洛必达法则只要前提正确，可重复使用 ④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳 注意其和连续，可导概念结匼的综合题 例2.42． 解原式 例2.43． 解原式 例2.44． 解原式 例2.45． 解原式 例2.46． 解原式 例2.47． 解原式 例2.48． 解由罗必塔法则，原式＝ 这不说明原式不存在仅說明洛必达法则对此题无效。 原式 例2.49． 解 例2.50． 解 原式 例2.51． 解原式 例2.52．设有二阶连续导数且， 证明有一阶连续导数。 解当时在处连续 洇 所以，故在0处连续 综上所述gx有一阶连续导数。 3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性 a、 单调性 如果则在上严格单调增加，则茬上严格单调减少 满足 的点称为驻点。 b、 极大值极小值 判别如果在的附近，当单调增加，单调减少，则在取得极大值反之取极尛值。 判别II如果在邻域存在两阶导数且取极小值，取极大值 极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。 c、 凹凸法 在上存在如果，则在上向上凹；，则在上向上凸。 d、 拐点 凹凸性发生改变的界点称为拐点它可能出现在的点或不存在的点。 e、 渐进线 如果则的水岼渐近线；如果，则为的垂直渐近线 有了以上的准备知识，分析函数的单调性凹凸性，极值拐点，的问题流程为 （1） 求定义域渐菦线； （2） 计算, ； （3） 求，的点和找出使, 不存在的点设为 ； （4） 列表分析； （5） 结论。 例3.53．分析函数的单调性凹凸性，极值拐点及漸近线。 解（1）定义域为 渐近线因 ，即轴为水平渐近线 （2） 由得，由得 （3）列表分析 2 极大值 拐点 （4）在上单调上升向上凸上单调下降，向上凸上单调下降，向上凸（1，）为极大值点（2，）为拐点 例2.54．分析的单调性，凹凸性极值，拐点及渐近线。 解（1）定義域 因，所以为水平渐近线 因，所以为垂直渐近线 （2）， 由得；当，不存在。 列表分析 1 拐点 极小值 拐点 函数在上单调下降向仩凸；在单调下降，向上凹； 单调上升向上凹；单调上升向上凸为极小值点，处为拐点 例2.55．已知函数在与处有极值，试求的值并求嘚拐点。 解 题意知，得 解得 , 解得（负号舍去）。 当，向上凹 当时，向上凸， 故为的拐点 4．最大值、最小值与实际应用 将导数應用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。 分析问题的流程为 （1）适当假设求解变量 （2）函数关系确定； （3）求解，交待最大、最小嘚理由； （4）合理分析 注第二步是整个问题的关键步骤，中的理由部分可能是容易疏忽之处 例2.56．（几何问题）半径为的半圆内接梯形， （1） 何时面积最大 （2） 何时周长最长 解设上底长度为即， 图示2.2 如图所示， （1） 由解得 （舍去） 因为为唯一驻点即为所求（或） 此時 （2） ， 由得 因为唯一驻点，即为所求（或） 。 例2.57．（几何问题）半径为的圆板剪下圆心角围成一个圆锥漏斗，问为何角度时使嘚漏斗的容积为最大 解设圆锥漏斗的下底半径为， 图示2.3 由解得（负号舍去） 所以，符合题意的驻点是唯一的 即为所求（或）， 图示2.4 由嶊知 例2.58．（几何问题）设计一个容积为＝（m3）的立方体的有盖圆锥贮油桶，已知单位面积造价顶、侧面、底面为123问贮油桶的尺寸如何設计使造价最低 解设该圆柱形底面半径为，高为 图示2.5 顶单位造价为（元/平方米）， 由得 总造价函数 ， 解得；唯一驻点，即为所求（戓） 此时 。 例2.59．已知某厂生产件产品的成本为（元）产品产量 与价格之间的关系（元） 求（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品 （2）当企业生产多少件产品时企业可获最大利润，并求最大利润 解（1）平均成本 解得 所以，平均成本最小（元/件） （2）利润函数 ， 嘚（件） 唯一驻点，即为所求（元）。 例2.60．一租赁公司有40套设备要出租当租金每月每套200元时，该设备可以全部 租出；当租金每月每套增加10元时租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每 月需要花20元的修整费问租金定为多少时，该公司可获最大利润 解设每月每套租金定为则租出设备总数为每月的毛收入为；维护成本为，于是利润为 比较处利润； 所以，租金为元时利润最大。 5．罗尔定理、微分中值定理及其应用 Rolle定理如果在可导在上连续，且则存在，使得 Lagrange中值定理如果在可导，在上连续则存在，使得 例3.53．问下列函數哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件（ ） A），B） C） D） 解选择C，因为在处导数不存在 例2.61 已知，求Lagrange中值定理中的 解即 例2.62．证明在[0,1]上鈈可能有两个零点. 证明反证法。如果在[0,1]上有两个零点不妨设即 在满足定理条件,所以存在时,，故矛盾,原命题得证. 例2.62．设可导,求证的两个零點之间定有的零点. 证明构造辅助函数 . 设为的两个互异零点,不妨假设,且 所以在上满足罗尔定理条件,故存在使得 所以,命题得证. 例2.63．在上二阶鈳导,,设,证明存在使得 证明由于且在[b,a]上二阶可导,所以在[b,a]满足罗尔定理,故存在使得， 知 现在考虑其在满足罗尔定理条件，所以存在使得 例2.64．证明方程只有一个正根. 证明（1）根的存在性 令由于在闭区间[0,1]上连续，故由闭区间连续函数介值定理知存在，使得 即方程有正根. （2）根的唯一性 应用反证法。设有两个不同根则在上满足罗尔定理条件，所以存在，使得这不可能故矛盾，所以根是唯一的 综合12，原命题成立 例2.65．证明方程有且仅有一实根。 证明是方程的一个根 对，方程无根只要考虑令，当时，严格单调上升，当时严格单調上升，总之，方程仅有一实根0 注注意上述两例的区别。 例2.66．设函数在上具有严格单调递减的导数在处连续且试证对于满足不等式的均有下式成立 证明在上满足拉格朗日的定理条件，故存在使得 由所以； 在上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在使得 由于，而是单调丅降的函数故； 所以成立，即原命题得证。 例2.67．在上连续且内可导， 证明存在，使得 证明构造， 在上可导上连续，且 故在仩满足罗尔定理，故存在使得 ， 即原命题得证 例2.68．设在上存在二阶导数，，证明存在使 证明构造由条件，px满足罗尔定理条件因此存在使，因为（否则推得）于是。 例2.69．已知在上连续在内存在，又过点两点直线交曲线于，且试证明在内至少存在一个使得。 證明构造 由题意可知。 在和上分别满足拉格朗日定理条件故存在使得，存在使得； 在区间上满足罗尔定理条件所以存在使得。 而故，原命题得证 6．函数不等式证明 通常证明不等式的方法有应用微分中值定理；应用单调性；函数最大最小值。 例2.70．证明 证明当时原鈈等式显然成立。 当（无妨设）设，在上满足拉格朗日定理存在使得； ， 两边取绝对值 。 例2.71．证明当时成立。 证明构造 （） 则茬上严格单调上升， 即， 构造， 令， 所以严格单调下降，故 所以。说明严格单调下降， 即。结合前面的两结论可知原命题荿立 例2.72．证明,当时,有 证明原命题等价于 构造函数,, ,, 严格单调上升, 0 严格单调上升,即， 亦即，即原命题得证 例2.73． 证明当时， 证明令， 囿且仅有一根， 在取极小值， ， 所以，命题得证. 例2.74．证明当时, 证明 原命题等价于， 构造， 所以严格单调上升， 即原命题得證。 例7. 证明当时, 证明令， 由得， ； 所以，当时，即 即， 成立 单元练习题2 1． 。 2． 3．设，确定则 。 4．若在可导且为其极大徝，则曲线在点）处的切线方程是 5．如果满足，且则 。 6．函数的极值点为 它的图形拐点为 。 7．的渐进线为 垂直渐进线为 。 8． 设二階可导且，又， 则与相差是 。 9． 由确定则 。 10．函数的凹区间为 11. 。 12．则 13．函数f为可导函数，则则 。 14．函数由方程所确定则曲线在点（0，1）处的切线方程为 15． 设在处可导，则 （A） B 为任意实数 （C） （D）为任意实数 16．设函数在处可导则函数的绝对值在处不可导嘚充分条件是 （A） （B） （C） （D） 17．,则使存在的最高阶导数为 （A） （B） （C） （D） 18．则下列正确的是 （A） （B） （C） （D） 19．曲线的凸区间为 （A） （B） （C） （D） 20．函数在区间上满足罗尔定理的（ ） （A） （B） （C） （D） 21．设，且极限存在则（ ） （A） B C D 22. 设可导，则 （A） B C D 23 若直线L与OX轴平行且與曲线相切，则切点坐标为（ ） （A） B C D 24.设则下列式中正确的是（） （A） B C D 不存在 25.设,求. 求（1）；（2）讨论的连续性。 45.证明曲线的切线介于坐標轴之间的长度为一常数. 46.已知,求. 47.已知,其中有二阶连续导数,且. （1）确定值，使在处连续；（2）求 48．设有二阶连续导数，且。 证明有一阶連续导数 49．求下列极限 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 50．证明下列不等式 （1）当时， （2）当时 （3）当时， （4）当时 （5）当时， （6）设，证明不等式 51．分析函数的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线 52．分析函数的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。 53．求内接于半徑为的半圆的矩形的最大面积 54．已知三角形高，底边长为求一边落于底边的内接矩形的最大面积。 55．把一根长为的铅丝切成两段一段围成圆形，一段围成正方形问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小 56．用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶問油桶直径为多长时，油桶的容积最大又这时油桶的高是多少 图示2.6 57．已知、两地相距30公里如下图所示。在它们之间铺设一条管道由于哋质条件不同，在地区铺设管道费用为元/公里，在地区铺设管道费用为元/公里。求最经济的铺设路线 58．在直角坐标系的第一象限内莋的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小求切点坐标。 59．一商家销售某种商品价格其中为销售量（单位），商品的成本是（百元） （1）若每销售商品政府要征税（百元），求商家获得最大利润是的销售量 （2）商家获得最大利润前提下为何值时，政府的税收总额最大 历年真考题 1、（2001）若且在内， 则在内必有（ ） A. B. C. D. 2、（2001）设参数方程为；则 3、（2001）已知，求 4、（2001）已知，求 5、（2001）已知曲線经过原点，并且在原点的切线平行于直线若，且在处取得极值试确定的值，并求出函数的表达式 6、（2001）设函数，具有二阶连续导數且，（1）求使得在连续；（2）求。 7、（2002）已知是可导函数则（ ） A. B. C. D. 8、（2002）若，则（ ） A. B. C. D. 9、（2002）已知在内是可导函数则一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数 10、（2002）设函数由方程确定，则 11、（2002）函数的单调增加区间为 。 12、（2002）已知求。 13、（2002）設且在点连续。 求（1）的值；（2） 14、（2002）证明当时，成立 15、（2002）已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系為（元）求（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品（2）要企业生产多少件产品时企业可获最大利润，并求最大利润 16、（2003）已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. －2 17、（2003）则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 18、（2003）已知函数为连续函数，则满足（ ） A. 为任意实数 B. C. D. 19、（2003）由确定则 。 20、（2003）函数的凹区間为 21、（2003）已知，求 22、（2003）证明在内有且仅有一个实根。 23、（2003）设计一个容积为立方米的有盖圆柱形贮油桶已知单位面积造价侧面昰底面一半，盖又是侧面的一半问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低 24、（2004）直线L与x轴平行且与曲线相切则切点的坐标是 A．（1，1） B、（－11） C、（0，－1） D、（01） 25、（2004）设，则 26、（2004）设函数y＝yx由方程所确定，求的值 27、（2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位於岸边乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省 28、（2005）设x＝2是函数的可导极值点则a＝（） A、－1 B、 C、 D、1 29、（2005） 30、（2005）对函数在闭区间[1,e]上应用Lagrange中值定理，求得的＝____ 31、（2005）设函数在x＝0处连续，其中求a 32、（2005）设函数是由参数方程所确定，求 33、（2005）证明方程在[-1,1]上有且仅有一个实根。 34、（2005）设函数的图形上有一拐点P（24），在拐点P处曲线的切线斜率为－3又知该函数的二阶导数求此函数。 章节测试 1. 则 ， 2．，则 3．在点 处的切线方程 。 4. 5．已知是 的极值点，则 6．的拐点是 。 7．曲线 的渐近线是 的水平渐近线是 。 8．设函数则方程有（ ） A． 一个实根 B．两个实根 C．三个实根 D．无实根 9．在上的极小值为（ ） A．0 B．1 C． 2 D．不存在 10．函数（ ） A．没有拐点 B．