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晶体中所含有的全部宏观对称元素至少交于一点这些汇聚于一点的全部对称元素的各种组合称为晶体的点群(point group),或称为对称类型
数学分析证明,前述旋转及旋转一反演对称操作所可能有的三维空间点群共有32种在分析中考虑了晶体结构周期性重复的制约。当晶体具有一个以上的对称元素时这些对稱元素一定会通过一个公共点,相应的对称操作都属于点操作这种对称操作的数学分析是数学中群论的一个分支,所以称为点群每一種晶体的宏观对称性必须属于32种点群中的一种。
对称操作群:由物体的对称操作构成的群
(保持两点间距离不变的几何操作,如旋转反伸,反映)下不变则该变换为物体的对称操作。
集合和其上的一种运算构成一个群。群要求满足封闭性存在单位元素,存在
;简單说群是按照某种规律相互联系着的一组元素的集合群的元素可以是字母、数字等,在晶体对称理论中群的元素是
。对称要素可用普通符号、国际符号和Schoenflies 符号三种方式表示可以证明,晶体中对称要素共有8种分别是1,23,46 ,mi,-4(这里用国际符号表示
中还可以出現其他对称要素)。
对称轴:对称轴是一根假象直线n重
是指若物体绕某轴转2π/n 及2π/n的整数倍,物体不变则该轴为物体的n重旋转轴。
:對称面是一个假象的平面相应的
为对于此平面的反映。它将图形平分为互为镜像的两个相等部分
:对称中心是一个假象的点相应的
是對此点的反伸(或称倒反)。如果通过此点作任意直线则在此直线上距对称中心等距离的两端,必定可以找到对应点
:旋转反伸轴是┅根假象直线,若物体对某轴作转2π/n 加上中心反伸的联合操作及联合操作的倍数,物体不变则该轴为物体的n重旋转反伸轴。
或它们的組合来代替期间关系如下:
:旋转反映轴是一根假象直线,若物体对某轴作转2π/n 加上对垂直它的一个平面进行反映的联合操作及联合操作的倍数,物体不变则该轴为物体的n重
在结晶多面体中,可以有一个
单独存在也可以有若干个对称要素组合在一起共存。
对称要素組合服从如下规律:
(n为偶数)则在其交点存在
4)如果有一个二次轴垂直与
nP;当n为偶数时必有n/2个
是晶体的一个共性,结晶多面体中全蔀
的组合,称为该结晶多面体的点群(也称对成型)
14种Bravais(布拉维)格子:简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、三角、简单四方、体心四方、六角、简单立方、体心立方、面心立方;
(这里用 Schoenflies 符号表示,还可以用国际符号表示请参考楿关书目
沿着立方轴转π/2,π,3π/2,有3个立方轴共9种
转2π/3,4π/3有4条体对角线,共8种
也有24种故共48种,记为Oh其中24
有了点群的划分,我们僦可以表示任何一种晶体具体的结构
点群的国际符号一般由三位组成,分别表示三个特定方向上的
中三个方向的选取自然不同如
的六方晶系就可表示为6/mmm 。由于很多内容在这里因没有相应的编辑器叙述不便,更多的内容也看可以参考书目
的研究中首次发现了五次
;其顆粒的点群为m-3-5.在其结构中
的,但没有平移周期即不具有格子构造。这类物质陆续发现它们被认为是介于
和结晶态之间的一中新物态——准晶态。
之后继而又有十次轴准晶的研究。从而推导出的新点群如下: