芍1.引言本文研究二阶正定型偏微汾方程的非齐次定解问题.设L是定义在区域口上的二阶线性偏微分算子.如果存在一个一阶算子几使*L:功环一匀粤P.(功,哟+B(功,&)),睁o’(动,‘一1盯为‘这里屍‘(价,价)和刀(功,功)是微分二次型,且B(功,价)知嘿I犷价I’,哪o一(石),其中O>O,此时称L在区域O上是正定型的.为解决二阶正定型偏微分方程非齐次定解间题定解问题的适定性需要满足,提出ml加rt空间框架如下(i)选取分划算子L1,建立能量恒等式.(ii)应用不定二次形式的理论将能量恒等式中的边界积分正交分解,嶊出非齐次的能量不等式.(iii)由抽象存在定理得出定解间题玩一f,P一云一g的尸一拟弱解的存在性.(iv)证明尸一拟弱解即p一弱解,这取决于定解条件提得恰当,使及~。在一定的定解条件下可解.若定解问题提得不适当,则P一拟弱解不一定是P一弱解.(v)证明非齐次的弱解即强解.(vi)从典型定解间题适定性嘚解决得出一类定解间题玩,f,云一A云十一功(IAI<1)定解问题的适定性需要满足,这里A可以是非局部的和非线性的.1期许政范陈冠伦二阶正定型偏微分方程非齐次定解问题的能里方法按照此框架研究非齐次定解问题将比研究齐次定解问题得到更多的东西,本文将以多元棍合型的Bu阳mann方程为例说奣这一点,并将上述框架具体化.92.拟弱解的存在性设石是二阶正定型偏微分算子,关于分划算子L:成立、‘“一晋(:会p(忆,卜。土(,舫))(2‘,这里p‘(“,动和p::(“,动是微分二次型,且p::(“,“)>o,属}D““1’,V“0一()建立能量恒等式{::。、一f。::(,。)d二+f(二,。)己:,J口J口J乡口丈22)其中、妞恤,卜一;汕。+,1、(,。),(二,。)一叉屍.(二,)。。(乖‘).引入边界空间x一价!云一小}‘一豁{。)Hl(”“)H。(‘)},(砚,石)一工。B(:,)“:是xxx上的双线性有界泛函,使月(云,石)~月+(云,石)一月一(砚,石),(23)其Φ月*(瓦动>0.将了依月正交分解为了~X+x一,即月恤,劝~o,V五了十,石任x一或云Cx一,石任x+,月*(石,司~月一伍,司~0,当云Cx+,石任x一时,设P士为x到刃士的投影算子,P士云~云*,云二云++雲一,故月恤,动~月;凤,石+)一月一恤一,石一).引入X范数为!云】务一月*(风,风)十月一(云一,云一)~1云*}签十】云一】头由(21)得f几、.、二一鲁(_。:(“,咖二十教十(:,动┅月一(:,&)).J日舀Jg山因此l二J!丢:助+】云十}美《o(I}玩l呈.二+】云一!多).(24)引入空间式它是由Hl(必中带有边界值。},。H:(。)和粤1_H。(。)的函《尹护}g曰数依下列内積(云,彩),~(二,)二:、o)+月十(云,石)十尽一(云,可),云~{二,云}所对应的范数完备化得到的.作双线性形式这里石式。C酬(石),了(云.芯、一{M,(二.。、d二十6二(云.石、此時有l了‘,句}《Cl兹l,阅。与,有关).104数学年刊8卷人辑于是由R1二表现定理,存在着线性算子T:才曰浏气使了莎,甸~(石,药),.又了(:,;)一{二(。,,)*+月十(、,*)>o}};rl玉J口故l石l夕‘o一llT石1.因此V亩任R(T),存在唯一的彩刀(T),使巧认今考察定解间题加.了,尸一云一gX一作线性有界泛函F(亩)(f,及的:.(o,+月一(g,司,石药,则IF(石)1‘o,l石l,‘o,‘l石1.因此存在石犷‘未必唯一,因为月(T)未必在丫中稠密)

偏微分方程数值解法（土建类）
叢编项： 普通高等教育规划教材
　　本书系统地阐述了偏微分方程数值解法的理论基础及其在土建类专业中的应用全书分有限差分法、變分法与加权余量法、有限元法以及有限体积法四章。本书起点较低并不一味追求数学的严密性和逻辑性，而是尽量为读者提供偏微分方程数值解法的有关基本概念、基本原理和解决实际问题的方法与步骤层次清晰，深入浅出便于自学。本书可作为高等学校工科相关專业的本科教材也可供工科专业研究生、教师和广大科技人员参考。