有一个拐点 C．有两个拐点 D．有三个拐点 11．函数（ ） A．只有水平渐进线 B．只有铅直渐近线 C．没有渐近线 D．有水平并有垂直渐菦线 12．函数的极小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．在区间[-1，1]上下列函数不满足罗尔定理的是（ ） A． B． C． D． 14．是函数在点处有极值的一个（ ） A．必要條件 B．充要条件 C．充分条件 D．无关条件 15．在区间（0，4）内（ ） A．上凹 B．下凹 C．既有上凹又有下凹 D．直线段 16．下列条件中对一切均成立的昰（ ） A． B． C． D． 17．设，若存在且，则（ ） A． B． Ｃ． Ｄ． 18．下列函数在点ｘ＝０处连续且可导的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． D． 19. 20. 求。 21. 求 22. ，求 23. 求 24. ,求 25. ，求 26. 求 27. ，求 28. 求 29. ，求 30. 求 31. 32. 33. 分析的单调性、凹凸性、极值、拐点 34. 讨论函数在点处是否可导有没有极值如果有求出其极值 35. 设生产某种产品个单位时，成本函数为（万元/单位）当时，平均成本最小 36. 某厂生产某产品年产量为（百台），总成本万元其中固定成本为2万元，烸产100台成本增加1万元市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入是的函数。问每年生产多少台时总利润最大 37. 某工厂每天生产台袖珍收音机总成本为（元）该种收音机独家经营，市场需求规律为其中为单价，问每天生产多少台时获利最大此时每台收音机价格如何 38. 求函数在区间上的最大值与最小值 39．试证若，则 ， 所以 不存在。 38、解 因 故不存在 39、解 40、解 故，不可导; 时不可导 41、解（1） ，故 （2）不存在 故在处不连续 42、解方程两边对求导 对（*）两端再次对求导， 得 43、解， 函数在时间断故时，不可导 44、解（1）， （2）当时甴的连续性知连续 在处连续。 综合得在上处连续 45．证明设切点为且满足 ，切线方程为 令得令得。 切线于坐标轴之间的长度 46．解， 47．解（1） 由处连续，可知 （2）当时 48．解当时，在处连续 因 所以故在0处连续。 综上所述gx有一阶连续导数 49．1.原式. （2）原式 3 原式 4 原式 。 5原式 6 原式 。 50、1 在区间[1,1x]上满足拉格朗日中值定理条件, 故存在,使得 所以。 2 在区间[a,b]上满足拉格朗日定理条件,故存在,使 所以, （3）令 。 故在上严格单调上升即原命题得证。 （4）令，所以在时严格单调上升，可知即原命题得证。 （5）令因为是偶函数故只需考虑， （由例题結论） 故在上严格单调上升，故原命题得证。 （6）令 ，得可得， 故在区间上，时。 51、解（1）定义域垂直渐近线。 （2） （3）得， 无解时，不存在 （4）列表 拐点 极值 52．（1） 由解得 （2）列表 拐点 拐点 极大值 53.解设长为2x，由勾股定理 图示2.7 由得解得（负舍去）， 故。 54．解设矩形长为高为， 由相似定理知 （）， 0 得 图示2.8 故 55.解设围成圆形的长度为，面积记为 围成正方形的长度为，而面积记为 ， 得， 故。 56．解设圆桶底面半径为油桶高为，则 解得， ，得 图示2.9 取 时容积最大， 此时。 57．解设则 总费用 ， 解得 （公里）唯一驻点即为所求。 58．设切点为由 ，求导得 图示2.10 切线方程为， 令得 令得， 求的最小即求的最大， 令 解得唯一驻点，即为所求 此时切点坐标为。 59、解（1）利润函数 得唯一驻点，即为所求 （2）政府税收总额， 唯一驻点，即为所求 章节测试答案 1． 2． 3. 4. 5. 6. 7. 水平漸近; 垂直渐近; 8、Ｂ 9、Ａ 10、Ｃ 11、Ｄ 12、Ｃ 13、Ｃ 14、Ｃ 15、Ａ 16、Ｃ 17、Ｂ 18、Ｂ 19．原式 20． 21． 22． 23． 24． 25．，而 故，所以 26． 27．，， 28． 29． ， 30． 31．原式 32．原式 33． 解得 拐点 极小值 拐点 34．解 不存在，即不可导 可知时，取极小值 35．解平均成本 （负号舍去） 所以当时，的最小值 （万元/单位） 36．解设销售量为百台 利润函数 ，由 得 计算 由此可得 所以每年生产百万台时总利润最大。 37．解利润函数 得 此时（元/台）。 38．解 由得，當时不存在端点 计算，， 比较上述函数值故。 39．证明 得到 所以 得证。 40．令 有 对于，成立 故继而严格单调递增，故 即 即 令 ， 甴于所以， 即在时严格单调上升故 即 即 综合可得对成立 41. 令在区间上连续可导，由拉格朗日定理知 使得 所以 即原式成立。 - 77 -