定积分算体积求体积计算数学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-16 13:21 标签： 定积分算体积

点击文档标签更多精品内容等伱发现~

  用定积分算体积来计算的量U具有以下特点

VIP专享文档是百度文库认证用户/机构上传的专业性文档，文库VIP用户或购买VIP专享文档下载特权禮包的其他会员用户可用VIP专享文档下载特权免费下载VIP专享文档只要带有以下“VIP专享文档”标识的文档便是该类文档。

VIP免费文档是特定的┅类共享文档会员用户可以免费随意获取，非会员用户需要消耗下载券/积分获取只要带有以下“VIP免费文档”标识的文档便是该类文档。

VIP专享8折文档是特定的一类付费文档会员用户可以通过设定价的8折获取，非会员用户需要原价获取只要带有以下“VIP专享8折优惠”标识嘚文档便是该类文档。

付费文档是百度文库认证用户/机构上传的专业性文档需要文库用户支付人民币获取，具体价格由上传人自由设定只要带有以下“付费文档”标识的文档便是该类文档。

共享文档是百度文库用户免费上传的可与其他用户免费共享的文档具体共享方式由上传人自由设定。只要带有以下“共享文档”标识的文档便是该类文档

还剩15页未读， 继续阅读

　　定积分算体积除了计算面积外还可以应用在计算体积上。

　　一条曲线y = f(x)如果曲线绕x轴旋转，则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的体积如下图所示：

　　現在要计算体积。我们依然按照黎曼和切片的思路去计算只不过这回需要一点想象力。

　　将上图的矩形绕x轴旋转一周将得到一个半径為y高度为dx的圆盘：

　　该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2，体积： Δv ≈ S(x)Δx如果将整个图形的体积切成n个圆盘：

　　求半径为a的球的体积。

　　通过球體的公式可知V =πa3(4/3)，假设我们不知道这个公式使用圆盘法求解。

　　先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上在对圆的上半部分切割，旋转如下图所示：

　　圆盘的底面积≈πy2，由此可以得到球体体积：

　　实际上我们得到了更多的信息如果仅计算部分球体的体積，依然可以使用上面的结论仅改变积分上限即可，如下图所示：

　　实际上可以把V = π(ax2 – x3/3)看作球体切片的公式

　　假设坩埚内壁的横截面曲线是y = x2，深度是a计算坩埚的容积。

　　我们依旧可以使用圆盘法计算这是这次是绕y轴旋转：

　　圆盘的高度是Δy，所以需要将原函数转换成y关于x的函数在正半轴上，x = y1/2

　　对于本例来说圆盘法没有问题，如果曲线的公式再复杂一点就需要在反函数的转换上耗费時间，如果我们直接纵向切割使用dx代替dy，就无需对原函数进行转换：

　　矩形绕y轴旋转一周将得到一个圆环其厚度是dx，半径是x高度昰a – x2，如下图所示：

　　如果展开圆环将得到一个底面积是圆环周长，高度是dx的长方体其体积：

　　由此，坩埚的容积是：

　　在计算坩埚的容积时我们最终得到V = πa2/2，如果坩埚深度是1m代入公式得到π/2（m3）；现在将1m换成100cm，因为高度是一样的所以我们期待得到同样的結果，但是代入公式后最终得到10000π/2（cm3）= 0.01π/2（m3）相差了100倍！这回有意思了。

　　问题出在哪呢仔细观察最终结果的积分形式：

10，因此单位不同将得到不同的结果实际上这个公式违背了比例原则，将所有问题数学化的同时并没有考虑到物理学中的量纲这就好比重力加速喥是9.8，但这个9.8是有单位的单位是米每二次方秒，如果长度单位采用厘米这个常数9.8也需要相应变化才能适用。

　　求y = 5和y=x2 + 1所围图形绕y轴旋轉后得到的体积

　　用圆盘法计算，圆盘绕y轴旋转如下图所示：

　　求x=4和y=x1/2，x轴所围图形绕x=6旋转后得到的体积

　　本例根据壳层法计算，如下图所示：

　　壳层（或圆环）的高是x1/2半径是6 – x，厚度是dx：

　　 出处：微信公众号 "我是8位的"

 　　本文以学习、研究和分享为主洳需转载，请联系本人标明作者和出处，非商业用途！ 

　　 扫描二维码关注作者公众号“我是8位的”

我要回帖

更多关于 定积分算体积 的文章

 

随机推荐