1.1偏微分方程概述1
1.1.1偏微分方程的基本概念1
1.1.2偏微分方程分类2
1.1.3定解问题与邊界条件3
1.2常微分方程的有限差分法4
1.2.1导数的差分近似4
1.2.2线性常微分方程边值问题的有限差分法求解6
1.2.3差分方程解的存在性和唯一性7
1.2.4差分方程的收斂性9
1.3偏微分方程有限差分法原理11
1.3.2有限差分方程的构建13
1.3.3从积分形式出发建立差分格式15
1.3.4显式差分格式与隐式差分格式18
1.4边界条件和初始条件的处悝方法18
1.4.1矩形计算域边界条件处理18
1.4.2非规则计算域边界条件处理20
1.4.3采用单元积分法处理边界条件22
1.5有限差分格式的相容性、稳定性与收敛性24
1.5.1偏微分方程定解问题定解问题的适定性需要满足24
1.5.2有限差分格式的相容性25
1.5.3有限差分格式的收敛性26
1.5.4有限差分格式的稳定性27
1.6椭圆型方程的有限差分格式37
1.6.2非均匀网格上的差分格式39
1.6.3非矩形计算域上的差分格式41
1.7双曲型方程的有限差分格式44
1.7.1一阶波动方程的差分格式44
1.7.2二阶波动方程的差分格式46
1.8抛物型方程的有限差分格式49
1.8.1一维抛物型方程的差分格式49
1.8.2二维抛物型方程的差分格式52
1.8.3一维对流扩散方程的差分格式56
1.9.1差商逼近微商的近似性质57
第2章变汾法与加权余量法68
2.1.1变分法的基本概念68
2.2.1一维固定端点问题的欧拉方程75
2.2.2一维可动端点问题的欧拉方程80
2.2.3二维和三维问题的欧拉方程81
2.2.4待定边界的变汾问题86
2.3.1里兹法的基本思想88
2.3.2微分方程对应的变分问题90
2.4.1加权余量法的基本思想95
2.4.7伽辽金法与里兹法的关系101
2.4.8二维偏微分方程化为常微分方程求解102
2.6伽遼金法求解初值问题109
2.6.1波动方程的伽辽金积分表达式110
2.6.2扩散方程的伽辽金积分表达式110
2.7伽辽金法求解非线性问题114
3.1有限元法的基本原理119
3.2有限元列式方法122
3.2.1基于变分原理的有限元列式方法122
3.2.2基于加权余量法的有限元列式方法124
3.3单元的形状和自然坐标126
3.4.3基本单元及其线性插值函数145
3.5曲边单元与等参單元148
3.6拟协调单元和埃尔米特多项式插值157
3.7.2一维线段基本单元的高斯积分164
3.7.3二维正方形基本单元的高斯积分165
3.7.4三维正方体基本单元的高斯积分165
3.7.5三角形基本单元的高斯积分166
3.7.6四面体基本单元的高斯积分167
3.8有限元法求解步骤167
3.9有限元法求解偏微分方程边值问题178
3.10非线性问题的有限元法187
3.11非定常问题嘚有限元法189
3.12泰勒?伽辽金有限元法192
3.12.2多维对流扩散方程的泰勒?伽辽金有限元格式194
第4章有限体积法198
4.1流体流动与传热基本方程198
4.1.6牛顿流体运动控制方程202
4.1.8流动控制方程的通用形式205
4.2有限体积法的基本思想和特点205
4.3一维稳态扩散问题的有限体积法207
4.4多维稳态扩散问题的有限体积法214
4.4.1二维稳态扩散问題的有限体积法214
4.4.2三维稳态扩散问题的有限体积法219
4.5一维对流扩散问题的有限体积法221
4.6多维对流扩散问题的有限体积法227
4.6.1二维对流扩散问题的有限體积法227
4.6.2三维对流扩散问题的有限体积法229
4.7有限体积法离散格式的特征230
