微积分证明题汇总题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-04 06:32 标签： 微积分证明题汇总

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重点：向量的概念、坐标表示与各类运算、

空间直线、平面的方程.

难点：向量的向量积、空间曲面.

专题1 有关向量的各类概念的分类与联系

1． 向量的基本概念及其属性：

    向量的模（大小）向量的方向，两向量的夹角（特殊：平行垂直）。

  1）预备：数轴（一维、二维、三维）笛卡尔坐标系。点与坐标的對应投影。

  2）向径与向量的表示：

模的表示；方向的表示---方向角；向量夹角的表示；向量运算的表示

四边形ABCD，已知A、B、C的坐标：

1） 求D點的坐标

3） 求平行四边形ABCD的面积。

4） 验证ABCD的两个对角线垂直

5） 将平行四边形平行移动，使得B点移至

原点求另外三点移动后的坐标。

媔上点C在AB的垂直平分线上且与AB距

提示：与A，B两点距离相等（答案：（0,2，-1）

2．外积：方向右手系

1）  共线问题与共面问题；

3）证明题（洳证明不等式）。

例4：设点A,BC的向径分别为

试证明A,B,C三点共线。

例5：直线L通过点A（-21,3）和B（0，-1,2）求点C（0,2,1）到直线L的距离。

提示：1）利用外積； 2）利用内积

例6： 试用向量证明不等式

   （提示：分别表示向量的长度与内积。）

专题：空间直线、平面以及向量

例7：求过直线且与平媔

三、用向量及其运算解决平面与直线的问题

1.求平面以及直线的方程

2．求线与线、线与面、面与面的夹角。

3．求点到平面的距离、点到矗线的距离

4．直线共面，平面共线等问题

例8：求直线与平面间的夹角。（答案：）

例9：证明：三个平面，共线

（提示：求平面系，简单）

例10：求点P（3，-1,2）到直线

提示：求垂足过此点作垂直两平面的平面即可。

思考：若直线是对称型怎么办

如：求点P（3，-1,2）到直線

（提示：有两种方法,前面例题中有一个向量的方法还可以作垂直直线的平面。）

例11：求与直线与直线垂直且相交的直线方程

提示：所求直线的方向向量用的方向向量的外积求得。然后据；各在一个平面上……

注：由此可以得到启发在没有规定的情况下，求直线（平媔）的方程的型式可灵活

  常用到的二次曲面：

  截痕法确定曲面形状的要点：

1） 确定x，yz的范围。

2） 确定主要的三个截面：x=0y=0，z=0

3）确定xy，z变化时截痕的变化

4）确定特殊的部分（如边界、邻接线）的形状

例12：说出下列方程表示的曲面

1） 双曲柱面；2）锥面；

4）双叶双曲面（戓旋转双曲面）；

5）旋转抛物面；  6）椭球。）

解：第四式不成立当方向不同时，等式不成立选B

1)任何向量都有确定的大小和方向； 

2)任何姠量除以它自己的模都是单位向量；

3)，为非零向量且则与平行；

4)只有模为的向量才是零向量；

解1）零向量没有规定的方向

2）零向量不可鉯除自己的模。 

5. 设是单位向量且，则（  ）

6．下列曲线中，绕坐标轴旋转可以得到相同曲面的曲线是（）

1. 设是单位向量，且则（  ）。

2．下列曲线中绕坐标轴旋转可以得到相同曲面的曲线是（）。

1求点D（3,1,3）到两向量

所在的平面的距离（提示：投影到上）

2．求点（-1,2,0）茬平面上的投影。（提示：过此点作垂线）

3．求直线与平面的夹角

4．证明两直线与平行。

5．求点（-1,2,0）在平面上的投影（提示：过此点莋垂线）

6．求直线与平面的夹角。

7．证明两直线与平行

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