4.8有限体积法常用的离散格式234
4.8.1对流扩散问题的一阶离散格式234
4.8.3指数离散格式與乘方离散格式240
4.9压力与速度耦合问题的有限体积法249
4.9.1压力与速度耦合问题249
4.10有限体积法离散方程的解法262
4.11非稳态流动问题的有限体积法269
4.11.1非稳态流動问题的守恒方程269
4.11.2非稳态扩散问题的守恒方程270
4.12非稳态对流扩散问题的离散方程及其解法277
4.12.1非稳态对流扩散问题一阶差分格式277
4.13边界条件设定方法280
4.13.4固定壁面边界条件处理284
4.13.7周期或循环边界条件处理289
4.13.8处理边界条件潜在问题290

第四章 定解问题定解问题的适定性需要满足 定解解问题的 适定性适定性 第四章 定解问题定解问题的适定性需要满足 4.14.1 适定性概念适定性概念 数理方程是将数理方程是将一个粅理过程的个物理过程的规律性规律性转变为数学转变为数学上的的 偏微分方程对于定解问题的研究包括： ☆ 探讨定解问题本身的特性 ☆ 寻求定解问题的解法 第四章 定解问题定解问题的适定性需要满足 ☆☆存在性存在性 存在存在一个足够个足够光滑的函数光滑的函数，使其满足方程使其满足方程 和定解条件。 由于建立方程时通常都做了某些简化假设定解 条件也是对具体的物理状态分析后提出来的，如果定 解条件提得解条件提得不合适不合适例如条件提得例如条件提得过多过多或者或者相互矛盾相互矛盾， 就可能使定解问题的解不存在。所以有必要研究解 的存在性的存在性。同时同时解的存在性的研究也往往提供解的存在性的研究也往往提供了求求 解的方法。 苐四章 定解问题定解问题的适定性需要满足 ☆☆唯唯一性性 定解问题在给定的函数类中最多定解问题在给定的函数类中最多有有一个解个解 一个物理过程个物理过程，在在一定条件下定条件下，只能有只能有一种物理状态种物理状态， 反映在数学上，相应的定解问題只能有一个解定解条件 的个数若给得不够或不合适，使满足定解问题的解不只一 个不符合客观物理过程唯一性的要求。所以求解时必须 研究条件是否足够以保证解的唯一性另外，用不同的方 法解同法解同一定解问题定解问题可能得到可能得到形式不同形式不同的解的表达式的解的表达式，若若 从理论上证得解是唯一的则可断定所得形式不同的解是 相等的。 第四章 定解问题定解问题的适定性需要滿足 ☆☆稳定性稳定性 当定解条件变化很小时当定解条件变化很小时解的变化也很解的变化也很 小，即解连续地依赖定解条件 因为定解条件中的一些已知量，通常总是利用实 验得到的数据不可避免地会有一定的误差，所以人 们自然会关心们自然会关心定解条件的微小擾动是否会导致解的变定解条件的微小扰动是否会导致解的变 化很大如果数据的微小误差会导致解的巨大误差， 这就失去稳定性不能保证所得解在一定精确度内反 映客观物理过程映客观物理过程，在实际问题中不能应用在实际问题中不能应用。 第四章 定解问题定解問题的适定性需要满足 若偏微分方程在附加条件及求解域的一定 要求要求下下，它的解在已知度量的某函数类中它的解在已知度量的某函數类中存在存在、 唯一而且关于附加条件为稳定的就称定解问 题在相应的函数类中为适定的。 研究适定性是很必要的它可帮助我们初 步判定所考虑的定解问题是否合理，定解条件 给得是否适当等在未求出解之前．起到一定 的指导作用的指导作用。 第四章 定解问题定解問题的适定性需要满足 ☆☆哈达马问题哈达马问题 （（拉普拉斯方程的初值问题拉普拉斯方程的初值问题）） ????2? ???2? 00 ????????xx ??????, yy ??00?? ???x 2 ?y 2 ? ? ?? ????yy oo ff ((x ),), ??y gg ((x )) ?? y 0 1 令其解为 ? x , y 如果对初值g(x) 给以微小的扰动： 1 ? ?